基于STEM教育理念的數學教學設計

譚奇 袁智強

摘要：基于STEM教育理念，整合簡諧運動的知識、動態數學軟件GeoGebra的應用、三角函數章節的其他教學內容以及數學實驗與數據擬合活動，融入問題驅動教學法與波利亞的解題四步驟，設計和實施了《正弦函數的圖像》一課教學，引導學生探究正弦函數圖像的形成，歸納正弦函數簡圖的畫法，掌握圖像畫法的遷移應用，了解正弦曲線的物理意義。得到教學啟示：改進教學方法，探索STEM教育理念應用技能;反饋教學情況，凸顯STEM教育理念應用效果;反思教學過程，探究STEM教育理念應用模式。

關鍵詞：STEM教育正弦函數的圖像簡諧運動GeoGebra

21世紀以來，中國的綜合國力日益強盛，但某些領域的核心技術仍然落后于美國等發達國家。許多領域核心技術的解決需要運用科學（Science）、技術（Technology）、工程（Engineering）和數學（Mathematics）有關的知識和技能。因而，在中小學教學中滲透STEM教育理念、培養掌握STEM知識和技能人才的需求變得愈發強烈。

目前，我國的STEM課程歸入了部分學校的課程體系，但是還沒有和必修課程密切地結合起來，主要是在校本課程、社團課程或勞技課程中，所處地位相對邊緣化，且應用實踐比較模式化。此外，我國的學校教學以分科式為主，設計和實施整合性的STEM教育在課程安排、教材編寫、學校管理、教師培訓等方面均存在一定的困難。

不過，在分科教學中借鑒STEM教育理念進行設計和實施，不失為落實STEM教育的一種有效途徑。我們認為，可以基于STEM教育理念開展數學學科教學，探索在實際的STEM教育中所需要的教學技能，探究應用STEM教育理念進行數學教學的一般模式。這既在課堂中融入了跨學科學習的教育思想，又靈活運用并推廣了STEM教育理念，有助于整合性STEM教育的進一步發展。

因此，我們基于STEM教育理念，整合簡諧運動的知識、動態數學軟件GeoGebra的應用、三角函數章節的其他教學內容以及數學實驗與數據擬合活動，融入問題驅動教學法與波利亞的解題四步驟，設計和實施了《正弦函數的圖像》一課教學，引導學生探究正弦函數圖像的形成，歸納正弦函數簡圖的畫法，掌握圖像畫法的遷移應用，了解正弦曲線的物理意義。

一、設計思路

本節課的教學主要包括五個環節：科學情境、技術融合、化繁為簡、變式遷移、拓展應用。

第一步，從物理情境“簡諧運動”實驗中抽象出數學問題，使學生對正弦曲線有一個直觀的印象。

第二步，聯系正弦函數的定義方式，利用單位圓上的點探究精確的正弦函數圖像，在探究活動中運用GeoGebra軟件突出重點、突破難點，幫助學生認識到數學問題的本質。

第三步，歸納概括畫正弦函數圖像常用的步驟與方法，培養學生的抽象概括能力，提升學生的數學核心素養。運用問題驅動教學法，提出相關問題引導學生思考，然后以小組合作的形式共同擬定并實施解決問題的方案。同時，結合波利亞的解題四步驟，把教學過程分為“弄清問題—擬定計劃—實現計劃—回顧討論”四個步驟，啟發學生的解題思路。

第四步，根據誘導公式與適當的圖形變換將所學的畫圖方法遷移運用到余弦函數或其他可由正弦函數變換得到的函數上。

第五步，指導學生進行簡單的建模，體會曲線擬合的過程，了解正弦曲線的物理意義，為以后的學習做鋪墊。

二、實施過程

（一）科學情境，切入主題

教師課前把學生分成三人一組，讓每一組都準備好簡易支架、硬紙板、礦泉水瓶、細沙、細繩與剪刀。課上指導學生將礦泉水瓶底扎一個小孔，做成一個漏斗;再用細繩拴住瓶口掛在簡易支架上，做成一個簡易單擺;在漏斗下放一塊硬紙板，硬紙板中間畫一條直線作為坐標系的橫軸;小組合作，一名學生把漏斗灌上細沙，另一名學生將漏斗拉離平衡位置并放手使其擺動，同時第三名學生勻速拉動硬紙板。在硬紙板上得到一條曲線（如圖1）。

教師指出：這（近似）是簡諧運動的圖像，物理學中把這種圖像叫作“正弦曲線”（“余弦曲線”）。由此讓學生對正弦函數（余弦函數）的圖像有一個直觀的印象。

教師再以問題驅動的方式引導學生利用單位圓上的點來畫正弦函數的圖像，引發學生的思考——

師剛才，我們觀察了正弦曲線的樣子。這節課，我們先來探究正弦函數圖像的畫法。請大家仔細觀察硬紙板上的曲線形狀，思考一下怎樣在草稿紙上畫出這樣的圖像。

生照樣子隨手畫。

師隨手畫能保證畫出來的圖像精確嗎？

生（眾）不能。

師請同學們回憶一下，我們是怎么定義正弦函數的？

生利用單位圓上的點的坐標。

師沒錯。所以，我們先來嘗試一下能否利用單位圓上的點畫出精確的正弦函數圖像。

（二）技術融合，突破難點

教師利用GeoGebra軟件展示：將單位圓分成12等份，以x軸為始邊，可以得到13個終邊不同的圓心角，它們的大小分別為0、π6、π3、π2、2π3、5π6、π、7π6、4π3、3π2、5π3、11π6、2π。根據正弦函數的定義，這些角的終邊與單位圓的交點的縱坐標就是它們所對應的正弦值。把x軸上0到2π這一段分成12等份，以上述13個圓心角的大小為橫坐標，以它們的終邊與單位圓的交點的縱坐標為縱坐標，在平面直角坐標系中畫點（如圖2）。引導學生觀察畫出的這13個點，并思考：若以其他的圓心角的大小為橫坐標，以其終邊與單位圓的交點的縱坐標為縱坐標畫點，那么這些新畫出的點在什么位置？

接著，教師使用GeoGebra軟件畫出完整圖像。具體操作步驟如下：打開GeoGebra軟件，畫點O（0，0）、A（1，0）并鎖定對象。以O為圓心，以A為圓周上一點畫單位圓，取單位圓上的任意一點B。以O為圓心，以A為起點，以B為終點畫圓弧，記弧長為d。輸入指令“（d，y（B））”，記為點D。過點D作x軸的垂線段，并連接OB、BD，跟蹤點D，啟動點B動畫。這些點構成了正弦函數在0到2π范圍內的圖像（如圖3）。

通過此探究活動，學生能夠知道利用單位圓能夠畫出0到2π范圍內精確的正弦函數圖像，并體會正弦函數圖像與正弦函數定義之間的內在邏輯聯系。

教師進一步引導學生思考整個定義域R內正弦函數的圖像——

師我們已經得到了正弦函數y=sinx在[0，2π]范圍內的圖像，請同學們結合前幾節課的內容，思考怎么作出y=sinx在整個定義域R內的圖像。

生將[0，2π]范圍內的圖像平移。

師很好！你的依據是什么？

生終邊相同的角的三角函數值相同。

師沒錯。所以，函數y=sinx，x∈[2kπ，2（k+1）π]，k∈Z且k≠0的圖像與函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖像一致。因此，只要將正弦函數在[0，2π]范圍內的圖像不斷向左、向右平移，每次移動2π個單位長度，就能得到正弦函數在整個定義域R內的圖像了。我們一起來看一下動態效果。

（三）化繁為簡，抓住五點

本環節以問題驅動教學過程，并結合波利亞的解題四步驟解決問題——

（1）弄清問題。教師提問：雖然利用單位圓上的點能夠畫出正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的圖像，但是比較麻煩，那么，是否有更方便的辦法畫出其簡圖呢？

（2）擬定計劃。學生思考：能否通過幾個特殊的圓心角大小及其終邊與單位圓的交點的縱坐標來確定正弦函數圖像上的幾個點，用光滑的曲線連接這些點，從而畫出正弦函數的簡圖？以小組為單位進行討論，共同擬定計劃，確定想選擇哪幾個特殊的圓心角。

（3）實現計劃。各小組成員在思考和討論后，根據擬定的方案在草稿紙上畫出正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的簡圖。然后，各小組代表依次向全班同學解釋畫y=sinx，x∈[0，2π]的簡圖可選取哪幾個特殊的圓心角，并展示其作品。教師對小組匯報結果進行評價與指導、補充。

（4）回顧討論。教師帶領學生回顧畫出來的正弦函數y=sinx，x∈[0，2π]的簡圖，討論畫簡圖時哪些點最關鍵，從而總結畫簡圖的一般方法——五點作圖法，并在黑板上具體畫出相應的簡圖。

（四）變式遷移，鞏固提升

教師要求學生將總結出的正弦函數的“五點作圖法”遷移運用到余弦函數或其他可由正弦函數變換得到的函數的作圖問題中，加深學生對作圖步驟以及“五點作圖法”的理解，幫助學生學會舉一反三。

此環節讓學生在一些變式問題中運用學到的知識，有利于學生通過一個特殊的函數（正弦函數）明白作簡圖的方法，從而掌握一類函數作簡圖的方法，以此完成知識的遷移。

變式問題可以設計為：

（1）你能以正弦函數的圖像為基礎，通過平移變換得到余弦函數的圖像嗎？你能運用已經學過的三角函數的誘導公式解釋其中的原理嗎？

（2）不通過平移變換，只運用“五點作圖法”，你能類比畫出余弦函數在[0，2π]范圍內的簡圖嗎？在畫余弦函數的簡圖時，應抓住哪幾個關鍵點？

（3）根據“列表—描點—連線”的步驟，運用“五點作圖法”畫出y=1+sinx，x∈[0，2π]的圖像與y=-cosx，x∈[0，2π]的圖像。

（4）小組討論“五點作圖法”是否可以運用到函數y=Asin（ωx+φ）上。如果可以，在畫簡圖時，應選擇哪五個點作為關鍵點？

（五）拓展應用，數據擬合

教師播放、學生觀看“為了測量重力加速度，運用Tracker軟件自動跟蹤擺球位移，并實時記錄位移（水平位移與垂直位移）與時間數據”的視頻（圖4為一個瞬間），探討硬紙板上的“正弦曲線”（“余弦曲線”）的物理意義：是否代表漏斗擺動時離開平衡位置的位移與時間的函數圖像？

因為漏斗擺動的角度較小，可用水平位移近似代替，所以，教師選取視頻中的21組水平位移與時間數據，并呈現出來（如表1），讓學生根據這些數據，在平面直角坐標系中描點，并猜測散點能否被“正弦曲線”（“余弦

隨后，教師利用GeoGebra軟件對這些數據進行擬合，讓學生發現正弦函數的擬合效果最好（如圖5），從而確定硬紙板上的“正弦曲線”（“余弦曲線”）代表的是漏斗擺動時離開平衡位置的位移與時間的函數圖像。由于學生還沒有學習振幅、頻率與相位的意義，所以暫時不要求學生求出函數解析式。

本環節通過初步涉及三角函數的數學建模過程，讓學生發散思維，明白作圖步驟中“描點”的重要性，為以后學習三角函數模型的簡單應用做鋪墊。此外，通過記錄數據與擬合數據，讓學生對正弦曲線（余弦曲線）的物理意義和簡諧運動理解得更透徹，實現了學科融合，滲透了STEM教育理念。

三、總結與啟示

（一）改進教學方法，探索STEM教育理念應用技能

STEM教師只掌握學科知識是不足以支撐教學的，還需要了解STEM教育的相關學習理論、教學理論、課程理論等。這就要求教師改進傳統的教學方法，改變傳統課堂教師“一言堂”的情形，凸顯學生的主體性;同時，加強對應用STEM教育理念所需技能的探索，以便更多地在教學過程中融入STEM教育理念。

本節課基于STEM教育理念設計和實施，融入了科學、技術、工程與數學的內容，運用了問題驅動教學法與波利亞的解題四步驟。由此，我們認為，教師應用STEM教育理念時需要具備的技能包括但不限于對學科知識的深入理解、對科學情境與學科知識交叉融合點的挖掘、對信息技術（如某些軟件）的熟練使用以及一定的工程設計能力。

（二）反饋教學情況，凸顯STEM教育理念應用效果

STEM教育應該注意學生能否高效地學到知識或技能。遇到結果難以評價的情況時，教師應該變換評價方式，積極地從面向過程的評測中檢驗STEM教育的質量。因此，在本節課中，為了凸顯基于STEM教育理念的教學效果，我們采用多元化的評價方式，通過經常跟學生互動來了解學生的學習情況，并且讓學生以小組匯報的形式解釋相關問題，得到教學情況的實時反饋。

（三）反思教學過程，探究STEM教育理念應用模式

本節課，在引出“正弦函數的圖像”這一課題時，以簡諧運動為背景，交叉融合了物理知識;在探究單位圓與正弦函數圖像之間的聯系時，融入了技術手段，使用了動態數學軟件GeoGebra;在考慮是否有更簡便的方法畫正弦函數在[0，2π]范圍內的簡圖時，聚焦于問題的解決并且運用了波利亞的解題四步驟;而在引入與探究環節，都設計了動手操作活動，幫助學生體驗知識的形成過程。因此，我們認為，應用STEM教育理念進行數學教學的模式的關鍵在于“跨學科”“使用技術”“問題解決”以及“動手操作”。

本文系教育部人文社會科學研究青年基金項目“創新型STEM教師培養的探索性研究”（批準號：18YJC880115）的階段性研究成果。

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