數形結合 建立模型

周建毅

【摘要】數形結合思想是小學數學教學的重要思想，掌握數形結合思想方法是學生學習數學知識的引路人，是培養數學能力的重要方法之一，是將解答數學實際問題由難變易的重要方法。數形結合思想讓我們在教學中將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，將抽象的數學問題簡單化、形象化，從而達到事半功倍的效果。

【關鍵詞】數形結合；數學模型；滲透思想

數學是研究“數”（數量關系）與“形”（空間形式）的科學，數和形之間是既對立又統一的關系，在一定條件下可以相互轉化。數形結合思想正是通過數與形之間的對應關系和相互轉化來解決數學問題的一種思想方法。我們在研究“數”的時候，往往要借助于“形”，在探討“形”的時候，又往往離不開“數”，使得抽象的數學問題直觀化、復雜的數學問題簡潔化。因此，學習數學思想的方法是培養和提高學生數學能力的重要途徑之一。

小學是學生學習數學知識的啟蒙階段，在這一階段，學生的思維發展水平還不夠成熟，理解抽象的內容難度較大。運用數形結合的方法分析問題和理解問題，構建數學模型，有助于學生真正地解決數學問題，進一步提高學生的數學思維水平。所以，小學階段教學中滲透數形結合思想，構建數學模型顯得尤為重要。

下面就小學數學教學中如何構建數學模型，滲透數形結合思想，談談我的幾點認識和體會：

一、利用形象直觀的“形”幫助學生理解抽象的“數”，在數學課堂中建立“形→數”的數學模型

小學階段是學生邏輯思維起步的階段，他們的思維主要以具體形象思維為主，這時，建立“形→數”的數學模型非常適合中低年級的數學教學。我們可以借助于圖形的直觀性，讓學生用多種感覺器官充分感知，將抽象模糊的數學概念和數量關系簡單化、形象化，形成符合學生生活實際的數學模型，并在此基礎上進行聯想，讓缺乏數學概念的孩子逐步建立數感。

例1，在教學“20以內的進位加法” （新人教版一年級上冊）中的“9+2=？”時，教師可以通過擺小棒的方法去演示，如下圖：

通過分解動作，一步一步地演示出9根小棒添上1根就是10根，再捆成1捆，然后加上1根，最后得到1捆和1根，這樣就是11根了。這樣的過程使學生清楚地感受到11是在圈外的2根中拿出1根給9，讓9補足一個10，再加上余下的1根，從而得到9+2=11的答案。這樣圖形演示讓學生對“20以內的進位加法”的認識有很強的提示作用，最后還要讓學生也親自動手去試一試擺小棒，多種感覺器官充分感知，對學生理解抽象的“數”，有事半功倍的效果。

例2，在教學 “一個數是另一個數的幾倍”（新人教版三年級上冊）這一問題時，設計了以下一個直觀圖形：

乙是甲的（ ）倍。

以上這個線段圖充分利用直觀形象的“形”去滲透抽象的倍數關系，幫助學生建立數學模型，從抽象到具體，整個教學過程運用了數形結合思想，一目了然，非常清晰。

在小學階段，建立“形→數”的數學模型是最普遍的，每冊教材中都有體現。低年段教材上，都配有相應的直觀圖形，借助形的幾何直觀性來闡明數學概念和數與數之間的關系；高年段教材，利用線段圖表示復雜的數量關系，以借助直觀的“形”幫助學生理解抽象的“數”，讓我們在數學課堂中注重滲透數形結合思想的方法，建立“形→數”的數學模型。

二、滲透用定量的“數”去描述具體的“形”的數形思想，在數學課堂中建立“數→形”的數學模型

中高年級階段的學生邏輯思維已逐漸上升到一定的水平，我們教學時應注意把具體的“形”放在主體的地位，逐步建立“數→形”的數學模型。通過這種課堂教學應用，學生的數學思維能力才能上升到更高的層次。

例3，在教學“人心臟跳動的次數隨年齡而變化。青少年心跳每分鐘約75次，嬰兒每分鐘心跳的次數比青少年多 。嬰兒每分鐘心跳多少次？”（新人教版六年級上冊）這一例題時，我們首先讓學生在認真讀題和初步思考后匯報算式，并說明列式的理由。

學生的匯報與交流是邏輯思維水平發展的重要體現，這樣的教學設計能讓學生的直覺思維與初步計算出現矛盾，迫使學生去驗證答案，解決問題，這時教師就要及時引導學生畫線段圖來分析：

青少年：

嬰兒：

當線段圖完成的時候，學生的爭論也得到最終的答案了。因為有了線段圖的合理支撐，學生可以想到兩種方法去做，方法一，青少年75次有5個格子，即一個格子有75÷5=15次，而嬰兒有9個格子，即15×9=135次；方法二：由圖形可知，75次占“1”，則嬰兒占“1+ ”，所以嬰兒每分鐘心跳次數為：75×（1+ ）=135次，但學生覺得方法二的算式更簡單。

可見，根據學生的實際情況采取先主動思考，再引導畫圖的策略，能有效地將抽象的數量關系直觀形象地表示出來，降低解題難度，增強學生的學習積極性，同時學生的邏輯思維能力也不斷得到鍛煉和提高。通過這種課堂教學應用，滲透數形結合思想的方法，建立“數→形”的數學模型。

三、“數”“形”互相變換，在數學課堂中建立“數→形→數”或“形→數→形”的數學模型

在某些復雜數學問題中，不能簡單地以“形→數”或“數→形”去解決，而是需要“數”和“形”互相轉化，也就是在課堂教學中，教師將根據問題的具體情況，把直觀圖形與數量關系互相轉化，使復雜的問題簡單化，抽象的問題形象化，從而提升學生的邏輯思維能力水平。

例4，在教學“兩輛貨車4次能運完9600千克的貨物，平均每輛車每次運多少千克？”（人教版三年級下冊）這一道連除應用題時，我們就可以通過建立“數→形→數”的數學模型進行教學。

在教學這個題目時，要求學生用不同的方法寫出算式，然后學生經過思考和交流，呈現如下精彩的答案，教師在旁邊演示對應圖形的變化，并驗證答案： ① 9600÷4÷2 ，教師畫出對應圖形：

先平均分成4份，再將獲得的一份平均分成2份；

② 9600÷2÷4 ，教師畫出對應圖形：

先平均分成2份，再將獲得的一份平均分成4份；

③ 9600÷（2×4） ，教師畫出對應圖形：

先平均分成8份，再取出其中的1份。

這道例題通過數形結合思想，驗證了學生的算式，讓抽象的數量關系與直觀的圖形性質很好地進行轉化，使解題思路和過程具體化，易于理解，這樣可以更好地幫助學生形成數的概念和空間觀念，建立“數→形→數”的數學模型，使學生深刻理解數學運算的意義。

例5，在教學“將兩盒長20cm、寬15cm、高5cm的糖果包成一包，怎樣包裝才能節約包裝紙（接口處不計）？”

（新人教版五年級下冊）這一道應用題時，筆者讓學生制作相應的紙盒作為學具，用擺一擺的方法，滲透數形結合思想，并完成表格。通過觀察表格的數據，我們能悟出結論：重疊部分面積越大，長方體表面積越小，所需包裝紙越節省，即長、寬、高的和越小，所需包裝紙越節省。

這個教學過程讓學生感受“操作→觀察→抽象→想象→結論”的過程，從眼看到手動，從手動到思考，一步一步地感知具體事物的模型，建立“形→數→形”的數學模型，讓數形結合思想在培養學生數學能力時得以滲透和加強。

綜上所述，在小學數學教學中，能夠滲透數形結合思想的地方還有很多，如筆算乘法、小數的近似數、百分數的意義等概念的推導，組合圖形的計算等，運用數形結合思想讓學生建立“形→數”“數→形”“數→形→數”或“形→數→形”的數學模型，充分體現到“數”與“形”之間的相互轉化，發揮抽象思維和形象思維的協同作用，使學生的數學思維發展更具創造性。

參考文獻：

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