基于有限差分法的服裝熱傳導模型

魯湘婷 雷歡歡 徐任杰

摘要：針對高溫環境專用服裝各層織物厚度的設計，建立多層織物導熱模型，給出對不同情況下帶約束條件的極小泛函。我們基于Matlab程序語言，采用有限差分法及迭代法對問題進行模擬求解。針對高溫環境下專用服裝的熱傳遞情況，建立間斷系數熱傳導方程，求解熱傳導模型，得到溫度分布規律。結合比熱容方程及傅里葉變換公式，構建了溫度與時間、材料厚度間的關系式，即熱擴散方程。采用有限差分法數值求解。結合誤差加密剖分給出修正，得到溫度分布規律及溫度隨時間和厚度變化的三維分布關系。模擬結果與實驗數據對比，優化后的模型明顯誤差減小，驗證了模型的可行性。

關鍵詞：間斷系數熱傳導方程;傅里葉變換公式;有限差分法;迭代正則法

一、問題分析

熱防護功能是一項被熱點關注的功能，火災救援、化工石油、賽車、熱能研究等從業人員仍遭受著高溫環境導致的人身安全問題。本文介紹高溫度情況下專用服裝傳熱的形式，分析溫度較高情況下熱輻射與熱傳導對熱傳遞的作用規律，并根據熱傳遞規律給出合理的假設，在干燥模型的基礎上，提出了專用服裝織物層材料的熱傳遞數學模型，接著進行數值求解，并且用實際效果與模擬效果進行對比，依次運用正問題模型與織物材料反問題的提出進行模型驗證。

為分析假人皮膚溫度分布與織物厚度、熱傳導時間的相關性，根據一維穩態導熱原理，結合傅里葉變換公式和比熱容相關定義得到二階熱傳導偏微分方程，根據熱傳遞的一般規律，進行合理的假設，提出多層專用服裝的熱傳遞模型，用數值對模型進行求解，通過與實驗測量結果對比，修正參數，得出溫度與織物厚度d以及時間t的關系。

二、模型的假設

1.織物三層性質皆具有各向同性;

2.假定第一層織物阻擋了大部分輻射，可以忽略假人皮膚與專用服裝傳遞中的輻射;

3.只考慮熱傳導、熱輻射的傳熱，假人不會產生汗液，忽略水汽的影響;

4.進行熱傳遞時，不考慮織物材料體積和結構變化;

5.假設織物內沒有微環境，外界熱量到假人皮膚外層只需要三個過程，外界環境與織物，織物與空隙，空隙與假人皮膚。

三、模型的建立與求解

3.1模型的建立

依據常用的熱傳遞模型和擴散方程，建立模型用來描述高溫情況下專用服裝的熱傳遞規律，對提出的數學模型，給出數學模型適應性較為完整的表述，最后給出有限差分的數值模擬，建立了多層織物的熱傳遞模型。

假人所穿專業服裝因材料不同分三層，為I、II、III層，III層織物與假人皮膚間的空氣夾層記為IV層。

當外界溫度高于假人皮膚溫度，產生溫度差發生熱傳導。前三層是織物，故只考慮發生熱傳導，由于三層材料熱傳導能力不同，單位面積內傳遞到下一層的熱量不同，故應依次考慮不同層傳遞到下一層熱量的變化。第IV層是空氣層，我們要考慮空氣層的靜態導熱能力，還需考慮服裝與假人皮膚間隙產生的對流換熱情況。所以將I、II、III層與第IV層分開進行分析計算，我們將為高溫條件下的專用服裝熱傳遞建立數學模型，并且進行分析和數學求解（將織物層和空氣層分開考慮）如下所示：

1）織物熱傳導分析

以第I層為例，在相同溫度的外界條件下，織物熱量傳導與自身比熱容還有時間有關。以傅里葉理論[1]為依據得

根據不同材質將專用服裝分為三層，將I、II、III 、IV層的厚度 等分，經調整分析得出 最優解，我們分析在假人表面溫度不再發生變化的時間段，故取此時間段之前的時間，將其分為 等份，求出 的最優解。從而解得 ， ，根據各材質厚度在所占總長度的比例加權，得如下所示材料所占比例：

分別對應系數不同的擴散方程，令

表示I、II、III層對應擴散方程前的系數.設厚度邊界范圍（以第Ⅰ層為例）：

2）空氣熱傳導分析：

空氣熱傳導會有兩種情況，不僅有單純的熱傳導，還會涉及對流換熱。其熱傳導計算與織物類似，則思考第二種形式。Torvi利用流動可視化與數值模擬的方法推導出當空氣層的厚度達到6.4mm時出現自然對流[2]，故由于該題設置中，空氣層的厚度最大為6.4mm。故空氣層的對流換熱不予考慮，即空氣層的熱傳導計算與織物熱傳導計算雷同。

用差分法解偏微分方程[3]，如下所示：

故將第一層織物的厚度以 的寬度進行微分，分為 等分;時間以 的時長進行拆分，分為 等分。即上式也可表示為：

（3）可表示為：

3.2模型的求解：

以第一層織物為例，將該層織物的各項性能參數用MATLAB導入如下線性方程組：

將實驗值與所構建模型的預測數值進行比較，如下所示：

3.3結果的誤差分析：如上圖所示，數據在前期有較小偏差，后期出現震蕩。原因如下：產業服裝的導熱系數會因為溫度的升高出現變化，但題目中已經給出對應材質的導熱系數;我們假設的服裝過于理想化，對于實際服裝溫度升高后的散熱現象沒有深入研究;后期數據震蕩較大，是由于將空氣層分布不均勻，對應單位面積上的導熱系數也不相同，是一個時變函數，因作者水平有限，導致誤差出現偏差。

3.4模型的修正：

接著我們對模型進行改進，將試驗數據進行更細致的剖分，全面分析數據的變化關系，得到了相關數據模型。首先，改進后模型充分利用邊界與起始條件，使數據模型趨于合理前期小偏差更小;其次，對不同厚度的服裝材料進行不同程度的剖分，使各層材料的性質與熱量傳導的關系，通過圖像直觀的展現出來。最后，通過前后對比可以觀察到，改進后的數據模型，后期數據震蕩現象明顯改善。

將實驗值與所構建模型的預測數值進行比較，如下所示：

參考文獻

[1]陳森，楊寧，李華琪，朱磊，胡攀，馬騰躍，陳立新.基于汽泡壅塞流模型的豎直圓管臨界熱流密度理論研究[J].核動力工程，2018，39（04）：48-52.

[2]TORVI D A，DALE J D，FAULKNER B.Influence ofair gaps on bench-top test results of flame resistantfabrics[J].Journal of Fire Protection Engineering，1999，10（1）：1-12.

[3]羅宏.用傅里葉定律分析無限大平行平板中的準穩態[J].物理實驗，2014，34（08）：31-33.

作者簡介：魯湘婷（1997.04-），女，甘肅省人，本科，單位：石河子大學，研究方向：應用數學。