“無限性”該如何引入？

周曉婷

“線段、直線、射線”是人教版四年級上冊“角的度量”單元的起始課。學生曾在二年級直觀地接觸過線段，四年級的學習則更注重概念本質的理解。本節課，對于學生來說，有兩個難點，一是對于直線、射線的無限性抽象認知，二是對三種線的表示方法的理解。筆者個人認為，只有深刻感受無限性，才能理解概念符號表征的不同。因此，情境創設和學習載體選擇至關重要。

一、第一次教學：借助具象，發揮想象

【情境】外線發射器

1.觀察與想象

觀察第一條線：紅外線發射器。

師：如果把它想象地足夠細，把它看作是一條線段的話，那么它的兩個端點在那里？為了記寫方便，我們把它記作1號線。

觀察第二條線：紅外線發射器一端射出光。

師：現在老師打開按鈕，請大家仔細看，有一束光線從里面射出，如果這一束光線射出去，沒有阻擋，這條線又是從哪兒到哪兒？（從一端出發，到無限遠的地方）把這條線記作2號線。

觀察第三條線：紅外線發射器兩端射出光。

師：如果老師手中的這個教鞭，兩個方向都有光線射出去，且沒有阻擋，這條線又是從哪兒到哪兒？（這邊的無限遠到那邊的無限遠）我們把它記作3號線。（并板書③）

2.比較異同，發現特征

學生區分三條線的不同點。（從端點、延長、度量）

對學生而言，只要能看到軀體全貌，就是有限的，永遠無法看到全貌，就是無限的。筆者嘗試想象推理的過程，就需要借助對“實物”的判定來展開。借助紅外線教具，引導學生插上想象的翅膀，在學生的頭腦中建立起初步表象，讓學生同時直觀地感悟線段、射線、直線三種線，體會到無限延長和無限遠的含義。可在實際教學中卻出現了兩場意想不到的風波：

【課堂風波1】點與端點的不理解

學習任務：與同桌討論一下，直線、射線、線段有什么不同？

師：說說直線的特征呢？

生1：直線沒有端點，可以無限延長，不可測量。

生2：我不同意，我覺得直線有兩個端點的，那延長出去的點，不是有兩個嗎？

生1：我說的是端點，它們不是端點。

師：其他同學認為呢？

生3：我也覺得是兩個，就是剛剛的教具的點。

師：那兩個是直線上的點，并非是端點。

（不少學生還是不理解）

由于受紅外線發射器兩個端點的影響，在歸納直線特征時，不少學生認為直線有兩個端點。實際上是直線上的點與直線的端點產生了混淆。在小學階段，教材里沒有對點的概念進行教學，以直觀感知為主，學生也很難理解直線上的到處都是點，直線是由點移動形成的。學生區分和理解直線上的點與直線上的端點存在一定的難度。

【課堂風波2】點有大小之分

學習任務：經過兩點呢，你能畫幾條直線呢？

學生動手操作，發現了不少孩子畫出了兩條直線，學生的解釋為只要碰到點的邊就可以了，可以畫很多條。（如右圖）

從這一教學片段來看，問題的關鍵是學生把“點”進行了放大，而在數學概念中，“點”是沒有大小之分，線也沒有粗細之分。如果學生能明白“點”，那么就不會出現這個問題了。

二、第二次教學：抓住本質，動態呈現

兩次風波，都是由“點”引起的。“點”是所有數學幾何的基礎，由“點”到“線”，由“線”到“面”，由“面”到“體”。點組成各種各樣的線，曲的線、直的線都是由點組成的。直的線，根據其端點的不同，分為直線、線段、射線。基于概念本質屬性，我重新創設了情境，并進行了教學實踐。

【情境】點動成線

1.感知點和線

師：（出示一個點）看到了什么？聯想到了什么？（人、物等）

師：（出示三個大小不同的點）哪個點表示汽車合適？

小結：數學學習中，所有點是一樣的，點沒有大小。

師：（汽車行駛），點形成了線，線也沒有粗細。

2.感知線段的形成過程

用手指在桌面上確定一個點，點動起來，畫了一條線。（如右圖）

學生把這些線分類。（曲的線、直的線）

師：能找出我們學過的一條線？（線段）

演示點動成線段的過程，學生指出兩個端點。

師：如果點再往左邊動，還是線段嗎？現在的端點在哪里？

師：這個點（指著之前線段的端點）就不是端點了，只是線段上的一個點。線段上這樣的點還有嗎？（有，無數個）

小結：線段……有始有終。

3.感知射線和直線形成過程

師：點繼續動，一直沿著直線運動下去會到哪里？會怎么樣？（到無限遠的地方、沒有終點等等）

師：把線段一端無限延長，就得到了一條射線。（演示了不同方向的射線）

小結：射線……有始無終。

如果點換個方向移動，一直直線運動下去，會怎么樣？（顯示不同方向的射線）

師：生活中哪些可以想象成射線？（學生自由答，教師給予適當補充）

師：如果線段向兩個方向延長，再延長，會怎么樣？（演示動畫）

小結：直線……無始無終。

首先，通過演示點運動形成線，理解線的形成過程，明確點無大小之分，線無粗細之分。其次，將點不同的運動曲線形成的線，進行分類，確定研究的重點為直的線。第三，突出線段“有限性”，理解“無限性”。理解直線和射線的“無限性”，不僅需要一定的想象力作支撐，更需要對“有限性”形成真正的理解。點的移動形成線段，再由線段某一個端點的繼續無限移動，形成射線。這就是以有限性為基礎，利用想象推理，讓學生感知無限性。教師對于點與端點的追問，進一步有效深化了“無限性”的特征。

優質的情境創設，凸顯概念本質特性，尋找合適的表征方式尤為總要。重視幾何圖像形成的過程，點動成線，同時抓住“線段”這一邏輯起點，充分發揮學生想象力，經歷從線段的兩端向外無限延長、從有端點到沒有端點、從有限長度到無限長度的過程，經由模糊的自我感知到多元表征表達，深刻體會三線之間的聯系與區別，為今后進一步認識三線打下扎實的基礎。