從三門問題說起

韓學思 鄧天擇

摘 要：本文從三門問題出發去探究并總結出一些研究問題的方法和角度。

關鍵詞：三門問題

我在看美國的一檔電視節目《Let's Makea Deal》時看到了這個三門問題：假如你在參加一個游戲，有三扇門1、2、3：其中有一扇門后面放著一輛汽車，另外兩扇門后面是山羊，你會贏得你選擇的那扇門后面的禮物。游戲開始時，你任意選擇一扇門，假如為門1。主持人從剩余兩扇門中選擇一扇后面不是汽車的門打開，比如為門3，現在主持人問：為了贏得車，是否要改選門2（另外一扇沒有被打開的門）？

首先我們做出如下假設：

現在有三扇門，只有一扇門有汽車，其余兩扇門的都是山羊。

汽車事前是等可能地被放置于三扇門的其中一扇后面。

參賽者在三扇門中挑選一扇。他在挑選前并不知道任意一扇門后面是什么，主持人知道每扇門后面有什么。

如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。

如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人等可能地在另外兩扇有山羊的門中挑一扇門。

那么參賽者現在有兩種選擇，保持他的原來選擇，或者是轉而選擇剩下的那一扇門。

我們用幾種方法來研究這個問題。

角度1：窮舉法

把所有可能的結果列舉出來，如下表所示

共有3種情況，如果選擇“不換”，其中有一種情況會贏得車，所以贏車的概率為1/3;如果選擇換，其中有兩種情況會贏得車，所以贏車的概率為2/3。由此，應該換，選擇換門后，贏車的概率從1/3提高到2/3.

角度2：理論分析法

有三種可能的情況，全部都有相等的可能性（1/3）︰

參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。轉換將贏得汽車。

參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。轉換將贏得汽車。

“參賽者挑汽車，主持人挑羊一號。轉換將失敗”，和“參賽者挑汽車，主持人挑羊二號。轉換將失敗?！贝饲闆r的可能性為1/3×1/2+1/3×1/2=1/3。

角度3：仿真法

另一種解答是假設你永遠都會轉換選擇，這時贏的唯一可能性就是選一扇沒有車的門，因為主持人其后必定會開啟另外一扇有山羊的門，消除了轉換選擇后選到另外一只羊的可能性。因為門的總數是三扇，有山羊的門的總數是兩扇，所以轉換選擇而贏得汽車的概率是2/3，與初次選擇時選中有山羊的門的概率一樣。

補充說明：

第一次選的空門（概率66.6%），之后主持人開另一個空門，換門，得到汽車;

第一次選的汽車（概率33.3%），之后主持人開另一個空門，不換門，得到汽車;

這里影響到結果的概率問題只發生在第一次選門上，如果條件如上設置，當一開始的門選定后，事件的結果也就決定了，所以這里不存在之后主持人是選擇1號空門，還是2號空門的問題，所以在做概率計算是不考慮主持人的選擇。如果也要考慮主持人的話：

第一次選的空門1（概率1/3），之后主持人開另一個空門，換門，得到汽車。事件總概率1/3。

第一次選的空門2（概率1/3），之后主持人開另一個空門，換門，得到汽車。事件總概率1/3。

第一次選的汽車（概率1/3），之后主持人開另一個空門1（概率1/2），不換門，得到汽車這個事件總概率1/3×1/2=1/6：

第一次選的汽車（概率1/3），之后主持人開另一個空門2（概率1/2），不換門，得到汽車這個事件總概率1/3×1/2=1/6：

主持人選1號空門還是2號空門打開，這里有個主持人的選擇概率，我假設的是主持人隨機選擇（抽簽或者隨意），所以各給了50%的概率，如果主持人就是喜歡1號空門，必開1號，那么也就成了1號（100%），2號（0%）了，最后結果并不影響。

所以開始選中汽車，最后換門不得獎的概率是33.3%，開始選中空門，換門最后得獎的概率是66.6%。

角度4：定性分析

或許，3扇門并不利于我們研究這一問題，不妨將3擴大為50，甚至100.當我們選中其中一扇門時，主持人打開了98扇門后沒有汽車的門，那么這時候，換與不換其實是很明確的。畢竟，你在一開始就在100扇門中選到有車的門的幾率是很小的。

結論：通過以上幾種方法的計算，可以明顯看出換門得獎的概率更高

在題目設定中，事實上是以“主持人知道哪扇門后面有車”為前提的，此時不妨換一個題目，假設主持人也什么都不知道，只是在你選定一扇門的前提下，再在剩下兩扇門中隨機打開一扇，而非是直接打開門后為山羊的門，此時題目便會變得異常簡單，結果也會與大家所接受的二分之一更為符合。

由此可知，概率的大小實際上與已知信息有很大的關系。在上一個問題中，主持人的“知情”與“智障”使結果有了很大的變化。