基于三維Copula函數(shù)的CPI與GDP、M3相關性研究

劉曉曉 何華 張建

摘要 利用我國1993年1月至2017年10月CPI、GDP、M3的季度同比增長率數(shù)據，運用解析法，選擇出最優(yōu)的三維Copula函數(shù)形式分析了CPI與GDP、M3之間的相關性以及尾部相關性特征。研究表明CPI與GDP、M3增長率的變化是一致的，即CPI與GDP、M3存在正向相關關系。

關 鍵 詞 三維Copula；CPI；GDP；M3；相關性

中圖分類號 F832 文獻標志碼 A

0 引言

CPI作為衡量通貨膨脹的重要指標，反映居民消費價格的變動情況，對通貨膨脹問題的研究是經濟學界熱點問題。一般來講，物價全面、持續(xù)上漲就被認為發(fā)生了通貨膨脹，對物價產生作用的因素主要有實際因素與貨幣因素兩個因素。

無論從經濟學理論或從各個國家經濟發(fā)展的實踐來分析，通貨膨脹率與經濟增長率之間均存在密切關系。從經濟周期理論角度來看，兩者是判斷經濟周期的重要指標，將兩者結合進行研究有助于更加全面、深刻地分析宏觀經濟波動的問題。根據貨幣主義理論，導致物價水平和經濟活動變動最根本的原因是貨幣供應量變動。弗里德曼的通貨膨脹理論指出：通貨膨脹隨時隨地都是一種貨幣現(xiàn)象，通貨膨脹發(fā)生在貨幣供應量增速超過產量增度的情況下。對通貨膨脹與貨幣供應量關聯(lián)性的研究有利于了解通貨膨脹形成機制，對制定合理的經濟政策以推動經濟的發(fā)展具有重要意義?？紤]我國經濟運行狀況，對于實際因素，本文用GDP作為衡量經濟發(fā)展程度的指標。對于貨幣因素，廣義貨幣供應量M3拓寬了貨幣的統(tǒng)計范疇，將股票、金融衍生品等流動性較高的金融資產納入調控的范圍，擴展了已有的貨幣供應層次，故本文用M3作為衡量貨幣政策松緊度的指標。

目前，研究通貨膨脹等宏觀經濟的文獻相對較多。周文與趙果慶[1]使用1996—2009年GDP、CPI及M2增長率的季度數(shù)據，建立了動力系統(tǒng)模型分析了經濟增長與通貨膨脹的關系，得出兩者之間存在同向變動關系。李斯特[2]采用SVAR模型對通貨膨脹與貨幣供應量之間的關系進行研究，得出兩者之間存在長期均衡關系。宋建江與胡國運[3]用圖示法與模型檢驗，分析檢驗了各層次的貨幣供應量與通貨膨脹的相關性及因果關系，得出兩者存在較強相關性。陳朝旭[4]通過Granger因果關系檢驗及脈沖響應分析對經濟增長與通貨膨脹間的影響效應檢驗，得出兩者之間存在雙向Granger因果關系。王童與雷懷英[5]用二維Copula函數(shù)對CPI與GDP的季度同比增長率進行研究，得出CPI與GDP之間存在正向相關關系。

對于通貨膨脹的研究多數(shù)文獻利用的是相關計量方法，然而，傳統(tǒng)的線性相關性檢驗對非線性相關關系進行度量時有一定的局限性，度量結果可能不準確。Copula理論的提出為描述各個變量之間的相關性提供了新途徑。Copula作為各個變量邊緣分布間的連接函數(shù)，幾乎包含變量間所有的相關性信息，可用于描述變量間的非線性相關關系。Copula具有許多優(yōu)越性質如：可構造多種類型的多元分布，函數(shù)形式多樣化等。對于通貨膨脹的研究本文在二維Copula函數(shù)的基礎上，用三維Copula函數(shù)對CPI與GDP、M3之間的相關性進行分析，從影響通貨膨脹最重要、最根本的角度出發(fā)，研究所得結論更容易轉化為切實可行的經濟政策。

1 基本概念

1.1 阿基米德Coupula函數(shù)

定義1 設[φ]是[0，1→0，∞]上的嚴格、連續(xù)減函數(shù)，滿足[φ1=0]，[φ]的偽逆函數(shù)[φ-1：0，∞→0，1]，定義如下

[φ-1=φ-1t，0≤t≤φ00，φ0≤t≤∞]， （1）

則稱[Cu，v=φ-1φu+φv]為阿基米德Copula，[φt]稱其生成元[6]。

在Copula函數(shù)類中，因阿基米德Copula構造簡單，且具有很多良好的性質，因此得到廣泛應用。阿基米德Copula函數(shù)族中Gumbel Copula，Clayton Copula，No.12 Copula因具有厚尾分布特征，在金融領域應用廣泛。

1.1.1 Gumbel Copula

Gumbel Copula函數(shù)形式為[Cu，v，α=exp--lnuα+-lnvα1α]，其中[α]為參數(shù)，且[α∈1，∞）]，生成元為[φt=-lntα]。Gumbel Copula對變量間在分布上尾處的變化較為敏感，因此可用于描述具有上尾相關特征變量間的相關關系。

1.1.2 Clayton Copula

Clayton Copula函數(shù)形式為[Cu，v，α=maxu-α+v-α-1-1α，0]，其中[α]為參數(shù)，且[α∈-1，0?0，∞]，生成元為[φt=1αt-α-1]。Clayton Copula對變量間在分布下尾處的變化較為敏感，因此可用于描述具有下尾相關特征變量之間的相關關系。

1.1.3 No.12 Copula

No.12 Copula函數(shù)形式為[Cu，v，α=1+u-1-1α+v-1-1α1α-1]，其中[α]為參數(shù)，且[α∈1，∞]，生成元為[φt=1t-1α]。

1.2 尾部相關系數(shù)

尾部相關系數(shù)被廣泛應用極值理論，常用于說明當其中一個隨機變量為極值時，另外一個隨機變量也出現(xiàn)極值的概率[7]。尾部相關性對于研究金融資產的波動溢出極為重要。本文中考慮的尾部相關性是當GDP，M3發(fā)生大幅度增加或者減少時，CPI也發(fā)生大幅度增加或者減少的概率。由Copula的定義和性質，可以推出三維Copula函數(shù)的尾部相關性的表達式。

正尾部相關性：

[λup=P（Z>u|X>u，Y>u）=P（X>u，Y>u，Z>u）P（X>u，Y>u）=1-3u+C（u，u，α1）+C（u，u，α2）+C（u，u，α3）-C（u，u，u）1-2u+C（u，u，α1）]， （2）

式中：[u]為概率；[α1]為隨機變量[X，Y]對應的相關參數(shù)；[α2]為隨機變量[Y，Z]對應的相關參數(shù)；[α3]為隨機變量[X，Z]對應的相關參數(shù)。

負尾部相關性：

[λlo=P（Z>u|X

式中：[u]為概率；[α1]為Copula中隨機變量[X，Y]對應的相關參數(shù)。

2 Copula函數(shù)形式的選擇

目前Copula在實際應用中一個重要的問題是函數(shù)形式的選取。不同形式的Copula函數(shù)可能導致不同的分析結果，選擇合理的Copula函數(shù)尤為重要。

2.1 Copula函數(shù)模型參數(shù)的估計

2.1.1 三維Copula分布函數(shù)的確定

命題1 設[U，V，W]是服從[0，1]均勻分布的隨機變量，且[U，V，W]具有阿基米德Copula函數(shù)[Cu，v，w]，[φt]為[Cu，v，w]的生成元，設[M=2φuφu+φv+φw]，[N=2φvφu+φv+φw]，[T=Cu，v，w]，則可驗證[M，N，T]是相互獨立的，并且[M，N]均服從[0，1]均勻分布[6]。

由命題1的已知條件可得到隨機變量[M，N，T]聯(lián)合分布函數(shù)表達式，假設[H（m，n，t）]表示聯(lián)合分布函數(shù)，則[H（m，n，t）=mn0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt]，又因隨機變量是相互獨立的，且[M，N]均服從[0，1]均勻分布，故可得[FM（m）=m]，[FN（n）=n]，則[FT（t）=0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt]。令[K（t）]為[C（u，v，w）]的分布函數(shù)，則[K（t）=0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt]。多維阿基米德Copula分布函數(shù)的給出，為多維隨機變量間Copula模型的選擇提供了途徑。

2.1.2 三維Copula函數(shù)Kendall秩相關系數(shù)的確定

命題2 設[x1，y1，z1]和[x2，y2，z2]為具有聯(lián)合分布函數(shù)[H（x，y，z）]的兩個獨立向量，假設[x1，x2]的邊緣分布均為[F]，[y1，y2]的邊緣分布均為[G]，[z1，z2]的邊緣分布均為[W]，設[Cu，v，w]是與[H（x，y，z）]相對應的阿基米德Copula函數(shù)，且[φt]為生成元，[Q]表示和諧概率與不和諧概率之差，考慮等概率抽樣，則

[Q=401t?φ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt-2301（φt，α1φ′t，α1+φt，α2φ′t，α2+φt，α2φ′t，α2）dt-1]。 （4）

證明：

[Q=P（X1X2，Y1>Y2，Z1>Z2）-13（P（X1>X2，Y1

[P（X1Y2，Z1Z2）+P（X1Y2，Z1>Z2）+P（X1>X2，Y1Z2）+] [P（X1>X2，Y1>Y2，Z1X2，Y1>Y2，Z1>Z2）-13（P（X1

[P（X1>X2，Y1>Y2）+P（Y1Y2，Z1>Z2）+P（X1X2，Z1>Z2））]。 （5）

首先

[P（X1

[R3C（F（x），G（y），W（z））dC（F（x），G（y），W（z））]， （6）

令[u=F（x），v=G（y），w=W（z）]，則

[P（X1

[P（X1

利用同樣方法可得

[P（X1>X2，Y1>Y2，Z1>Z2）=I3C（u，v，w）dC（u，v，w）]， （9）

[P（X1>X2，Y1>Y2）=I2C（u，v）dC（u，v）]。 （10）

故可得

[Q=4I3C（u，v，w）dC（u，v，w）-23（I2C（u，v）dC（u，v）+I2C（v，w）dC（v，w）+I2C（u，w）dC（u，w））=]

[4E（C（u，v，w））-23（E（C（u，v））+E（C（v，w））+E（C（u，w）））]。 （11）

由命題1可知[C（u，v，w）]的分布函數(shù)為

[K（t）=0tφ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt]。 （12）

由二維Copula函數(shù)的性質可得[C（u，v）]的分布函數(shù)為

[KC（u，v）（t）=t-φ（t）φ′（t）]。 （13）

故得

[Q=401t?φ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt-2301（φt，α1φ′t，α1+φt，α2φ′t，α2+φt，α2φ′t，α2）dt-1]， （14）

式中：[α1]為隨機變量[u，v]對應的相關參數(shù)；[α2]為隨機變量[v，w]對應的相關參數(shù)；[α3]為隨機變量[u，w]對應的相關參數(shù)。

命題2中[Q]就是[X，Y，Z]的總體Kendall秩相關系數(shù)，即

[τ=401t?φ2（t）3[φ″（t）]2-φ′（t）φ?（t）2[φ′（t）]4dt-2301（φt，α1φ′t，α1+φt，α2φ′t，α2+φt，α2φ′t，α2）dt-1]。 （15）

2.2 最優(yōu)Copula函數(shù)形式選擇

1）假定設[x1，y1，z1]和[x2，y2，z2]為具有聯(lián)合分布函數(shù)[H（x，y，z）]的2個獨立向量，對應的Copula為[Cu，v，w]，則樣本[X，Y，Z]的Kendall秩相關系數(shù)為

[τX，Y，Z=τX，Y+τY，Z+τX，Z3]， （16）

式中，[τX，Y=2nn-11≤i≤j≤nsignxj-xiyj-yi]，類似可定義[τY，Z]與[τX，Z]，這里[sign]為符號函數(shù)[6]。

由命題2可得[X，Y，Z]的總體Kendall秩相關系數(shù)[τX，Y，Z]，利用樣本Kendall秩相關系數(shù)作為總體Kendall秩相關系數(shù)的估計值，從而得到Copula函數(shù)中參數(shù)估計值[α]，即令[τX，Y，Z=τX，Y，Z]。

2）求出相應Copula函數(shù)表達式，通過比較與經驗Copula函數(shù)的平方歐式距離，從而選擇最優(yōu)Copula函數(shù)。

3）為驗證所得結果，對其進行擬合優(yōu)度檢驗。

3 實例分析

本文采用季度數(shù)據進行度量，選取1993年1月到2017年10月CPI、GDP、M3的季度同比增長率數(shù)據，數(shù)據均來源于國家統(tǒng)計局網站及中經網統(tǒng)計數(shù)據庫。因CPI、GDP、M3分布的具體形式并不能確定，故本文首先用經驗分布函數(shù)來估計三者的邊際分布，從而降低因為邊際分布的假設不恰當所帶來的誤差。

第1步，利用經驗分布函數(shù)，將CPI、GDP、M3的季度增長率序列[（xt，yt，zt）]轉化為新的系列[（ut，vt，wt）]，其中[ut=Fx（xt），][vt=Fy（yt），][wt=Fz（zt），][t=1，…，T]分別為[X，Y，Z]的經驗分布函數(shù)，選擇Gumbel Copula，Clayton Copula，以及阿基米德族中的No.12 Copula [8]。

第2步，利用MATLAB編程計算出[τ]與[τ]，并以[τ]作為[τ]的非參數(shù)估計，得到表1中3種Copula函數(shù)中的參數(shù)[α]。

第3步，求出相應的Copula函數(shù)的表達式，計算3種Copula函數(shù)的平方歐式距離，如表2所示。

由表2可得出，[C1]相對于[C2]、[C3]對數(shù)據的擬合效果較好，因此[C1]（Gumbel Copula）既是最優(yōu)的Copula函數(shù)。下面進行擬合優(yōu)度檢驗。

第4步，利用[Q-Q]散點圖思想，若某個Copula函數(shù)能夠較好的擬合觀測數(shù)據，則圖像應更接近直線[y=x]。圖1至圖3分別為 C1（Gumbel Copula）、C2（Clayton Copula）、C3（No.12 Copula）與經驗分布函數(shù)的Q-Q圖。

由[Q-Q]圖可得出，[C1]（Gumbel Copula）擬合效果較好，與第3步所得出的結論一致。

4 結論

文中選出了最優(yōu)Copula函數(shù)以對CPI與GDP、M3的季度同比增長率數(shù)據進行相關性研究，最后用選出的最優(yōu)Copula函數(shù)Gumbel Copula函數(shù)分析尾部相關性特征，考慮當GDP與M3超過[q0.925，][q0.95]，[q0.975，][q0.995]時，CPI超過對應分位數(shù)的概率，即考慮當[u=0.925，][u=0.95，u=0.975，u=0.995]時的正尾部相關性，由二維Copula函數(shù)可得CPI與GDP對應的相關參數(shù)[α1=2.608 7]，CPI與M3對應的相關參數(shù)[α2=1.477 4]，GDP與M3對應的相關參數(shù)[α3=1.667 7]。結果見表3。

由表3可知當GDP與M3超過[q0.925，q0.95，q0.975，q0.995]時，CPI超過對應分位數(shù)的概率分別為[0.842 0，] [0.845 2，][0.838 7， 0.833 3]。

本文基于三維Copula函數(shù)對CPI與GDP、M3的相關性進行分析?？梢缘贸鯟PI與GDP、M3具有正相關關系。研究三者之間的相關關系對于提高人民的生活水平，維持物價穩(wěn)定實現(xiàn)經濟的增長，也為建設和諧社會的需要，起著積極的作用。國家應采取相應的措施穩(wěn)定CPI的走勢，真正的挑戰(zhàn)不是能夠控制通過通貨膨脹，而是將其控制在可以接受的水平，同時盡可能維持經濟的穩(wěn)定增長。為了實現(xiàn)預期目標要將貨幣政策、財政政策及行政手段相結合，控制貨幣供應量的增長速度，同時，還應該以財政政策與行政手段相配合，合理控制經濟增長，穩(wěn)定物價。

參考文獻：

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[責任編輯 田 豐]