投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)的優(yōu)化研究

彭紅

摘要：本文建立了投資的收益與風(fēng)險(xiǎn)的投資組合方案，使凈收益盡可能大，且總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。1 風(fēng)險(xiǎn)越大，收益越大。2 當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這與題義一致。即，冒險(xiǎn)的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。

關(guān)鍵詞：投資；收益與風(fēng)險(xiǎn)

1 問(wèn)題的提出

現(xiàn)在我們有一定的資金，想在市場(chǎng)中進(jìn)行投資，投資每個(gè)項(xiàng)目有一定的的收益和風(fēng)險(xiǎn)，怎么計(jì)劃我們的投資使我們得到最大的收益，而使我們所經(jīng)歷的風(fēng)險(xiǎn)最小是一個(gè)值得討論的問(wèn)題。

市場(chǎng)上有n中資產(chǎn)S （i=1，2，……，n）可以選擇作為投資項(xiàng)目，現(xiàn)用數(shù)額為M的相當(dāng)大的資金作一個(gè)時(shí)期的投資。這n中資產(chǎn)在這一時(shí)期內(nèi)購(gòu)買S 的平均收益率為r ，風(fēng)險(xiǎn)損失率為q ，投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小，總體風(fēng)險(xiǎn)可以用投資的S 中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量。

購(gòu)買S 時(shí)要付交易費(fèi)（費(fèi)率p ），當(dāng)購(gòu)買額不超過(guò)給定值u 時(shí)，交易費(fèi)按購(gòu)買u 計(jì)算。另外，假設(shè)同期銀行存款利率是r （ r =0.005），即無(wú)交易費(fèi)又無(wú)風(fēng)險(xiǎn)。

試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇的購(gòu)買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，且總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。

2 基本假設(shè)

1 投資數(shù)額相當(dāng)大，為了方便計(jì)算，假設(shè)M=1；2 投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越?。? 總體風(fēng)險(xiǎn)用投資項(xiàng)目S 中最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)度量； 4 n中資產(chǎn)S 之間是相互獨(dú)立的； 5 在投資這一個(gè)時(shí)期內(nèi)，r ，q ，p ，r 為定值，不受以為因素影響；

6 凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只受r ，q ，p 影響，不受其他因素干擾。

3 符號(hào)設(shè)定

S ——第 i中投資項(xiàng)目，如股票，債券

r ，q ，p ——分別為S 的平均收益率，風(fēng)險(xiǎn)損失率，交易費(fèi)率

u ——S 的交易定額 r ——同期銀行利率

x ——投資項(xiàng)目S 的資金 ——總體收益的增量

Q——總體收益

4 模型分析與模型建立

1 總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的S 中的最大一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)來(lái)衡量，即max{q x |i=1，2， …，n}.

2 購(gòu)買S 所付交易費(fèi)是一個(gè)分段函數(shù)，即

交易費(fèi)= ，

而問(wèn)題所給定的定值u （單位：元）相對(duì)投資M很小，p u 更小，可以忽略不計(jì)，這樣購(gòu)買的凈收益為（r —p ）x 。

3 要使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃模型：

目標(biāo)函數(shù)： max

in{max{ }}

約束條件 x >=0， i=1，2， …，n

4 模型簡(jiǎn)化：

a. 在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不同，若給定一個(gè)界限a，使最大的一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)q x /M<=a ，可找到相應(yīng)的投資方案。這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個(gè)目標(biāo)的線形規(guī)劃。

模型1 ：固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益

目標(biāo)函數(shù)：Q=max 約束條件：

， x >=0， i=1，2， …，n

b. 若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找相應(yīng)的投資組合。

模型2 固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)

目標(biāo)函數(shù)：R=min{max{ }}

約束條件： ， x >=0， i=1，2， …，n

c.投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時(shí)，希望選擇一個(gè)令自己滿意的投資組合，因此對(duì)風(fēng)險(xiǎn)收益賦予權(quán)重，稱為投資偏好系數(shù)。

模型3 引進(jìn)權(quán)重

目標(biāo)函數(shù)：min S{max{ }}-----（1---S）

約束條件： x >=0， i=1，2， …，n

5 模型的求解

我們給出一些數(shù)據(jù)，按照模型1進(jìn)行求解，數(shù)據(jù)如下：

6 結(jié)果分析

由計(jì)算結(jié)果和圖可得到以下結(jié)論：1 風(fēng)險(xiǎn)越大，收益越大。2 當(dāng)投資越分散時(shí)，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這與題義一致。即，冒險(xiǎn)的投資者會(huì)出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。

參考文獻(xiàn)：

[1]運(yùn)籌學(xué)教程.胡運(yùn)權(quán).北京：清華大學(xué)出版社，1995

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[3]數(shù)學(xué)建模.徐全智 楊晉浩.高等教育出版社2003.7

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