一類具有時滯的微分方程穩定性分析

摘 要：本文考慮了一個具有時滯的微分差分方程，利用線性化方法來研究了系統平衡點的局部漸近穩定性和Hopf分支的存在性.

關鍵詞：時滯;線性化;Hopf分支

1 引言

人們最初利用常微分方程在各個學科研究領域中刻畫實際生活的系統模型，但隨著數學學術的深入研究，自從1771年Condorcet推導出了數學歷史上的第一個時滯微分方程以來[1-3]. 例如帶時滯的Logistic生物系統模型、種群動力學、傳染病動力學. 時滯微分方程也叫泛函微分方程，Ruan和Wei在文獻給出了超越方程根分布的特點.

時滯微分方程的分支理論在動力系統研究中具有很重要的意義，分支現象不僅在理論中研究，它也廣泛地存在于自然界和人類的生產生活中，并且已經被各個領域的學者們廣泛的研究及應用. 本文研究如下形式的時滯微分方程初值問題

本文將利用文獻[4]中的方法研究具有初值條件的模型（1）的穩定性現象.

2 平衡點的局部漸近穩定性和Hopf分岔

將方程（1）在處線性化，系統（1）可以寫成下面線性自治齊次的時滯微分方程的初值問題

2.1? 平衡點的絕對穩定

這一節主要分析系統（2）平衡點的絕對穩定. 令 時，則

即 是系統（2）的平衡點.

將代入（2）得

如果方程（3）的所有根都有負的實部，那么系統（2）的平衡點是漸近穩定的. 如果方程（3）有一個根具有正的實部，那么系統（2）的平衡點是不穩定的.

如果，那么方程（3）簡化為

定理2.1 ，則系統（2）的平衡點是局部漸近穩定的.

下面分析時滯，系統（2）平衡點穩定性的影響，假設特征方程（3）有一對純虛根，將其代入特征方程（3）得

方程（5）的實部和虛部分離，可得

把方程（6）兩邊的平方和相加，可得下面的方程

于是方程（7）有唯一的正根

2.2? ?單次穩定性切換

從方程（6）可得相應于的的值為

設是當附近變化時特征方程（4）的共軛復根，滿足下面的橫截性條件成立

引理2.2假設條件（H1）成立，由（8）定義且由（9）給出，則

證明? 將特征方程（3）兩邊對微分，可以得到

注意到當時，，則

于是

證明完畢.

由引理2.2，可陳述下面的系統（3）平衡點的穩定性和Hopf分支的結論.

定理2.3 方程（9）定義了且方程（10）定義了.

（1）如果，則系統（3）的平衡點是局部漸近穩定的.

（2）如果，則系統（3）的平衡點是不穩定的.

（3）如果，則系統（3）在平衡點處出現Hopf分支.

3 結論

本文研究時滯微分方程，首先考慮系統ODE模型的穩定性，通過分析系統線性化方程中特征方程的根的分布;其次分析了一個時滯系統的線性穩定性和單次穩定性切換，最后得到了相關的一些具體結果. 結果表明當系統中的時滯在臨界值時，系統在平衡點附近出現Hopf分支.

參考文獻

[1]鄭祖庥. 泛函微分理論[M]. 安徽教育出版社，1994.

[2]魏俊杰，黃啟昌. 泛函微分方程分支理論發展概況[J].科學通報，1997（24）：2581-2586.

[3] 魏俊杰，王洪濱，蔣衛華. 時滯微分方程的分支理論及應用[M].北京科學出版社，2012.

[4]Yan X，Shi J. Stability Switches in a Logistic Population Model with Mixed Instantaneous and Delayed Density Dependence[J]. Journal of Dynamics and Differential Equations，2017，29（1）：113-130.

作者簡介：

楊曉燕（1994-），女，山西朔州人，碩士研究生，主要從事非線性微分方程的動力學研究.