構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的運用

洪雅倫

摘要：構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中較為常用的一種方法，尤其是在數(shù)學(xué)分析中構(gòu)造法的使用尤為廣泛。其實，構(gòu)造法是通過將題目中未知的或已知的事物轉(zhuǎn)化為具有一定規(guī)律或一定定義的數(shù)學(xué)公式或方法，從而對題目進行解答。在中學(xué)階段，雖然在高中課本中并沒有明確給出構(gòu)造法這一定義，但是在一些解題中也用到了構(gòu)造法的思想。通過讓中學(xué)生事先接觸構(gòu)造法的思想，有助于讓學(xué)生在接下來的高等數(shù)學(xué)中更好地理解并運用構(gòu)造法。在接下來的內(nèi)容里我將通過三角函數(shù)，數(shù)列和不等式三個方面來分別講述構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；三角函數(shù)；數(shù)列；不等式

1.引言

在數(shù)學(xué)的誕生之日起，數(shù)學(xué)中構(gòu)造性的解題技巧也隨之誕生。對此，直覺派提出了一個口號：“存在必須是被構(gòu)造”。直到現(xiàn)代，數(shù)學(xué)構(gòu)造法已被廣泛地應(yīng)用于各種數(shù)學(xué)解題中。構(gòu)造法的本質(zhì)就是通過構(gòu)造一個與已知（或隱含或待求證）相聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型，再充分利用這個數(shù)學(xué)模型所具有的性質(zhì)特點來對題目進行求解。

構(gòu)造法是一種非常簡便、新穎的解題方法，它的靈活性大大吸引了學(xué)生的求知欲望。但是，對于構(gòu)造法他們又不知如何入手。故而，這就需要教師在平時的教學(xué)中多為學(xué)生提供更多的解法，并且對每一種方法的優(yōu)缺點都進行比較，從而逐步培養(yǎng)學(xué)生的解題速度，并且讓學(xué)生從中掌握到最簡的方法，為學(xué)生能更好地運用構(gòu)造法打下化繁為簡的思維基礎(chǔ)。

除此之外，教師還需要培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想構(gòu)造能力。比如，在遇到題目時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考并聯(lián)想，題目中哪些條件與之前學(xué)過的某些知識點是有聯(lián)系的？這道題目是否與之前做過的某道題型相似？解法是否也相似？題目問題是否可以轉(zhuǎn)化為求解另外的更容易解答的問題？諸如此類，通過引導(dǎo)學(xué)生層層聯(lián)想，有助于讓學(xué)生自行構(gòu)造一個合適的數(shù)學(xué)模型，最后找到解決方法。

但是，構(gòu)造法只是我們解決數(shù)學(xué)題目的一種技巧，在運用構(gòu)造法時，我們還需要與其他數(shù)學(xué)知識相結(jié)合。構(gòu)造法只是幫助我們構(gòu)造出一個我們所熟悉的數(shù)學(xué)模型，但是在求解題目的過程中，我們依舊需要運用到我們所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)特點，諸如函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合、不等式思想、方程思想、向量思想等等。因此，只有在我們熟悉各類數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法的前提下，我們才能靈活運用構(gòu)造法。

構(gòu)造法是一種思維跳躍性極大的數(shù)學(xué)解題方法，它不僅可以運用在函數(shù)上，也可以運用到方程等其他方面，它在數(shù)學(xué)的各個分支均有滲透。構(gòu)造法也是一門沒有固定規(guī)律的方法，它的使用需要調(diào)動到我們的各種數(shù)學(xué)思維，結(jié)合抽象思維，逆向思維，發(fā)散思維等多種數(shù)學(xué)思維的共同參與。但是，只要運用得當(dāng)，它便能夠為我們解題提供一個便捷的橋梁，特別地，在運用構(gòu)造法解題的過程中，有助于激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性和創(chuàng)造性思維，從而培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和提高學(xué)生的解題能力。

高中數(shù)學(xué)中會有多個方面使用到構(gòu)造法。在本篇文章中，我將從三角函數(shù)、數(shù)列、不等式三個方面來講述構(gòu)造法在其解題中的運用。

2.三角函數(shù)

函數(shù)具有很多特殊的性質(zhì)，特別地，函數(shù)還可以通過與圖像相結(jié)合來達到讓人更好地理解函數(shù)的目的，即是所謂的數(shù)形結(jié)合思想。在解答三角函數(shù)的題目時，如果能夠恰當(dāng)?shù)乩煤瘮?shù)的性質(zhì)，那將有助于讓我們對三角函數(shù)題目進行求解。故而，構(gòu)造函數(shù)也是為我們解題的一個新的思路。

例一已知 且 ，求 的值.

分析如下：本題若利用常規(guī)的三角函數(shù)的三角恒等變換公式去做，是很難下手的。我們可以觀察到在方程組內(nèi)的兩條式子里均含有一個a，則我們也許可以想辦法將兩條式子中的a值消去，由第一條式子我們可以得到 ，由第二條式子我們能得到 。因為2a是相等的，所以可以聯(lián)立兩條式子得到 。由此我們可以構(gòu)造一個函數(shù)，即為 。然后再利用函數(shù)的增減性對函數(shù)進行求解。

小結(jié)：此題是三角函數(shù)中構(gòu)造函數(shù)的一個典型題目。通過構(gòu)造一個熟悉的復(fù)合函數(shù)將題目中的式子簡單化，有助于讓我們更好地理解。在三角函數(shù)中并不僅僅只有三角公式，構(gòu)造函數(shù)的方法也有助于我們解題。

3.數(shù)列

在高考中，數(shù)列是很重要也是很有難度的一章。而數(shù)列的解題方法有多種，包括疊加法、倒序相乘法、裂項相消法、錯位相減法以及構(gòu)造法等。數(shù)列在構(gòu)造法上有很多種類型，接下來就先講述構(gòu)造等差數(shù)列。通常題目給出的數(shù)列并不是等差數(shù)列，但是我們能夠通過加減或者乘除等來對其變形使之變?yōu)槲覀冃枰牡炔顢?shù)列。

例二已知數(shù)列 中， ，求通項公式 .

分析如下：對于本題，我們可利用待定系數(shù)法對原題式子進行變形，令 ，然后再分別對式子兩邊平方，可得 ，令 ，解得 。所以可得 。至此，我們已經(jīng)構(gòu)造出了等差數(shù)列 。但是在這里我們必須要注意一下，由于構(gòu)造出數(shù)列的底數(shù)是 ，也即是由于奇偶性不同我們需要構(gòu)造出兩個不同的數(shù)列，分別是當(dāng)n為奇數(shù)時和n為偶數(shù)時的兩種不同情況，然后再根據(jù) 分別列出 的通式。

小結(jié)：本題的解題關(guān)鍵就在于構(gòu)造出等差數(shù)列。我們需要熟練掌握待定系數(shù)法，然后利用待定系數(shù)法所求得的數(shù)字代入所設(shè)的式子中，從而構(gòu)造出我們需要的等差數(shù)列。在求出等差數(shù)列之后，我們必須認(rèn)真審題，就像本題一樣，在最后的時候我們還需要根據(jù)奇偶性判斷出最后的通式。

4.不等式

在證明不等式時，構(gòu)造函數(shù)是較為常用的一種方法，我們需要仔細(xì)觀察條件，包括題設(shè)以及隱含的條件，根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)來構(gòu)造合適的函數(shù)，再利用函數(shù)的思想和方法來解決問題。

例三 .

分析如下：對于這道題目，我們可以先從要證明的不等式出發(fā)，即先將 進行變形得到 ，兩邊取對數(shù)可得 ，為方便我們觀察，我們不妨令 ，從而將上式化為 。至此，我們便可以開始構(gòu)造函數(shù) ，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對函數(shù) 進行求導(dǎo)得出函數(shù) 為減函數(shù)，又因為 ，從而得出 。原不等式得證。

小結(jié)：在利用構(gòu)造函數(shù)來證明不等式時，我們需要抓住題目的結(jié)構(gòu)特點。以本題為例，我們可以先從結(jié)論入手，對我們所需要證明的不等式進行變形，然后我們再根據(jù)變形之后得到的式子構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)的函數(shù)。最后利用函數(shù)的性質(zhì)，包括導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、奇偶性等來解決題目。

5.結(jié)束語

5.1 論題小結(jié)

構(gòu)造不是憑空得來的，它需要我們結(jié)合以往學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，展開合理的聯(lián)想與想象，對問題進行思考，從而構(gòu)造出我們所需要的數(shù)學(xué)模型。在使用構(gòu)造法時，我們必須要把握好數(shù)學(xué)間不同知識板塊之間的區(qū)別與聯(lián)系。運用構(gòu)造法解題，可以快速簡便地解決問題，其關(guān)鍵就在于對問題的變形與化歸。

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們能夠構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型包括方程，函數(shù)，數(shù)列，復(fù)數(shù)，對偶式，三角形等。而主要的構(gòu)造解題思路又包括類比構(gòu)造，直覺構(gòu)造，歸納構(gòu)造，逆向構(gòu)造，聯(lián)想構(gòu)造等。這些常用的數(shù)學(xué)構(gòu)造模型以及解題思路對學(xué)生在以后的解題中具有很大的作用，有助于培養(yǎng)學(xué)生活躍的數(shù)學(xué)思維以及濃厚的數(shù)學(xué)興趣，提高學(xué)生的問題分析能力和數(shù)學(xué)解題能力，加強學(xué)生對已有知識的理解與掌握。

5.2 論題展望

筆者建議，在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可嘗試多為學(xué)生講述能夠一題多解的題目，逐步培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維，使學(xué)生體會到對于一道題目具有多種構(gòu)造性的解法。構(gòu)造法在數(shù)學(xué)分析中的使用尤為廣泛，在中學(xué)階段讓學(xué)生初步接觸有關(guān)構(gòu)造法的題目，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

參考文獻：

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