化“非常規”為“常規”

陳愛弟

一、讀透教材，收集素材

數學教材不僅是數學課堂教學的主要內容，也為教師提供了教學活動的基本線索和方法。筆者抓住內容的重難點、教學目標、新舊知識的連接點，對求“不規則礦泉水瓶子的體積”進行研讀。基于學生已經具有豐富的生活經驗和知識基礎，教材創設熟悉的生活情境：利用礦泉水瓶中的水求出整個瓶子的體積。這樣的圖形對學生的原有知識架構具有一定挑戰性，也激發學生對這熟悉而非常規的數學問題產生較大的興趣。教材意在：有意識利用數學的方法解釋現實世界中的現象，發現現實生活中蘊含著大量與數量和圖形有關的問題。

二、構思主線，準確定位

教學目標不僅是解決這一具體問題，更重要的是在這一過程中提高學生的問題意識，讓學生在探究的過程中理解和掌握轉化的思想，體會轉化的實質是“變中不變”的數學思想。激發筆者思考以下幾個問題。

思考一：如何準確把握教學內容？

在實現教學的知識與技能目標的同時，把數學思想的滲透進一步融入到課堂中，并成為課堂的“靈魂”。例如在設計“求不規則礦泉水瓶子的體積”時應該根據教學重難點，簡明扼要地表述在解決問題的過程中突出轉化、推理和變中不變的數學思想。

思考二：如何指導學生自主探究？

教學時，筆者抓住關鍵點——在瓶子倒置前后用“什么變了，什么不變”來引發學生的積極思考，并讓學生動手倒置水瓶，引導學生觀察瓶中的變化情況。在學生對瓶中水的部分與空氣部分有了形狀和體積的變與不變的理解后，繼續追問：計算瓶子的容積需要把瓶子轉換成什么來求呢？目的是通過“問題—直觀—追問”等各種方式來激發學生的“最近發展區”，調動學生學習的積極性，進一步發展學生解決問題的能力。

思考三：如何使學生觸類旁通？

學習數學的最終目的是靈活應用數學方法和數學思維解決問題。因此，筆者教學時，致力于讓學生親身經歷“發現問題—提出問題—分析問題—解決問題”的完整過程，懂得解決“這一類不規則而近似圓柱物體的體積”的實際問題。于是，根據教學目標這一“方向盤”，設計有梯度而循序漸進的練習題能進一步檢驗學生的掌握程度和應用能力。

三、研討方法，先學引領

筆者結合學校的小課題研究“如何有效地組織好學生的課前預習”。“課前預習”使學生的問題、疑難得以提前暴露，能最大程度地發揮和提高學生的自學與合作能力，提高課堂效率。而想要突顯好課前預習的效果，設計一份有效的《預習提綱》尤為關鍵。《求不規則礦泉水瓶子的體積》的預習提綱設計，筆者按照“調查—實驗—修正”三個環節展開，最后商討定稿。

（一）調查

第一次設計好《預習提綱》后，組織不同水平的幾個學生進行口頭測試，測試表明：這些學生對利用“什么方法計算什么圖形的體積”缺乏解題思路。另外，解決思路的提示局限了學生的思維發展。

顯然，方案一的問題設計不符合學生的知識儲備，也不利于發揮學生的獨立探究和思維鍛煉，必須修改。

（二）實驗

第二次研討，抓住解決問題的突破口——倒置前后，哪些量不變？只有抓住“不變量”，學生就容易找出“等量關系”。于是修正后得出方案二，如下：

討論定稿后，提前讓學生做好預習，課堂反饋針對提綱第1題的作答情況，匯總如下：

從表格數據可見：學生比較容易得到“瓶子的容積與瓶中水”的體積不變，但相當一部分學生容易忽略瓶中“無水部分”即“空氣”的體積不變。而關注瓶子外在特點如瓶子的底面半徑、直徑、底面積和高度這些非本質的東西的學生所占比率較大，甚至有個別學生認為：倒置前后，水的高度不變。這種錯誤的表象，反映出個別學生缺乏細心的觀察和深入的思考。

（三）修正

根據學生存在的問題和內容設計的局限，科組再次討論，問題的設計關鍵要讓學生明白“倒置前后，瓶中的什么變了，什么不變”這一本質，并理解：計算瓶子的容積可以轉化成什么來計算呢？修改得到方案三，如下圖：

這一份《預習提綱》較之前兩份，思維更開放，能進一步發揮學生的獨立探究能力，深入引發學生通過觀察發現：倒置前后，水和空氣部分的形狀是變化的，而水和空氣部分的體積又是不變的。有利于把“未知知識（不規則形狀的體積）轉化為已學知識（規則形狀的體積即圓柱形的體積）來解決”。

四、施行預案，有效落實

有效的教學設計，應根據學生的需要，適時提出探究問題，做到難易有度、循序漸進。基于“轉化和變中不變”的思想內涵、教材編排及真實學情，筆者從四“巧”進行有效教學。

（一）巧設情境

好的情境設計往往能在短短幾分鐘就吸引住學生，激發學生的學習動機，充分調動學生的學習興趣，能喚醒學生的生活經驗，滲透數學思想方法。做法如下：

筆者首先簡單地復習用排水法求出土豆與西紅柿的體積，用捏壓法求出橡皮泥的體積。通過回顧舊知，讓學生溫故而知新，喚醒學生腦海里已有的“轉化”方法，即把“不規則物體轉化成規則物體的體積計算”。

接著，出示一個空礦泉水瓶，追問：如何求它的體積？目的引發學生大膽地設想解決問題的方法。乘勝追擊：沒有任何測量工具，只知道直尺、瓶子與瓶子里的一部分水，你還能求出瓶子的體積嗎？學生通過一連串地追問，激發學生對問題解決的欲望與興趣。

（二）巧用預案

利用預習提綱和課前四人小組匯報交流，課堂上學生的思維更加流暢、靈敏。

1.實物操作，直觀明了。

要使學生較好地參與幾何與圖形的新知學習，關鍵讓學生親身經歷實踐操作，積累豐富的活動經驗。

追問完“瓶子倒置前后，什么變了，什么不變”，接著就讓學生進行實物演示，目的讓學生邊操作邊觀察發現：水的形狀在倒置前是規則的圓柱體，而倒置后變成一個不規則的形狀，但水的體積不因為形狀的變化而變化。同理，空氣的體積在倒置前是一個不規則形狀，在倒置后變成一個規則的圓柱體，體積仍然不變。“演示+分析”讓學生充分體會“變中不變”數學思想。

2.動畫合成，化難為易。

利用多媒體的動畫效果，圖、文、聲并茂，直觀、形象地加強學生對“倒置前圓柱形水的體積與倒置后不規則水的體積”和“倒置前不規則空氣的體積與倒置后圓柱形空氣的體積”兩個等量關系的理解。順勢出示：倒置前圓柱形水的體積+倒置后圓柱形空氣的體積=拼成新圓柱形的體積，也就是瓶子的容積。

通過“動畫合成”的操作演示，不僅可以使靜態的教學內容變為動態的畫面，也使枯燥抽象的數學知識變得生動具體。重點是把“不規則的瓶子”轉化成“兩個圓柱體”進行計算，把新學知識的難點分解為已學知識，是開啟學生智慧的“魔法棒”。同時，再次加深學生對“轉化思想”的理解與應用。

3.全班匯報，強化思路

讓學生參與全班匯報，不但有利于學生積極參與教學過程，而且能強化訓練學生的語言和思維。根據學生匯報情況可知：大部分學生都能正確計算出倒置前圓柱形水的體積和倒置后圓柱形空氣的體積，求出兩部分圓柱形的體積和就是求瓶子的容積，但不能完整表述“倒置前與倒置后”這些本質性語言，也就說明：學生在預習過程中，無法正確理解“變中不變”數學思想所蘊藏的“等量關系”。

（三）巧練題型

當堂達標教學中的練習題，既要讓學生“熟能生巧”，又要防止學生“熟而生厭”。因此，在設計時，要特別強調教學重點與梯度，做到難易得當，層層推進。

筆者結合本課重難點，設計兩道基礎題和兩道變式題，既檢測到學生的掌握程度，又體現出學生靈活運用知識的能力。其中，第三題對中下生來說有一定的難度，采取小組討論。討論結果方法多樣：有些學生利用解方程先求出底面積，再求出汽水體積;也有個別學生利用分數乘法解決，把汽水體積看成1.5L的二十五分之二十（或五分之四）來求。從學生的當堂測驗結果看到：學生能較深刻地理解“轉化思想與變中不變的數學思想”，能較靈活地運用所學思想解決這一類問題。

（四）巧妙提升

課末，筆者引領學生進行回顧總結，并介紹生活中這一類型問題，如生病打點滴時輸了多少液體等，激發學生思考，并延伸到生活中。

總之，轉化這一數學思想方法不管在數學學習上還是在生活上都能廣泛應用，實現轉化思想的有效滲透，構建高效課堂，要求我們要以生為本，準確定位，打通學生新舊知識之間的“連接點”，使學生學會利用轉化思想和變中不變思想，化“非常規問題”為“常規問題”。