淺談高考導數大題放縮法

[摘 ?要：導數，作為高考數學的重要考點，有綜合性強，理解難度大的特點，備受高考命題者的青睞。筆者在高中數學課本的課后習題中發現了兩個常用不等式，并進行推廣應用，在許多導數題中能進行有效放縮，得到事半功倍的效果。本文將嘗試討論其具體應用，希望能幫助高考學子們在高考中取得優異成績。討論如下，謹供參考。

關鍵詞：高考;導數;放縮法;解題技巧]

1常見不等式

如下：①lnx≤x-1;②[lnx≥1-1x];③[lnx≤x2-12];④[lnx≤xe];⑤ex≥x+1;⑥ex≥ex;⑦[lnx≤12（x-1x）]

2證明不等式

常見不等式的證明：lnx-x+1

令[fx=lnx-x+1]

則[fx=1x-1=1-xx]

故[fxmax=f1=0]，即[lnx-x+1≤0?lnx≤x-1]

關于此不等式，不妨作一些代換，

令[1t=x]代入①式，則[lnt≥1-1t]即[lnt≥1-1t]，即②式

令[t2=x]代入①，則[lnt2≤t2-1?lnt≤t2-12]即③式

令[te=x]代入①，則[lnte≤te-1?lnt≤te]即④式

令[et=x]代入①，則[t≤et-1?et≥t+1]即⑤式

令[ey=t]代入④，則[y≤eye?ey≥ey]即⑥式

關于⑦式，下文證明。

注：以上不等式都有取等條件，使用時注意取等條件。

證明不等式：

例1：證明：[1ex-2ex-lnx<0]

分析：因式中既含[ex]又含lnx，若直接求導難以求出導數零點，故考慮放縮，若將[1ex]放大為[1ex]，則顯然不等式不成立，此時需將-[lnx]移至右邊，再兩邊同乘x，即證[xex-2e<xlnx]，注意到x[>0]，根據[ex≥ex]可得[xex≤1e]，當且僅當x=1時等號成立，對于不等式左邊，令[fx=xlnx]，則[f'x=lnx]+1，得[fx]min=[f1e=-1e]，故[xlnx≥-1e]當且僅當x=[-1e]時等號成立。

例2：證明：[lnx≤12（x-1x）]

分析：可仿照例1思路，因為例2導數零點易求得，可先不考慮放縮，令[fx=lnx-12x+12x]，則[fx=-x-122x2≤0]，故[fxmax= f1=0]，命題得證。

這種思路簡單易得，但對于一些難度較高的題，這種方法就會顯得十分繁瑣，甚至會因導數零點無法求得而難以繼續進行。對此，不妨換一種思路，例如將導數零點轉移，其具體作法為將原式兩邊同乘x，即要證明x[lnx≤x2-12]，再令[fx=]x[lnx-x2-12]，則[fx=lnx-x+1≤0]，故[fxmax=f1=0]命題得證。

3求參數取值范圍

例3：已知

[fx=（x+1）lnx-ax-1]，若當x∈（1，+∞），[fx﹥0]恒成立，求a的取值范圍。

分析：首先，分離參數得

a﹤[x+1lnxx-1]，令[gx=x+1lnxx-1]，設[g（x）min=a]，

再由[x-1]與[lnx]可聯系到[lnx≤x-1]，因此[a≤x+1]恒成立，

由取等條件可知[a≤2]，此時再將lnx縮小即[lnx≥1-1x]，可得[a≥1+1x]恒成立，由取等條件可知[a≥2]，故[a=2]。注意到x不能取到1，故[a≤2]。

例4：若關于x的不等式[lnx+x-x2≤aex]恒成立，求實數a的取值范圍。

分析：仿例4思路，分離參數可得a≥[lnx+x-x2ex]，

此時將[lnx]放大得[fx≤-x2+2x-1ex≤0]，兩個等號同時取得，

所以條件式當且僅當x=1，故a≥0。

例5：若x>0，關于x的不等式

[xex-kx+1e≥0]恒成立，求k的取值范圍。

分析：首先，該題直接求導數較復雜，不妨分離常數得

[ex+1ex≥k]，因[ex≥ex]故[ex+1ex≥ex+1ex≥2]，當且僅當x+1時，而導數同時取得，故k[≤2]。

例6：已知函數[f（x）]=2a[lnx+1+1x+1+2x-1]，當x∈[0]，[+∞]時，[fx≥0]恒成立，求a的取值范圍。

分析：因[lnx+1]前有參數，故此時不宜直接放縮，不妨分類討論。

（1）若a[≥-12]，[fx≥]-[lnx+1+1x+1+2x-1≥-x+1x+1+2x-1=x2x+1]。

（2）若a[=-12]，[fx<2axx+1+1x+1+2x-1=xx+12a+2x+1]，

此時，只須取x∈[0，-2a+12]，則[fx<0]，綜上，a的取值范圍為[[-12]，[+∞]。

例7：已知a>0，關于x的不等式lnx+ax2?ax?3x≥0在x∈[[1e]，1]上恒成立，求a的取值范圍。

分析：因x2與x前均有參數，故直接求導比較繁瑣，且由lnx≤x?1可使不等式左側大大簡化，故考慮放縮。令f（x）=lnx+ax2?ax?3x+3，則f（x）≤x?1+（ax?3）（x?1）≤（ax?1）（x?1）≤0。①若a>2e，取x∈（[1e]，1），則f（x）≤0，不符合題意。②若2

4高考真題

例8：（2018年全國卷Ⅲ21.理）已知函數f（x）=（2+x+a[x2]）ln（1+x）?2x，若x=0是f（x）的極大值點，求a。

分析：因f（x）較復雜，若直接放縮則難以進行清晰的分類，故可直接求導。

f'（x）=（1+2ax）ln（x+1）+[ax2+x+2x+1]-2=（1+2a）ln（x+1）+[ax2+1x+1]-1，由題意可知，x=0為f'（x）的一個先正后負的變號零點，此時可考慮在求導，f''（x）=2aln（x+1）+[1+2axx+1]+[2axx+1-1-ax2（x+1）2]，因此需使f''（x）存在某區間（[x1，x2]）使f''（x）≤0恒成立，其中[x1]<0<[x2]，

當a≥0時，

[f''x=2a] ln（x+1）+[3ax2+4ax+x（x+1）2]，取x>0，

[f''x≥0]恒成立，不符合題意。當a<0時，由[lnx+1≤x]，

可得[f''x≥2ax+3ax2+4ax+xx+12=x（2ax2+7ax+6a+1）x+12]，

取x∈（0，[x2]），[x>0]則[2ax2+7ax+6a+1≤0]，取x∈（[x1]，0），[x<0]則[2ax2+7ax+6a+1≥0]，

由函數的連續性和零點存在性原來可得：

使得[2ax2+7ax+6a+1=0]的一個[x0]∈[x1，x2]，令[x1]，[x2]同時趨向0，得[x0=0]即6a+1=0，a=[-16]。

5結語

限于篇幅，本文的討論不能更加深入地展開，但筆者希望高考學生們能熟記本文中運用的常用不等式，并不是地加以練習鞏固，那么這類問題基礎上就能輕松解決了。

參考文獻

[1]吳邦良.導數應用中的函數不等式證明方法探索[J].福建中學數學，2015，5：45-47.

[2]吳俊英.探析導數題中常見的含參數與極值點偏移問題[J].福建中學數學，2017，5：1-4.

[3]王海剛.數學小丸子的解題筆記：導數壓軸題與放縮應用[M].浙江大學出版社，2018，1：37-40.

作者簡介

李世凱（2001.10.05—），男，漢族，湖北孝感人，湖北省孝感高級中學，高中在讀學生。