高中數學解題中平面向量方法的應用分析

王建宇

摘? 要：在開展高中數學教學時，教師應該結合實際的數學教學內容，有意識地指導學生應用向量方法來解決具體的代數及幾何問題，從而利用正確的研究視角來看待不同的數學問題，最終找到解決問題的方案。本文中筆者主要結合高中數學的平面幾何、三角函數以及不等式等教學內容，對向量方法在高中數學解題中的應用展開分析。

關鍵詞：高中數學;向量分析;解題

【中圖分類號】G 633.6??? 【文獻標識碼】A?????? 【文章編號】1005-8877（2019）18-0107-01

在高中數學教學階段，還有很多學生不知道如何運用向量方法來解答數學問題，同時也不知道什么時候可以應用向量方法。因此，如何正確引導學生應用向量方法解答數學問題是每個數學老師必須認真思考和研究的課題。

1.高中數學解題中向量方法的應用

向量方法具有數與性的特點，能夠幫助學生理解和解決平面圖形與空間圖形的位置關系和數量關系，使得幾何與代數的運算過程簡單化，最終降低數學問題的難度。那么我們該采取何種方式才能有效引導學生應用向量方法來解答數學問題呢？筆者現在就試著從數學問題的角度進行簡要分析：

（1）如何應用向量方法解決三角函數問題

數學三角函數屬于高中數學的重點內容，如何將三角函數問題簡單化，引導學生發散思維去思考問題，需要數學老師采用合理的教學方法。其中，空間向量方法在數學三角函數問題中的應用具有一定的意義。首先，老師可以引導學生應用空間向量方法將三角函數問題簡單化;然后，利用空間向量的直觀性來研究三角函數問題的規律及特點，這有利于降低問題的難度，從而提升學生的解題效率。

我們以下面三角函數問題為例，如何推導和證明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ？在這個題目中，如果學生不懂得應用向量方法來解決問題，勢必會耗費很長的時間去解答題目。所以，對于此類三角函數的證明題，我們可以應用向量方法來進行解答。比如說，學生可以利用向量的有關知識對題目進行假設，如假設平面上有a、b單位向量，而平面中（e1，e2）為標準正交基，其中a和e1的夾角是α，b與e2的夾角是β，條件α>β;因為向量a在（e1，e2）的坐標是（cosα，sinβ），向量b在（e1，e2）的坐標是（cosβ，sinβ），那么我們可以利用向量數量積的定義，得到a·b=|a|·|b|cos（α-β）得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。又如，利用向量差的模來證明余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，由此可見，在分析一些三角函數證明題的時候，我們先思考問題的性質及特點，思考是否可以利用向量方法來解答問題，從而實現解題思路的合理轉換，進而縮短解題時間、提升解題的效率。

（2）如何應用向量方法來解決實際的平面幾何問題

對于高中生來說，平面幾何問題屬于難點學習內容，很多學生都遇到了不同程度的幾何學習問題。同時，在一些考試過程中，大部分學生都選擇放棄作答相關的幾何問題。這些現象出現的原因主要還是學生沒有找到正確的解題思路，不斷徘徊在問題的邊緣;而對于一些平面幾何問題，我們可以應用向量方法來進行解決。向量方法可以使得部分平面幾何問題簡單化，有助于將抽象的幾何問題變得更加直觀，使得學生可以盡快找到問題的本質，并有效地解答問題。

比如說在求三角形邊的問題時，我們就可以應用相關的向量知識進行問題的解答。假設在△ABC中，其三個角對應邊長分別為a、b、c，如果b=2，c=1，A=45°，D是BC的中點，那么三角形中線AD的長度是多少？這時我們可以應用向量的運算及有形的特點，對三角形的邊進行分析，如利用向量分析AB與AC的關系，進而得到AD的長度，以將復雜的幾何問題轉化為直觀的數學現象，有利于得到問題解決的答案，又如用平行向量解決平面幾何中的三點共線問題等等。

（3）如何應用向量方法解決不等式問題

不等式問題也屬于高中階段數學課程的重點及難點問題，綜合考驗了學生對數學知識點的運用和綜合分析能力;而在部分的不等式問題中，向量方法的應用也具有一定的作用，也可以幫助學生盡快找到問題的答案。但是，在應用向量方法解決不等式問題時，我們應該學會分析和歸納題目的條件，考慮可以應用哪些向量性質來處理問題，這樣才能達到事半功倍的解題效果。

比如，在一些不等式問題的求證中，我們也主要是利用向量的數量積性質來進行相關結果的求證，如a·b≤|a|·|b|這個公式普遍應用于不等式問題的解決;如證明柯西不等式x1x2+y1y2≤（x12+y12）（x22+y22），又如利用向量和、差的幾何意義容易證明三角不等式|a|-|b|≤|a±b |≤|a|+|b|。通過合理引導學生利用向量數量積的性質來證明相關的不等式問題，可以使得不等式問題更加清晰明了，有助于學生快速找到解題的思路，進而提升解題的效率。

2.高中數學解題中向量方法的意義

綜上所述，向量方法可以解答不同類型的數學問題，使得數學問題更加簡單化，也能夠指導學生有邏輯地處理實際的數學問題，這對提高學生的邏輯思維、提升學生的問題推理能力都起到一定的幫助作用。雖然向量方法可以適用于不同類型的數學問題，但是我們應用向量方法時，還是需要結合實際的問題條件，合理利用向量的有關性質，才能更加有效地發揮向量方法的解題效果。

參考文獻

[1]楊亮.高中數學解題中向量方法的應用研究[J].高中數理化，2015.9（18）：10-10

[2]肖皓天.探討高中數學解題中對向量的巧妙應用[J].數學學習與研究，2017.5（24）：136-136