導數的常見題型及解題策略

黃菊香

摘 要：基于函數導數在高中數學新課標卷中占據份額較大，而學生在學習過程又由于多種原因陷入學習困境的情況。針對函數導數部分內容，作詳細的解題策略研究，在當前高中數學教學中具有重要的現實意義。

關鍵詞：函數;導數;解題策略

一、導數的重要性

數學作為一門科學，在許多領域發揮著重要作用，同時也在高中教育中占據核心地位。導數是微積分的核心內容之一，是高中數學的重要組成部分，是每一年的高考重點關注的對象，占據分數頗大。但是，在具體教學過程中，許多高中生因為不同因素導致學習遭遇困境，尤其是在函數導數部分學習極為坎坷，因此，本文就高中數學中的函數導數部分內容，實例分析解題技巧和策略。

二、函數導數部分解題策略

（一）利用導數研究函數的單調性和極值

函數的單調性即該函數在一定范圍的圖象曲線的走向，若函數圖象曲線向上，則為單調遞增，反之則為單調遞減。一個函數的單調性與其導數聯系緊密，定理如下：在區間（a，b）內，若f’（x）>0，那么函數y=f（x）在該區間內單調遞增;若若f’（x）<0，那么函數y=f（x）在該區間內單調遞減。

例1：已知三次函數f（x）=x3+ax2+bx+c在x=1和x=-l時取極值，且f（-2）=-4

（1）求函數y=f（x）的表達式

（2）求函數y=f（x）的單調區間和極值

（1）解：由f（x）=x3+ax2+bx+c得f’（x）=3x2+2ax+b由題意得x=1和x=-1是f’（x）的根，得a=0，b=-3

由f（-2）=-4得c=-2所以f（x）=x3-3x- 2

（2）f（x）=3x2- 3=3（x+1）（x-1）當x<-1時，f（x）>0當x=-1時，f（x）=0當-1<x<1時，f’（x）<0當x=1時，f’（x）=0當x>1時，f（x）>0

所以，f（x）在區間[-∞，-1]上為增函數;在[-1，1]上是減函數;在[1，+∞]上是增函數。函數f（x）的極大值是f（-1）=0，極小值是f（1）=- 4。

在例1中，第二個問題即求函數的單調區間以及極值，我們可以很容易從例子中看出，當函數的導數在某-區間內大于零時，函數在這個區間內單調遞增;相應的，當函數的導數在某已區間內小于零時，函數在這個區間單調遞減。因此，在解題過程中，當學生遇到求函數的單調性以及極值的時候，可以利用求導的方式求出該函數的導數，通過導數判斷其單調性和極值。

（二）利用導數求函數的最值

函數的極小值和極大值與函數的最大值和最小值是兩個不同的概念。極小或極大值都是反映函數在某-.-點附近的局部性質，而不是函數在整個定義域內的性質。也就是說，極小值和極大值不能代表函數的最大值和最小值。但是在求函數的最大值和最小值的過程中，卻需要借助極小值和極大值。

例2：求f（x）=y=x4- -8x2+2在[-1，3]上的最值

解：由y=x4 -8x2+2得y’=4x3-16x=4x（x -2）（x+2）令y’=0，得x=0，x=2，x=-2

代人得F（0）=2，f（2）=-14，f（-1）=-5，f（3）=11由于x=-2不在區間[-1，3]中，因此不予考慮。所以f（x）在區間[-1，3]中的最小值為f（2）=-14，最大值為f（3）=11。一般情況下，求某一個函數在某區間內的最值，可先求出該函數在區間內的極值，再將求出的各極值與該函數在端點處的函數值比較，最大的則為函數的最大值，最小的則為函數的最小值。

（三）構造函數證明不等式

構造函數簡單來說就是一一種解題方法，是基于具體數學題目，構造符合題目的函數模型，并通過該函數模型解決數學題目的方法。在解題過程中通過構造函數方法可以有效得出答案，如應用于證明不等式中。

例3：已知函數f（x）=x₂/2-ax+（a-1）lnx，a>1.

證明：若a<5，則對任意x1，x2∈（0，+∞），x₁≠x₂，有f（x₁）-f（x₂）/x₁-x₂>-1。

解：f（x）=x-a+（a-1）/x=（x₂-ax+a-1）/x=（x-1）（x+1-a）/xg（x）=f（x）+x=x2/2-ax+（a-1）lnx+x

g（x）=x-（a-1）+（a-1）/x≥2-（a-1）=1-（-1）*2;1<a<5

g（x）>0，即g（x）在（0，+∞）單調遞增..當x₁>x₂>0時，g（x₁）-g（x₂）>0故f（x₁）-f（x₂）/x₁-x₂>-1

當0<x1<x2時，[f（x₁）-f（x₂）]/（x₁ -x₂）=[f（x2）-f（x₁）]/（x₂-x₁）> -1

例3中，如果只是按照常規思路進行解題，難度較大，但是通過構造函數g（x）解題，很大程度上降低了解題難度。

（四）導數與函數零點問題

函數零點個數的判斷問題是導數與函數的熱點問題，其實質仍是利用導數刻畫函數圖象與性質，這類問題的難點是含參問題中零點會隨著參數而移動，確定零點所在的關于參數的區間需要認真分析。

（五）類型四：隱零點整體代換問題

設而不求是解析幾何常用的方法，而在函數導數中，有時候因為關于極值點的方程是超越方程，求不出極值點，這時候需要設而不求，對參數進行整體代換。

（六）雙變量同構式問題

在考題中常見到有兩個變量的函數或不等式問題，如果原式子能夠通過化簡、變形成為兩個變量不同、結構相同的式子，問題就可以通過構造函數來解決.

三、巧借導數分析，別樣化解難題

（1）分析函數性質，簡證不等式

導數可以有效解決不等式問題，尤其是證明不等式成立問題，可通過求導的方式來分析不等式，確切來講是采用構造思想構造新的函數，利用導數來判斷函數的單調性，求最值或判斷函數符號，最后結合不等式恒成立原理來證明。

（2）妙求切線方程速解圓錐曲線

圓錐曲線因其計算過程復雜、技巧性強而成為高中數學的重難點知識，對于其中涉及曲線切線方程的問題可以采用導數知識來求解，通過求導的方式來求切線的斜率，從而建立切線方程，需要注意的是曲線方程在轉化過程中因定義域所造成的差異。

（3）求導分析模型巧解實際問題

導數在解決與生活實際相關的數學問題中同樣有著良好的解題效果，尤其是對于物料問題、距離最值問題等，可以利用導數來分析問題的數學模型，利用求導的方式來求解.一般思路為：從實際問題中抽象數學模型，利用導數求函數最值，結合實際取最優值。

四、應用思考，教學建議

1.學習導數真知，確保求解嚴謹導數及其應用是高考考查的重點，對于導數的學習應從理解導數的幾何意義出發，只有在充分理解導數的相關概念及使用條件的基礎上開展的拓展應用才是正確合理的.在應用時必須準確把握導數求切點的特性，理解導數求極值的充要條件，利用導數研究函數單調性時需要關注二次項系數.教學中，教師要充分結合實際問題引導學生關注導數使用的諸多關鍵點，理清問題結構，合理分析問題條件，確保導數求解的嚴謹性。

2.習題鞏固基礎，考題輔助提升導數內容的學習及拓展應用需要充分依托教材習題，從易到難，逐步掌握，在此基礎上開展的考題學習才會取得良好的學習效果.通過習題的學習建立關于導數求解的數學模式，結合考題來拓展導數求解的分析思路，并相應地提升熟練度，這是導數學習的最優途徑.教學中教師要關注導數求解程序化的提煉，幫助學生總結導數運用的解題技巧，通過典型問題的講解使學生充分掌握導數解題的數學原型，從根本上提升學生的解題能力。

3.學習解題思想，培養解題思維導數解題并不是純粹地依靠求導來完成問題的解答，求解過程涉及眾多的思想方法，例如解央不等式恒成立問題，需要利用數學的構造思想和分析轉化思想，而這些思想方法才是數學學習的精髓，對于學生的長遠發展有著極為重要的作用，因此在學習時要引導學生關注解題的分析過程，注重對解題思想的提煉，逐步培養學生的數學思維，并適當地對解題思想進行升華，提升學生自主探究能力，使學生真正掌握數學知識，適應高考不斷創新變化的新題目。

參考文獻

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