滲透度量意識，感受整體聯系

沈水仙 邵漢民

摘 要：“圖形的測量”是“空間與圖形”中重要的教學內容，它主要包括長度、面積、體積的度量概念生成和圖形周長、面積、體積的計算公式推導兩大部分，但學生對這部分知識的掌握始終不夠扎實。我們有必要在教學中引導學生進一步把握度量的的本質，積累必要的活動經驗，并在教學實踐中加強概念之間的辨析，滲透估測意識，從而培養學生的空間觀念，以提高學生解決問題的能力。

關鍵詞：目標定位; 估測意識 ;圖形的測量

“圖形的測量”在“空間與圖形”中是一塊“難啃”的教學內容，學生一到知識的整合階段，就開始出現各種問題，更多的學生是運用知識解決生活問題的能力不強，簡單的對比都會，可在具體的應用知識解決實際問題的過程中，對周長、面積或表面積、體積等經常出現概念上的混淆，而對于度量的本質缺少過程性的感悟。針對以上種種困惑，筆者對“圖形的測量”這塊內容展開了實踐與思考。

一、梳理教材體系，理清知識脈絡

圖形的測量從縱向看，是以轉化的形式把新的圖形知識順應于原有的知識結構，而從橫向看，又可以以類比的形式把一個個“點”狀的新知建構成一個完整的認知結構，在后續學習中要引導學生通過分類、比較、辨析，認識圖形的聯系與區別，形成比較清晰的知識脈絡。

（一）了解教材的編排結構，把握循序漸進

為了便于研究“圖形的測量”的編排結構，筆者把整套人教版教材中有關“圖形的測量”教學內容做了如下的整理。

第一學段：二上長度單位米、厘米;二下克和千克，三上毫米、分米、千米、噸，周長與長方形正方形的周長計算;三下年級面積、單位單位（平方厘米、平方分米及平方米）及長方形、正方形的面積。

第二學段：四上公頃、平方千米，角的度量;五上多邊形的面積;五下體積與體積單位、容積與容積單位及長方體與正方體的表面積、體積;六上圓的周長與面積;六下圓柱的表面積、體積，圓錐的體積。

透過對教材結構的簡要分析，有兩點啟示：一是要深入研究新增加內容在每冊教材中的目標定位，不能人為降低或拔高教學難度，這樣才能使教師的課堂教學行為具有一定的針對性和有效性;二是要投入相對多的時間在中段“圖形的測量”教學研究上，特別是在課堂教學中怎樣通過體驗、操作、觀察、分析做好半具體到半抽象、半抽象到抽象的之間過渡和轉換。

（二）明確教學的目標定位，做到有的放失

掌握幾何圖形的特征、周長、面積、體積的計算法則，進而運用它們解決問題。“圖形的測量”這個領域的目標定位具體要求如下。

（1）能由實物的形狀想象出具體的幾何圖形，由幾何圖形想象實物形狀，進行幾何體、三視圖、展開圖之間的轉化。

（2）能根據條件做出立體模型或畫出圖形。

（3）能從較復雜的圖形中分解出基本圖形，能分析其中的基本元素及關系。

（4）能利用“圖形的測量”的相關知識來解決生活實際問題。

（5）能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考。

二、把握度量本質，積累活動經驗

“空間與圖形”領域中的度量單位主要包括常用的長度單位、面積單位、體積（容積）單位等。在認識度量單位的過程中，我們除了要對學生滲透度量意識，使學生體會建立統一度量單位的重要性之外，也要使學生理解和把握度量的實際意義，并且會在具體的問題情境中恰當地選擇度量單位進行測量。

（一）重視核心概念，形成測量技能

度量就是將一個待測量和一個標準量進行比較，“標準”的個數就是度量的結果。學生在學習長度的最初階段如果能意識到這一點，建立一個長度單位的概念，必將對后續的學習起著不可估量的作用。

以“長度單位的認識”為例，學生先學習厘米與米，然后是毫米和分米，最后學習千米，每個內容是相通的。如認識毫米的時候，重點研究怎樣把“大單位”1厘米平均分成若干份，其中的1份作為新的長度單位，這是毫米這個單位的構建過程，也是度量活動經驗的積累。而1毫米到底是多長這是對一個長度單位的感知，度量時有時會產生更長的線段就是幾個1毫米的累加，這才是度量的本質。同樣，對于毫米能不能再分，是不是平均分成10份，產生的更小的長度單位叫什么，都為學生進一步認識“量”積累了一定的活動經驗。

讓學生在整體上建立這樣一種意識，這樣的經驗始終是貫穿“圖形的測量”的，因為數單位的個數是度量活動中的基礎，有利于學生把握度量的核心要素。如有了長度單位的基準，就能進一步加深對面積單位、體積單位的理解。

（二）理解實際意義，選好參照對比

《數學課程標準》（2011年版）要求學生“在實踐活動中，體會并認識長度單位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能進行簡單的單位換算，能恰當地選擇長度單位”。單位的選擇與換算都是建立在學生對單位感知的基礎之上的，厘米、分米、米等長度單位都可以提供可視性材料，參照物比較明確，但不是任何一個單位的構建都可以“看得見、模得著”的，如千米則需要借助單位“米”進行間接推算，學生缺少經驗的積累，在以下練習中經常出錯：

燕子每小時飛行20（? ? ? ? ）;飛機跑道長3000（? ? ? ? ）;長江長約6300（? ? ? ? ）;自行車每小時行15（? ? ? ? ）。

這樣的參照更具實際意義，達到了動態教學的效果。同時還要引導學生關注生活周圍的參照物，如家到學校的距離、生活中汽車行駛的時間等，這些都是生活經驗的積累，不可忽視。

三、深化體驗概念，加強概念辨析

“圖形的測量”教學中，部分學生對長度、面積和體積這三個概念始終辨析不清。教師要在教學中梳理和溝通這些概念之間的區別與聯系，幫助學生形成既清晰又豐富的認識，從而使學生建構起正確的三維空間觀念。

（一）關注知識的辨析比較，整體感知區別

長度、面積、體積在概念內涵的語言表述方面是有差異的，“長度”是一維的概念，表示物體或線段長短的程度;“面積”是二維的概念，表示物體表面或封閉圖形的大小;“體積”是三維的概念，表示物體所占空間的大小。直接比較的方法有觀察法和重疊法，間接比較的方法有借助物體或工具等。在此基礎上，形成了以二維的度量工具和單位為基礎的三維空間度量單位體系。

三者可以從概念涵義、常用單位、度量工具等方面來認識與區別。在學生最早開始接觸“周長”與“面積”的概念時，不要過早地引入“周長”與“面積”的計算公式，而應讓學生對周長和面積有了一定認識以后再尋找公式。課堂上盡量讓學生多去接觸周長與面積的概念，幫助學生有效完成思維水平循序漸進由低到高的過渡以及良好空間觀念的形成。

（二）關注計算比較，加深概念理解

除了概念對比分析，還要結合具體的情境來辨析與比較。例如周長與面積的區分（圖1）：左邊的兩個圖形是面積相等，周長不等，右邊的圖形是周長相等，面積不等。可以讓學生描一描圖形周長，摸一摸封閉圖形面的大小，具體感知一下什么是周長與面積。

體積與表面積的區分，體積比較容易，先計算一個小正方體的體積，再數一數有幾個小正方體就乘幾;而表面積則要計算露在表面的一共有幾個面積單位，先數出正面、右面、上面看到的小正方形的個數，然后乘2就可以知道有幾個面積單位了，圖2中學生用不同的符號進行標注就是一種很好的學習方法，值得推廣。顯然，這樣的練習能幫助學生區別表面積與體積的概念，提高運用知識解決問題的靈活性，也有利于發展學生的空間觀念。

四、溝通圖形聯系，形成整體設計

圖形之間的聯系不只局限于公式的推導及概念的生成，我們更應在單元復習與練習中滲透這樣的聯系，這有利于學生運用多種策略和方法解決實際問題。

（一）滲透動態思想，形成知識網絡

多邊形的面積計算雖成獨立單元，但系統性不強，不容易揭示不同圖形之間的內在聯系。因為在多邊形面積復習時將這些知識系統化、整體化，形成一個知識網絡是很有必要的。

如在教學五年級下冊《多邊形的面積》學習時，學生經常碰到這樣的問題：

（? ? ? ）號圖形的面積最大。

（? ? ? ）號圖形和（? ? ? ）號圖形面積相等。

我們可以利用課件動態演示梯形的上底慢慢縮短，而梯形上底與下底的和不變，下底會慢慢變長，上底縮短再縮短，最后變成0，而下底慢慢變長，可以把三角形看做上底為0的特殊梯形;反之，上底慢慢變長，上底與下底的和不變，當上底和下底一樣長時，平行四邊形可以看做是上底和下底相等的特殊梯形。

利用現代教學手段引導學生從運動變化的視角進行動態思維，較好地參透了動態幾何思想。

（二）透過習題的合理改編，豐富整體教學

教師在教學中要注意錯題的收集及時了解學生的學習狀況，然后合理選擇內容，關注圖形之間的聯系和整合，進行精心改編與設計，最大程度地體現習題的價值，要層層深入，以達到一題多練的效果。

如：人教版六上作業本第34頁第5題改編成如下的題組。

（1）圖1中，圓的面積與圓外正方形的面積比是（? ）：（ ）

我是這么想的：

（2）圖2中，圓的面積與小正方形面積比是? （? ? ?）︰（? ? ?），也就是說圖中圓的面積是這個小正方形面積的（? ? ? ）倍。當小正方形面積是2dm2時，圓的面積是多少？

（3）圖3中，兩個正方形的面積又有什么關系呢？

習題經過改編后比原來豐滿了很多，把平面圖形的知識點串連了起來，從整體上關注了圖形之間的聯系，既豐富了原來的習題，又突破了教材第72頁的教學難點，通過三組圖的對比分析，關注到不同圖形之間的面積關系。

五、重視估測教學，培養估測意識

估測意識的能力是在實踐中逐步發展起來的。《數學課程標準》（2011年版）要求學生“能估測一些物體的長度，并進行測量”，能“探索并掌握長方形、正方形的面積公式，會估計給定簡單圖形的面積”，“會用方格估計不規則圖形的面積”。

（一）建立單位表象，修正估測策略

在日常生活中有時不需要得到精確的測量結果，只需要對結果作大致估計就可以了。如測量并計算一張給定正方形紙的面積，利用結果估計課桌面的面積;測量步長，利用步長估計教室的面積。這樣，把測量與面積計算有機地結合起來，有利于學生體會估測的作用以及估測的方法。

而測量單位是估測的基礎，教學中，教師要幫助學生建立測量單位的概念，形成表象，從而為估測奠定扎實的基礎。學生如果積累了一定的實際測量的經驗，那么從估測到精確測量也就順理成章。這樣，把估測與精確測量有機地結合起來，有利于學生比較估測與精確測量所得到的結果，修正估測的策略。

選擇合適的估測“單位”是引導學生進行有效估測的關鍵，學生能在這樣的操作中體驗逐漸逼近的極限思想。

（二）基于學生已有的經驗，激發探究欲望

以圓的面積為例，北師大版教材是這樣編排的，在方格紙上畫圓，再估算圓的面積，發現圓的面積比圓內正方形的面積（2 r2）大，比圓外正方形的面積（4 r2）要小，從而引出了圓面積的取值范圍。筆者認為這樣的估測是有必要的，事實上學生在接觸這之前并沒有“化曲為直”的經驗，讓學生把一個曲邊圖形轉化為直邊圖形來計算確實有一定的困難，而北師大版教材的編排是基于學生已有的數學活動經驗，遵循了學生的認知發展規律，也只有經歷了這樣的估測過程，才能激發學生對圓的面積計算方法的探究欲望。

筆者深深感覺“圖形的測量”這一塊內容是我們數學教學中的一個重點也是難點，怎樣讓學生理解度量的本質、掌握圖形的知識點，又能看到各圖形之間的聯系，這都需要教師在教學設計上把握一個整體性的要求。

參考文獻：

[1]曹培英.小學數學空間與圖形教學研究[M] .上海：華東師范大學出版社，2004.

[2]劉加霞 石秀榮.小學數學空間與圖形教學研究[M] .上海：華東師范大學出版社，2004.

[3]宋煜陽.長度單位填寫：如何從感知臆斷走向參照推理[J] .小學數學教師，2012（12）：49-54.

1浙江省杭州市蕭山區萬向小學，浙江 杭州 311200

2浙江省杭州市蕭山區所前二小，浙江 杭州 311200