高中數學基本不等式解題技巧研究①

何麗梅

摘 要：新課改的快速推進與持續深入，高考試題呈現出的靈活性不斷提高，對學生數學學習提出更為嚴格的標準。高考試卷對基本不等式的考點始終是學習的關鍵內容，同樣成為學習階段交易產生錯誤的環節，其解題方法較為靈活，學習掌握存在一定的難度，基于此，教師與學生務必加以高度重視，對不等式解題技巧做出深入分析研究，提高不等式解題正確率。

關鍵詞：高中數學;基本不等式;解題技巧

前言：數學作為學生各個學習階段非常關鍵的基礎學科之一，存在相應的規律性以及邏輯性。基本不等式作為高中數學教育教學階段的關鍵內容，在高考數學考試中占有相應的比例。高中生數學學習階段，如果對基本不等式解題技巧、方法與思路的學習與掌握存在不足，致使在解題過程中出現困難問題，使得解題速度無法有效提高。基于此，高中數學學教育教學階段，對基本不等式的學習，教師務必教授學生學習并掌握科學正確的解題技巧、方法與思路，從而提高基本不等式的教學效果。

一、反證法解不等式技巧

針對反證法來講，實質主要為部分不等的正式，正面證明相對較難，因此可通過反向思考問題的角度進行證明，即若對不等式A>B做出證明，可假設A≤B，通過題設與不同性質，推斷獲得矛盾，以此得出A>B。若是需要證明不等式屬于否定命題或以及唯一命題或是存在特定的詞語情況下，可運用反證法做出合理正確解答。運用反證法對不等式做出正確合理的證明階段，務必需對命題結論相反的情況全部導出矛盾。針對幾何與不等式問題方面的解題，反證法的應用較為普遍[1]。

比如，已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0。解：假設a、b、c并非全部為正數，其中之上存在一個為非正數。假設a≤0，則分別對a=0以及a<0做出證明討論。若a=0的情況，則abc=0，同條件發生矛盾，因此該假設不成立。若a<0，通過abc>0能夠求得bc<0。同時由于a+b+c>0，因此得知b+c>-a>0，得知ab+bc+ac=a（b+c）+bc<0，同條件發生矛盾，所以，a<0不成立。通過上述證明得知，a>0，同理能夠求得b>0，c>0同樣成立，因此命題結論成立。針對此種類型題目來講，解題時從正面對做出證明存在一定的解題難度，通過采用反證法運用反向思想做出解答，可以使解題的難度明顯降低，解題速度明顯提高，并確保解題正確率。

二、絕對值不等式解題技巧

絕對值不等式作為不等式考查的重點內容，是存在一定難度的題型。對其作出解答時，針對不等式存在的式子，運用同解原理將式子轉變成不等式組。通常來講，不等式組一般有一次或二次不等式構成。針對超過兩個絕對值構成的不等式，可分別假設絕對值式子等于零的情況，分別求出未知數值，然后將不等式內等于零的情況下求得的未知數值在數軸做出準確標注，并對數軸內等于零的點做出畫線，最終準確寫出相同的區域，以此做出正確解答[2]。

比如，A：|y-1|<5，B：（y+3）（y+b）<0，如果A是B的充分不必要條件，求解b的具體取值范圍？正確的解題過程為：通過|y-1|<5，可知-46，故a<-6。

三、換元法解不等式技巧

針對換元法來講，實質主要為在對基本不等式做出解答階段，對相對復雜或反復出現的式子，通過數學符號或變量的方法將其做出有效替換，并帶入替換到原式，可以使原始得到有效的簡化，使題目復雜程度降低，便于做出解答。換元法通常存在三角代換法以及增量換元法。針對三角代換法來講，通常在不等式證明的應用較多，題目條件相對較為復雜的情況下，單個變量無法通過其他變量做出有效替換表示，則可以運用三角代換，對兩個變量全部使用相同參數做出表示。該種方法若運用合理，能夠使三角同代數之間做出緊密聯系，使復雜代數問題通過三角問題進行求解證明;針對增量換元法來講，對稱式與未知數順序已知的不等式，可運用增強法作出換元，主要是運用換元實現減元的下過，將問題變得簡單化。三角換元中，因為已知條件存在約束，對引入角產生相應的約束，務必加以關注與重視。不然可能引起錯誤的解題證明。這也成為換元法使用過程中關注的知識點，同時需重視整體思想的科學應用。

結論：綜上所述，高中數學教育教學階段，基本不等式屬于十分關鍵的學習內容，同樣也是考試中較易丟分的關鍵考點。基于此，學生需從根本思想意識方面對基本不等式做出重新認識，并對不等式解題階段問題的產生原因做出分析與總結，對基本不等式解題技巧、方法與思路做出學習與掌握，增強對基本不等式的學習與理解，提高解題速度，從而使學習成績達到增加。

參考文獻：

[1]徐勤政.高中數學基本不等式的學習技巧[J].數學學習與研究，2018（19）：131.

[2]李王梅.高中數學不等式解題技巧初探[J].中華少年，2018（17）.