基于學生發展的核心概念建構路徑

董文彬

摘要：通過前測調研，發現真正造成學生認識體積含義的障礙有兩個：“空間”和“占空間”概念比體積本身更難感受和理解，會越說越糊涂;“表面積”和“質量”是干擾體積概念表象建立和內涵理解的兩個重要因素。此外，體積和容積這兩個概念有很多相似之處，容易混淆。由此，得到關于“體積與容積”教學的思考：圍繞“比較”，在問題解決中建構概念本質;圍繞“偏差”，在障礙沖突中領悟概念內涵;圍繞“關聯”，在猜測想象中透徹概念理解。

關鍵詞：體積與容積數學概念教學學情前測學習困難

“體積與容積”是小學數學中比較抽象的核心概念，也是小學階段研究物體體積度量的重要起始點。那么，學生在初次學習體積與容積時，認知的難點是什么？對概念的本質建構與理解造成障礙與干擾的思維卡點是什么？如何在教學中設計更有效的學習路徑，幫助學生突破這些難點和障礙，進而在概念的建構中培養空間觀念，發展高階思維？為了分析與解決上述問題，筆者在教學北師大版小學數學五年級下冊《體積與容積》一課時，對執教的一個班41名學生進行了深入的前測調研。

一、前測調研

（一）調研題目及調研意圖

題目1什么是物體的體積？葵葵和園園各自給出了下面的理解。你同意他們的想法嗎？說明理由。

葵葵說：物體的體積就是指它的表面積。比如一個橘子的體積就是指外面一層橘子皮的面積大小。

園園說：物體的體積就是指它的占地面積。比如一個水杯放在桌子上，和桌面接觸的杯底的面積大小就是杯子的體積。

如果都不同意，你認為什么是體積？可舉例說明。

這道題目的調研意圖有二：一是了解“表面積”“占地面積”等二維概念對學生認識與理解體積概念的具體干擾情況;二是探尋學生建立體積概念的最原初的認知。

題目2如圖1，土豆和紅薯相比（目測無法分辨），誰的體積大？淘氣、笑笑、奇思、妙想分別給出了以下比較方法，哪些方法可行？在后面的（）里打“√”。

第①種：先把土豆和紅薯分別榨成土豆泥和紅薯泥，再把榨好的土豆泥和紅薯泥分別裝入兩個相同的透明的杯子里，均勻抹平，不留縫隙。看哪個在杯子里的高度高，哪個體積就大。（）

第②種：先在兩個相同的杯子里倒入同樣多的水，再把土豆和紅薯分別放入其中，保證水都不溢出，且沒過土豆和紅薯。看哪個水面上升得多，哪個體積就大。（）

第③種：先用塑料薄膜把土豆和紅薯沿著外表面分別包裹起來，再把塑料薄膜取下來。看哪個塑料薄膜的面積大，哪個體積就大。（）

第④種：分別稱一下土豆和紅薯的質量，看哪個重，哪個體積就大。（）

這道題目的調研意圖是，在對土豆和紅薯這兩個目測無法分辨出誰占的空間大的物體的不同實驗解決方案是否可行的思考中，一方面了解學生解決問題的正誤路徑，另一方面了解影響體積概念建立的兩個重要因素——表面積和質量的具體干擾程度。

題目3（1）如圖2，這4個杯子都有容積嗎？如果哪個沒有，請指明序號。

（2）你認為哪一杯大米能反映這個杯子的容積（忽略米粒間的縫隙）？（）

A. ①B. ②C. ③D. ④

E. 都不能

（3）你知道什么是容積嗎？可舉例說明。

這個題目的調研意圖是，了解學生在容積概念建立中的思維障礙以及對容積概念認識的具體情況。

（二）統計結果及數據分析

1.關于體積概念建立的思維障礙。

題目1的作答情況見表1、表2。題目2的作答情況見表3、表4。

對于題目1，有19.5%的學生明確表示同意葵葵或園園的觀點——即體積就是表面積或占地面積。可見，如同認識面積時，學生把一維概念的表象經驗遷移至二維概念的建立一樣，認識體積時，學生會把二維概念的表象經驗遷移至三維概念的建立。在均不同意兩者觀點并對體積給出自己認識的學生中，能夠用數學語言相對準確描述的只占15.2%;有12.1%的學生用長方體舉例量化計算，這說明學生對體積的認識僅僅停留在長方體“長×寬×高”的“量化幾何”經驗層面;有18.2%的學生將體積與容積概念混淆;同樣有18.2%的學生對體積的理解完全錯誤，比如認為體積就是一個物體的質量、重量、密度等;有36.4%的學生對體積的理解（特別是對“空間”和“占空間”的理解）描述含混不清或不知道什么是體積。

對于題目2，作答完全正確的學生僅占29.3%，錯誤率高達70.7%。其中，選擇方案①、方案②的學生分別占80.5%和61.0%，可見無論是把土豆和紅薯“炸成泥”還是“水測法”，都與學生的生活經驗直接相關。但我們也發現，有26.8%的學生選擇方案③，認同通過比較表面積的方式比較體積;還有34.1%的學生選擇方案④，認為質量大的物體體積就大。

由此可見，真正造成學生認識體積含義的障礙有兩個：首先，“空間”和“占空間”概念比體積本身更難感受和理解，會越說越糊涂;其次，“表面積”和“質量”是干擾體積概念表象建立和內涵理解的兩個重要因素。

2.關于容積概念建立的學習難點。

題目3的作答情況見表5、表6、表7。

對于第（1）問，19.5%的學生認為這四個杯子“不都有容積”，其中12.2%的學生認為空杯子沒有容積，7.3%的學生認為杯子在“裝滿”（包括超出）東西的狀態下沒有容積;另外，17.1%的學生不知道或不清楚這四個杯子是否都有容積。

對于第（2）問，作答正確率為80.5%。作答錯誤的學生中，2.4%的學生將“所能容納”理解為“裝有”而不是“裝滿”，9.8%的學生認為超出容器內部空間的部分也是杯子的容積;還有7.3%的學生認為“哪個都不是”，對這部分學生的追訪如下——

為超出容器內部空間的部分也是杯子的容積;還有7.3%的學生認為“哪個都不是”，對這部分學生的追訪如下——

師你知道什么是容積嗎？可以舉例說明。

生容積就是在杯子里裝滿水。

師杯子里只能裝水？

生可以裝液體。

師氣體可以嗎？

生不行。

師固體可以嗎？

生也不行。

師那如果是細沙呢？

生可以，但不能有縫隙，必須填滿整個杯子。

對于第（3）問，有14.6%的學生從容量的角度給出了解釋，認為“容積就是一個容器的容量”，他們選擇了較為直觀的方式和貼近生活的語句來刻畫容積;同樣有14.6%的學生對容積的認識相對準確，認為“容積就是一個可容納物體的物體能裝多少東西，東西的體積就是物體的容積”;而有44%的學生對容積的描述含混不清或不知道怎樣解釋;有12.2%的學生對容積的理解完全錯誤，主要是與重量（質量）相混淆;此外，有14.6%的學生將容積與體積混淆，認為“容積就是一個物體的體積”。舉例說明“什么是容積”時，70%的學生只舉出“杯子裝水”的例子。

二、基于前測調研的教學思考

（一）圍繞“比較”，在問題解決中建構概念本質

在“圖形與幾何”中，無論是周長、面積還是體積，都屬于求“積”問題。而一切求“積”問題的本質認識都源于比較。因此，在認識體積和容積概念時，學習活動應圍繞“比較”展開。

幫助學生建構體積概念一般分三個層次：感知物體都各自占有一定的空間;感知所占空間有大有小;感知所占空間大小是可以分辨和確定的。比如，把桌斗清空，伸出雙手去摸一摸桌斗，感受一下桌斗的空間;把一摞書放進去，再摸一摸桌斗的空間，體會其變化。借助這樣的想象、知覺活動，讓學生初步清晰地感受“空間”以及“物體是占空間的”。

接下來，需要對物體所占空間的大小進行比較，這里的比較一般分兩個層次：一是直接通過目測觀察就可以分辨出來的，比如，比較空調、水杯、乒乓球這三個物體所占的空間。通過看、找、想、說的活動，學生經歷目測觀察與數學描述的過程，初步感知物體不僅是占空間的，而且它們所占的空間還有大小之分。比如吹氣球的演示，讓學生感悟不僅固體占空間，而且氣體也占空間且占的空間會不斷發生變化，有利于學生感悟和理解體積概念的豐富內涵。二是直接通過目測觀察無法分辨出來的，比如，比較土豆和紅薯這兩個物體所占的空間（如前測題目2）。這時需要設計一些實驗方案進行比較，這也是課堂教學的核心活動。對于土豆和紅薯這樣兩個目測無法分辨出誰所占空間大的物體，啟發學生思考設計不同的實驗方案，或榨成泥后比、或水測（溢測）、或比表面積、或比質量等，在對實驗方案是否可行的質疑交流中，對表面積、質量這兩個干擾因素進行層層剝繭、深入認識。最后通過現場演示水測法實驗，對實驗現象的觀察與描述，進一步感知：物體都占一定的空間、所占空間有大有小、所占空間大小可以確定。至此，體積概念的建立變得豐滿、水到渠成。

在認識容積概念時也是一樣，可以圍繞“比較”來設計活動。比如，設疑：兩個目測無法分辨出誰的內部空間大的杯子，誰裝的水多呢？同樣激發學生通過設計實驗方案來解決問題。在實驗演示、求證、比較、描述的過程中，幫助學生感知容器不止能容納物體，而且所能容納的物體還有多有少，感知容積的含義，建立容積的概念。

（二）圍繞“偏差”，在障礙沖突中領悟概念內涵

小學階段有些數學概念的表述是比較抽象和難以理解的。比如，教材是采用體積來定義、刻畫容積的：“容器所能容納物體的體積，是容器的容積。”對于“所能容納”，學生很容易產生認識上的偏差和誤解。

為此，在通過“杯子倒水”初步認識容積的基礎上，再采用“杯子裝米”（如前測題目3）的漸進方式，幫助學生在質疑交流中，矯正認識上的偏差和誤解。讓學生在真切感受中進行比較，在比較中產生認識沖突，在辨析沖突中達成平衡和一致，從而準確理解“所能容納”是指杯子中的米正好裝滿，沒有縫隙，也沒有超出;而且能很直觀地遷移：杯子里即使沒有裝東西，也是有容積的;杯子里米的量在變化，但杯子的容積沒有發生改變，相同杯子的容積是相等的。通過這樣的問題串設計，能夠幫助學生更透徹地理解容積概念的本質。

（三）圍繞“關聯”，在猜測想象中透徹概念理解

在建立體積和容積概念的基礎上，還需要幫助學生認識這兩者之間的聯系與區別，讓學生將體積和容積內化為自己的概念。這里，重在明晰兩種情況：

一是同體積的物體容積未必相同。呈現兩個外觀大小相同的紙箱，提問：這兩個紙箱誰的體積大？在學生得出體積相同的回答后，進一步讓學生猜一猜：它們的容積是否也相同？有學生認為容積也一樣;有學生認為如果兩個紙箱里面的構造一樣，它們的容積就相同，如果里面的構造不一樣，容積就不同。教師適時打開兩個紙箱，呈現內部的不同構造，學生觀察到紙箱壁的厚度不一樣，這種情況下容積是不相同的（如圖3）。從而讓學生明確：容器容積的大小不能只看外表，體積相同的兩個物體（容器）容積不一定相同。

二是同一個物體（容器）的體積大于容積。還是以紙箱為例，漸次呈現三個問題，引導學生在想象中思考：如果紙箱的外壁不斷加厚，體積和容積有什么變化？如果紙箱的內壁不斷加厚，體積和容積有什么變化？如果紙箱的內壁不斷變薄，體積和容積又有什么變化？在這樣充滿挑戰的漸進式問題情境中，學生邊想象邊體會體積和容積隨著壁厚的變化而變化。特別是對第三個問題，學生逐漸想象到“零厚度”，此時容積即等于體積，滲透了極限思想。這個過程在培養空間想象力的同時，發展了學生的高階思維，進而讓核心概念的建構與理解走向深刻。