淺談函數中點的存在性問題

王青

摘 要：存在性問題是指判斷滿足某種條件的事物是否存在的問題數學解題策略，含有與三角形，四邊形，面積等問題相結合，這類問題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強，題意構思非常精巧，解題方法靈活，對學生分析問題和解決問題的能力要求較高，是近幾年來各地中考的“熱點”.這類題目解法的一般思路是：假設存在→推理論證→得出結論.

關鍵詞：存在性問題；一般思路；假設

1 引言

這類試題向來是中考數學壓軸題，它的主要特征是先求函數的解析式，然后在函數的圖像上探求符合幾何條件的點.

列出方程組求解.

函數圖象形象地展現了函數的性質，為探究點的存在性提供了直觀基礎，體現了數形結合的思想[2] 這類問題具有靈活性，多變性融入三角形，四邊形，面積等綜合運用全等知識，相似知識，三角函數，勾股定理等知識，同時又產生變量，又利用一次函數，二次函數性質解釋存在性問題.通過猜想，然后證明猜想的方法是通過取特殊的圖形或特殊的位置，或應用極端原理等，即用數學實驗的方法，也就是以從特殊到一般的思考方法尋求問題的解，然后經過嚴格的推理論證，得到問題的最終解決[3].

2 與三角形有關的存在性問題

以函數為載體三角形圖像為基礎的點的存在性問題中，先要確定函數的解析式，函數圖像，然后再是存在問題，在解決存在性問題時假定結論成立，然后依據已知條件和有關的知識進行推理，能推出正確的結論，那么就存在，不能推出，就不存在.

例1 如圖：拋物線經過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點.

（1） 求拋物線的解析式.

（2）已知AD=AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經過t 秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC的值最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

圖1

解（1）設拋物線的解析式為 ，因為B（0，4）在拋物線上，所以，

解得 ，所以拋物線解析式為

.

（2）連接DQ，在Rt△AOB中，

，

所以

， ，

.

因為BD垂直平分PQ，所以

PD=QD，PQ⊥BD，

所以

∠PDB=∠QDB.

因為

AD=AB，

所以

∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，

所以

DQ∥AB.

所以

∠CQD=∠CBA，∠CDQ=∠CAB.

所以

△CDQ∽ △CAB，.

即.

所以

AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ，

.

所以t的值是 .

（3）答對稱軸上存在一點M，使MQ+MC的值最小.

理由如下：

因為拋物線的對稱軸為 ，所以A（- 3，0），C（4，0）.

兩點關于直線 對稱，連接AQ交直線 于點M，則MQ+MC的值最小.

過點Q作QE⊥x軸，垂足為E，所以

∠QED=∠BOA=90，DQ∥AB，∠ BAO=∠QDE，

△DQE ∽△ABO， .

即

.

所以

QE= ，DE= ，

所以

OE = OD + DE=2+ = ，

所以Q（ ， ）.

設直線AQ的解析式為 .則

由此得所以直線AQ的解析式為，聯立 由此得

所以M 則：在對稱軸上存在點M ，使MQ+MC的值最小.

結束語

由以上看出，不論三角形有關，還是四邊形、面積有關的存在性問題終歸是點的存在性.一般思路是：假設存在→推理論證→得出結論.若能導出合理的結果，就做出“存在”的判斷，導出矛盾，就做出不存在的判斷.

參考文獻

[1] 繆曉菊.函數圖象中點的存在性問題[J].考試（中考版），2009，（9）：23-24.

[2] 郭澄東.解析以函數圖象為載體的點的存在性問題[J].初中數學教與學，2009，（1）：17-18.

[3] 張亞芳，王盛裕.存在性幾何問題的常用解法[J].數理天地：初中版，2010，（6）：31-32.