“多元”需要“多維”度

王志英

眾所周知，數學學習離不開解題，但若每天只進行簡單粗暴的題海訓練，短期內成績可能會得到顯著提高，從長期來看，同學們的思維并未得到有效拓展，所以大家不能只做題不思考，只訓練不總結，同學們要學會在學習中捕捉機會，依托典型例題把自己所學的知識運用得更廣泛.同學們可能會有這樣的經歷，碰到好題會魂牽夢繞，我們感嘆它多維的解題方法，更感嘆出題者的絕佳設計.同學們是否想過，解題之后稍加反思深究，你甚至可以成為一個編題高手.

【例題】 已知正實數x，y滿足x/2+2y-2=lnx+lny，則x^y=一____.

分析 本題是無錫市2016年秋學期高三期中測試第14題，當時的得分率較低，主要原因是無法找到此題的切人口.該題的已知條件是一個二元方程，且含有一次結構和對數結構，較為復雜.從表面看此題是一個不定方程，但從求解的結果和結構看，結論一定是有限解，即x，y的值是可以求出來的.如何求出此方程的解，顯然從方程的角度尋求突破口已行不通，那不妨重新整合，從其他視角嘗試解決.

反思 重新審視上面三種方法，發現最后都是通過構建函數完成此題，可能通過整體代換構建一個函數，可能通過集中變元構建兩個函數.若是一個函數，則函數具有兩個單調區間，而且函數零點唯一;若是兩個函數，同樣非常巧妙，一個函數只有極小值，無極大值，一個函數只有極大值，無極小值，且極值相等.由此，我們就可以仿照此題選取簡單的基本初等函數編制題目了.

反思 每個題目的背后都凝聚著出題者的智慧，當然編題并不是一件很容易的事情，但如果經常能對做過的好題反復推敲，同學們的思維就會越來越開闊，越來越靈動，從而獲得受益終生的學習力.

總結 例1問題情境簡單清晰，解法過程直指目標方法;例2題目條件形式看似與例1不同，若用“正難則反”方法，原問題可轉化為不等式方向反向后解集有3個元素的問題，這與例1條件完全相同，方法自不必再說;引例是一道綜合題，需順利求解得到前2問的正確答案，再代人第3問的不等式，如對找“夾縫”的方法已經比較熟悉，則在化簡的過程中自然會依次想到消系數、分離常數和分離參數的方法，但是分離參數時容易機械地認為要分離出單個參量m，這就增加了難度，相當于是一個誤區，正確方法是只要分離出關于參量m的整體表達式即可，然后按照通法找準“夾縫”的兩條邊界線就能得到m的整體表達式的范圍，進而求出參量m的具體范圍.