“排列”與“組合”， 定義大不同

張圣官

“排列”與“組合”問題的求解往往需要縝密的思維方式和獨特的解決辦法，考慮稍有不周便會出現(xiàn)“重復”或“遺漏”而導致計數(shù)的結(jié)果發(fā)生偏差，在初學這部分內(nèi)容時我們首先要把握定義的實質(zhì).

1.“有序”或“無序”是“排列”與“組合”定義的本質(zhì)區(qū)別

2.“排列”或“組合”必須是“從n個不同元素中取出m個（不同）元素”

我們教材中所學的“排列”與“組合”，前提條件首先必須是“從n個不同的元素中取出m個（不同）元素”.之所以要突出“不同”兩字，說明相同元素問題可不能直接套用排列組合公式.因此只有6條不同的對稱軸.

換一個角度來看，在某些計數(shù)問題中，我們還要善于在關于“相同元素”的問題中挖掘出不同因素，這樣才能運用排列或組合解題，

例2 5個“1”與2個“2”可以組成多少個不同的數(shù)列？

解析 按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.由于7個位置不同，故只要優(yōu)先選兩個位置安排好“2”，剩下的位置填“1”（也可先填“1”再填“2”，思考一下兩種方法的優(yōu)劣）.因此，一共可以組成C7 C5=21個不同的數(shù)列，問題如果改成：“將5個相同的紅球與2個相同的白球排成一排，問有多少種不同的結(jié)果”，答案其實是一樣的，

點評 本題還可以分類解決.先把5個“1”放好，再把2個“2”插入，但要注意分兩個“2”在一起和分開在兩處兩種情形討論，結(jié)果為有C6 +C5=21個不同的數(shù)列.

例3 10個相同的小球放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中至少有一個小球，問有多少種不同的方法？

解析 小球相同但盒子不同，本題相當于將10個相同小球分成3堆，可將10個球一字排開，中間有9個空檔，在這9個空檔中選2個插入2個隔板，每一種插法對應一種放小球的方法.因此，共有C5 =36種放法，這種解題方法稱為“隔板法”.

3.“排列”與“組合”問題歸根結(jié)底關鍵還是在于準確計數(shù)

排列、組合是兩類特殊而重要的計數(shù)模型，求解的基本手法是準確利用兩個基本計數(shù)原理，首先要考慮分類或分步，然后常常是先組后排，最終要確保結(jié)果“不重不漏”.

例4 如圖1，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D共4塊，現(xiàn)有4種不同的花供選擇，要求在每塊里種1種花且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法為___-

解法一 先按A，C是否選種相同的花分類，再按A-C-B-D的次序分步種花，結(jié)果為4×1×3×3+4×3×2×2 -84種.

解法二 按選種幾種花來分類求解.若選種4種花有A1種;若選種3種花，則有A，C種同一種花，B，D種另2種花，或者B，D種同一種花，A，C種另2種花兩種情形，2C4A3種;若選種2種花，則A，C與B，D分別種同一種花，C4 A2種.總共84種.

最后通過一則教學案例，來說明利用排列組合定義解題時的一些注意點.

師：把形狀大小完全相同的分別標有1，2，3的3個小球隨機地放在編號分別是1，2，3，4的4個盒子中，則1號盒子內(nèi)有球的不同放法有多少種？

生1（先下手為強）：先從3個球中任取一個放在1號盒內(nèi)，其余2球任意放，得C3C4C4=48種放法.（因重復計數(shù)而犯錯）

生2（折半扣除）：以上解法重復，應折半扣除，只有24種.（因出現(xiàn)新的遺漏致誤）

生3（套用隔板）：由隔板法得C5 =10種.（視3個球完全相同而致誤）

生4（抓1號球分類求解）：按1號球放“1號盒、2號盒、3號盒、4號盒”分類.第1類，1號球在1號盒內(nèi)且另2球任意放，有C4 C4種;第2類時，1號盒又分有1球或有2球兩種情形，有C2C3+C2種;第3類、第4類.