漫談“綜合法”與“分析法”

尤善培

首先欣賞這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：

已知a≥2，b≥2，求證ab≥a+b.

證明：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)a≥b，則由b≥2得ab≥2a≥a+b.

漂亮！這是一個(gè)簡(jiǎn)潔、絕妙的證明，

現(xiàn)在要思考的問(wèn)題是怎么想到“對(duì)稱(chēng)性”的？怎么想到“不妨設(shè)”的？怎么想到這個(gè)證明方法的呢？讓我們慢慢撩開(kāi)這個(gè)“漂亮”證明的面紗吧.

見(jiàn)到這個(gè)問(wèn)題后，容易產(chǎn)生的念頭是：這個(gè)不等式的證明似乎不難.

思考：如果將左邊a，b均用2代人，得ab≥4，如果a+b≤4就好了.遺憾的是a+b并不這么聽(tīng)話(huà)（恰恰相反，a+b≥4）.證明陷入僵局，怎么辦呢？

再思考：我們應(yīng)當(dāng)回到出發(fā)點(diǎn)，并總結(jié)一下失敗的原因，原因是什么呢？原因在于ab≥a+b的右邊也有變?cè)猘，b，所以不能簡(jiǎn)單地把左邊換成常數(shù)4.因此，我們要調(diào)整思路.怎樣調(diào)整呢？

嘗試：不妨在ab中保留b，將以換成2，得到ab≥2b（*）.現(xiàn)在，我們采用分析的方法：假設(shè)問(wèn)題已經(jīng)解決，只要證明a+b≤2b問(wèn)題就解決了，于是只要以≤b問(wèn)題就解決了.盡管不能斷定a≤b成立，但我們已經(jīng)看到了勝利的曙光，因?yàn)樵赼≤b的前提下，ab≥a+b成立.至此問(wèn)題就獲得了部分的結(jié)果.

策略：化整為零.我們“先解決了問(wèn)題的一部分”，在a≤b的情況下，問(wèn)題獲證.

乘勝追擊，擴(kuò)大成果！

再?lài)L試：稍作點(diǎn)變化，在ab中保留a，將b換成2，那么在a≥b的條件下，也有ab≥2a≥a+b.現(xiàn)在，將上述兩方面情況綜合起來(lái)就得到問(wèn)題完整的證明，

反思：上面的再?lài)L試和嘗試中，實(shí)質(zhì)完全一樣，并不是新的舉措，其原因是a，b具有對(duì)稱(chēng)性，顯然，利用a，b的對(duì)稱(chēng)性，我們就有了開(kāi)頭的很簡(jiǎn)潔明快的證明.

喬治·波利亞曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅是一半，更重要的是解題之后的回顧.”其實(shí)，我們對(duì)上面的解題過(guò)程還可以再反思，

反思：解決本題困難的原因還在于不等式兩邊均含有a，b，表現(xiàn)為過(guò)分的“自由”，要進(jìn)行限制.

策略：讓不等式只有一邊含有a，b.于是產(chǎn)生了下面“一氣呵成”的證明.

分析：要證明ab≥a+b①，由于a，b均為正數(shù)，兩邊同時(shí)除以ab，只要證明1≥1/a+1/b②，而事實(shí)上a≥2，b≥2，立刻就有1/a≤1/2，1/b≤1/2，②式顯然成立，

我們還可以把這個(gè)證明過(guò)程寫(xiě)得更加簡(jiǎn)潔和漂亮，

證明：因?yàn)閍 ≥2，b≥2，所以1/a≤1/2，1/b≤1/2，所以1/a+1/b≤1，即ab≥a +b.

事實(shí)上，我們對(duì)上述的思考過(guò)程再思考的話(huà)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)（*）式的研究還不夠深入.因?yàn)槲覀兡艿玫絘b≥2b，同樣我們也能得到ab≥2a.只要把兩式相加，就有ab≥a+b了.這是一個(gè)多么漂亮的證明.

上面我們欣賞的漂亮的證明，實(shí)質(zhì)上就是綜合法，撩開(kāi)面紗的過(guò)程就是分析法，而綜合法與分析法是兩種最基本的邏輯探索方法，它們是為了發(fā)揮演繹法在探索活動(dòng)中的作用而形成的推理與證明的方法，

我們?cè)倏匆粋€(gè)命題的證明過(guò)程.

生：這個(gè)證明很精彩.從問(wèn)題的條件b

師：你說(shuō)得很好！這種證明過(guò)程就如同從一條河流的源頭出發(fā)，順流而下，遍歷大小支流，排除干擾，直至達(dá)到游覽的目的地為止，這就是“由因?qū)Ч钡木C合法證明.

可以用下面的框圖來(lái)表示“若A則B”的推理過(guò)程：

A=>C=>D=>…=>B.

現(xiàn)在要緊的是要知道“A=>C”的念頭是怎樣產(chǎn)生的.

我們“倒放”上述證明的“慢鏡頭”！

事實(shí)上，我們只要把剛才的“慢鏡頭”倒放回去，就得出文中開(kāi)頭所述的十分簡(jiǎn)潔、精妙的綜合法證明.

生：原來(lái)如此！

師：我們把后一種方法稱(chēng)為分析法證明.

分析法又稱(chēng)為倒推法，它和綜合法的證明過(guò)程剛好相反.分析法是從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，追溯到結(jié)論成立的條件，這樣一步一步倒著推上去，直至使結(jié)論成立的條件和已知條件相吻合為止.可見(jiàn)，分析法猶如從游覽的目的地步步上溯，直到江湖的源頭為止，所以人們又稱(chēng)分析法是“執(zhí)果索因”的探索方法.

可以用下面的框圖來(lái)表示“若A則B”的推理過(guò)程：

B<=C<=D<=...<=A.

生：我們?cè)谧C明具體的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)該采用哪種方法呢？

師：我們要知道兩種方法的區(qū)別主要在于推理的出發(fā)點(diǎn)不同.綜合法是“由因?qū)Ч保蓷l件順推，被稱(chēng)為“順推法”，分析法是“執(zhí)果索因”，由結(jié)論倒推，又被稱(chēng)為“倒推法”，這兩種方法都是常用的探索方法.

一般地說(shuō)來(lái)，算術(shù)的方法是綜合法，而代數(shù)中方程的方法，就是分析法.在使用分析法時(shí)，總是從結(jié)論出發(fā)，總要先假定問(wèn)題已經(jīng)解決（如在用方程的方法解應(yīng)用題時(shí)，首先假設(shè)結(jié)果已經(jīng)求出，即設(shè)未知數(shù)為z），然后再進(jìn)行解答.這里再看一個(gè)例：

生：我知道了.在思考問(wèn)題時(shí)常用分析法，具體表述證明的過(guò)程時(shí)用綜合法.

師：很有道理.比較這兩種方法，各有其優(yōu)缺點(diǎn).從尋求解題思路來(lái)看，分析法執(zhí)果索因，從“未知”看“須知”，逐步靠攏“已知”，常常根底漸近，有希望成功.綜合法由因?qū)Ч瑥摹耙阎笨础翱芍保鸩酵葡颉拔粗保?jié)橫生，不易奏效.就表述過(guò)程而言，分析法敘述煩瑣，言辭冗長(zhǎng);綜合法敘述簡(jiǎn)潔，條理清晰.

我們?cè)賮?lái)看一個(gè)用這兩種方法協(xié)同作用、相得益彰處理問(wèn)題的解題過(guò)程.

例3 證明定義在R上的任一函數(shù)f（x）均能表示為一個(gè)偶函數(shù)和奇函數(shù)的和.

簡(jiǎn)析：由于不知道f（x）是一個(gè)什么樣的函數(shù)，因而不可能將f（x）進(jìn)行分拆，怎么辦？我們采用分析的方法，假設(shè)f（x）可以表示為符合條件的兩個(gè)函數(shù)的和，那么會(huì)是一個(gè)什么情形呢？

在本題的解決過(guò)程中，分析法起了探路的作用，以探路發(fā)現(xiàn)的結(jié)論作為重要的邏輯支點(diǎn)，為本題的邏輯推理（綜合法證明）起了重要的支撐作用.事實(shí)上很多的科學(xué)發(fā)現(xiàn)就是這樣的思維活動(dòng)的結(jié)果.