漫話高斯函數(shù)

倉萬林

“數(shù)學王子”高斯小時候的故事，連小學生都知道.在許多人眼中，他就是數(shù)學的代名詞.

高斯（Gauss，1777-1855），德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一.如果推選世界十大數(shù)學家，高斯是其中的一位;如果推選世界三大數(shù)學家，高斯仍然位列其中.

一、高斯函數(shù)簡介

我們把不超過實數(shù)z的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作[x].取整函數(shù)[x]早在18世紀就為“數(shù)學王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，

高斯函數(shù)的圖象是由一些高低不同的水平線段組成，形狀上像個階梯，通常又稱為“階梯函數(shù)”.

二、高斯函數(shù)應用

例1 （2017年北京順義區(qū)二模）某學校為了提高學生綜合素質(zhì)、發(fā)展創(chuàng)新能力和實踐能力，促進學生健康成長，開展評選“校園之星”活動，規(guī)定各班每10人推選一名候選人，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于7時再增選一名候選人，那么，各班可推選候選人數(shù)y與該班人數(shù)z之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)y=[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為（? ）

答案B.

解析由題意，根據(jù)規(guī)定每10人推選一名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于7時再增加一名代表，即余數(shù)分別為8，9時可以增選一名代表.此時要進一位，所以x最小應該加 2，最大要小于3，因此利用取整函數(shù)可表示為y=[x+2/10]，所以選項B是正確的.

點評 本題在處理時，除了用高斯函數(shù)性質(zhì)來分析外，也可以直接特殊化確定結論.

點評 原本簡單的基本量運算問題，和高斯函數(shù)進行整合后立即變得很新穎，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”;二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”，要看清問題的本質(zhì)，我們可以在閱讀上多下功夫，

類比取整函數(shù)，我們不難構造出小數(shù)函數(shù)f（x）=x-[x].圖象如圖2所示：

例3 已知z為實數(shù)，[x]表示不超過z的最大整數(shù)，則函數(shù)f（x）=x-[x]在R上為（? ）

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.增函數(shù)

D.周期函數(shù)

答案D.

解析因為f（x）=x- [x]，

則f（x+1）=（x+1） - [x+1]=x+1-（[x]+l）=x-[x]=f（x），所以f（x）=x-[x]在R上是周期為1的函數(shù)，故選D.

1855年高斯去世，留下遺言把正十七邊形（高斯第一個解決了正十七邊形的尺規(guī)作圖問題）刻在墓碑上，母校哥廷根大學實現(xiàn)了他的遺愿，樹立了以正十七棱柱為底座的墓碑，由于完整的十七邊形，看起來會和圓難以區(qū)分，所以用正十七邊形的各頂點代替，刻在墓碑上，以此紀念“數(shù)學王子”對數(shù)學的貢獻.