正弦函數、余弦函數的圖象教學設計

馬寧

摘要：本文分析正弦函數和余弦函數的圖象的畫法的教學設計，讓學生在畫正余弦函數圖象的過程中體會數形結合，轉化與化歸，以及類比的數學思想方法。

關鍵詞：高中數學? ?正弦函數? ?余弦函數? ?圖象教學設計

一、教學目標：

（一）學習目標：

1.能用單位圓中的三角正弦線作出的圖象，知道它的圖象;

2.能根據關系，作出的圖象;

3.會用“五點法”作出正弦函數、余弦函數的簡圖;

4.畫正余弦函數圖象的過程中，體會數形結合思想，轉化思想，以及，類比的學習方法.

（二）重難點

重點：正弦函數、余弦函數的圖象的畫法.

難點：單位圓中的正弦線轉化為正弦函數圖象上的點的縱坐標的形與數的轉換.

二、教學過程：

（一）情境引入

師：大家是否還記得今年六月份，上合峰會在青島舉行，朋友圈被燈光秀刷屏。短短幾分鐘表演，看的人熱血沸騰、滿滿的自豪感。我們再來重溫一下當時的盛況：（視頻展示）

這段視頻真正展現了世界水準、中國氣派、山東風格、青島特色。由此可見，形象的、直觀的影像是最具表現力，最打動人心，最令人難忘的。我們研究數學問題也是如此，往往從生活中熟悉的問題入手，遵循由易到難，由簡到繁，由直觀到抽象，由外在到本質的原則.

設計意圖：既滲透德育了教育，增強愛國熱情和民族自豪感，又說明形象的直觀的影像最具表現力，最打動人心，最令人難忘，從而引出我們為什么學習函數從圖象入手，以及研究函數圖象的必要性.

下面我們再看看生活中還有哪些與數學有關的場景。（視頻展示青島海邊波濤洶涌）.

師：這節課我們就學習一種波浪型曲線——正弦函數、余弦函數的圖象.

（教師板書：正弦函數、余弦函數的圖象）.

設計意圖：從家鄉的風景入手，激發學習興趣，并對正余弦曲線有了直觀的認識.

師：我們已經知道，當角的概念推廣到弧度制后，實數與角度就建立了一一對應的關系。所以，對于任意的實數x，有唯一確定的值sinx（或cosx）與之對應.由這個法則所確定的函數y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函數（或余弦函數）.定義域為R.

課前讓大家搜集了資料，生活中還有哪些圖形與正弦函數、余弦函數有關？

學生展示簡諧振動實驗.

設計意圖：從學習生活中的例子直觀感受正余弦曲線.

師：這只是正弦函數直觀的體現，數學上的正弦函數圖象怎么畫呢？類比必修一學過的指對冪函數圖象的畫法，你能怎么畫？

生：列表、描點、連線。（投影展示）

師：好！下面我們就嘗試用列表、描點、連線的方法畫正弦函數的圖像.

設計意圖：類比必修一研究函數的方法，掌握學習方法的遷移.

（二）講授新課：

1.利用單位圓中的正弦線作函數的圖象

教師引導學生探究總結描點法的缺陷：當自變量x任意取值時，對應的y值大部分都是取得近似值，在坐標系中難以精確表示。另外由于作圖會出現誤差，取點時也不容易取得點的精確位置.

師：（繼續引導）怎樣才能做出盡可能精確的正弦函數y=sinx的圖象？

學生討論，難以找出很好的辦法.

師：要想把正弦函數的圖像盡可能精確的畫出來，關鍵是點（x， sinx）能精確的表述出來，所以在列表時要把點的縱坐標精確地表示出來.由于所要描出的點的縱坐標實質都是x所對應的正弦值，所以我們只要把x所對應的正弦值在坐標系中精確表示出來即可.經過前面的學習，我們已經知道，三角函數線可以非常直觀的精確表示三角函數值的大小.所以，大家考慮：能否用正弦線來表示（x， sinx）中的縱坐標？

設計意圖：應用前置知識，從感性到理性，從形到數，引導學生以形代數.設計自然合理.

師：如何在單位院中做出任意角x的正弦線？

教師引導學生回顧正弦線的做法，讓一位學生到講臺上做出單位圓中的正弦線，然后讓此名學生在坐標系中表示出比較特殊的點

設計意圖：這樣可以分散難點，只要解決一個點的坐標，其他以此類推

教師通過幾何畫板演示如何利用正弦線的平行移動作正弦函數的圖象，先演示12等分的，再演示任意取點的，邊演示，邊講解，進一步提問學生，讓學生體會離散到連續、特殊到一般的認知規律.

師：剛才，我們在幾何畫板上利用正弦線的平行移動描出了畫正弦函數的圖像所需要的點，也是描點法.不同的是，我們沒有在列表時給出精確的縱坐標值，而是利用正弦線這種我們可以感性認識到的具形的線段刻畫了點的縱坐標值，使得描出來的點比較精確，從而就精確地畫出了正弦函數y= sinx在[0，2π]的圖象.

（此時，教師引導學生對作圖過程進行總結，教師對正弦線的平行移動進行說明，讓學生進一步體會用正弦線描點的精確性，體會數學結合的思想與方法.）

師：因為正弦函數的定義域是R，所以我們要做出y= sinx在R上的圖象。前面得到的僅僅是y= sinx在[0，2π]上的圖象.那么我們如何根據y= sinx在[0，2π]的圖象得到y= sinx在R上的圖象？

2.探究由函數y= sinx在[0，2π]的的圖象拓展得到函數y= sinx在R上的圖象

利用正弦線的平行移動，教師引導學生做出y= sinx在[2π，4π]上的圖象，讓學生觀察，比較，從而發現：y= sinx在[2π，4π]上的圖象和y= sinx[0，2π]上的圖象是完全相同的，都是由相同的正弦線通過平移過去得到的，因此，y= sinx在[2π，4π]上的圖象和，y= sinx在[0，2π]上的圖象在形狀上是完全一樣的，只是位置不同.所以要得到y= sinx在[2π，4π]上的圖象只需把y= sinx在[0，2π]上的圖象向右水平移動2π個單位.同樣的道理，用類似的方法得到y= sinx在[4π，6π]、[6π，8π]…上的圖象.

教師繼續引導學生，達到共識：把函數y= sinx在[0，2π]的圖象沿x軸左右水平移動，每次平移2π個單位，就可以得到y= sinx在R上的圖象.

教師進行多媒體演示，演示函數y= sinx在[0，2π]的的圖象經過水平移動得到函數y= sinx在R上的圖象的圖象的過程.

師：（小結）根據函數y= sinx在[0，2π]的的圖象通過水平移動得到函數y= sinx在R上的圖象的過程，我們還可以體會到什么？

指出：上述操作的依據是誘導公式一：.

設計意圖：先從感性認識入手，進行歸納總結，得到理性認識，由形入手，以數結論.讓學生從直觀上感受[2π，4π]上的圖象的得到，再根據誘導公式一從理論的角度進行解釋，學生容易接受.如果直接利用誘導公式一來解釋由函數y= sinx在[0，2π]的的圖象得到函數y= sinx在R上的圖象的過程，比較抽象，學生難以理解）

教師繼續引導學生總結得到：要作正弦函數y= sinx在R上的圖象，先作出y= sinx在[0，2π]的圖象，然后沿把y=？sinx在[0，2π]的圖象沿x軸左右水平平移，每次平移2π個單位，就可以得到y= sinx在R上的圖象.

3.探究應用“五點法”作正弦函數y= sinx的簡圖

師：請同學們觀察y= sinx在[0，2π]的圖象，圖像的形狀在哪幾個點處發生著比較大的變化？

教師引導學生找出確定函數y= sinx在[0，2π]的圖象的幾個關鍵點，進一步解釋為什么是這幾個點，各有著什么樣的作用，讓學生用心體會，并結合函數的圖像的頂點的作用讓學生進一步體會.

師：我們在畫的圖像時，只要確定頂點的坐標，就能畫出函數的大致形狀.那么，對于正弦函數y= sinx，我們要用它的圖像時是否必須每次都要應用正線顯得平行移動來解決呢？這樣是不是太麻煩了？有沒有更為簡潔的辦法，既方便，又能做出函數y= sinx的大致圖像呢？

學生陷入思考.

師：（進一步提出問題：）在精確度要求不太高時，如何作正弦函數的大致圖象呢？

學生經過觀察、比較，進行思考，并結合剛才所找出的五個關鍵點，發現：確定圖象的形狀有五個起著關鍵作用的點：圖象的最高點，最低點以及與圖象x軸的交點，只要描出這五個點，就能確定y= sinx的大致圖像.

教師進一步引導學生總結：在精確度要求不太高時，要作y= sinx的大致圖象，只需先描出五個關鍵點，再用光滑的曲線把它們連接起來.這種作圖的方法稱為“五點法”！

師：這五個點的橫坐標取值有什么規律？

生：每個點的橫坐標的取值是有規律的——每個間隔個個單位.

師：同學們練習用這五個點畫出y= sinx在在[0，2π]的圖象;然后再用五點法做出y= sinx在在[2π，4π]的圖象，再用五點法做出y= sinx在在[-2π，0]的圖象.

設計意圖：由特殊到特殊，最后再由特殊到一般，由學生總結出一般方法.

4.探究由正弦函數y= sinx的圖象得到余弦函數y= cosx的圖象

師：我們可以通過正弦線的水平移動得到y= sinx的精確的圖象，也可以應用五點法做出y= sinx的圖象.那么，我們能否應用類似的方法做出余弦函數y= cosx的精確的圖像以及大致的圖像？

生：既然能把正弦線平移得到y= sinx的精確的圖象，那么也可以用余弦線平移得到y= cosx的精確的圖像.

師：是嗎？請同學們試一試.

教師巡視，很快發現學生陷入了苦惱之中，無法用余弦線表示縱坐標的值！

師：同學們，你們的困惑在哪里？

生：正弦線是水平的線段，平移過來沒法表示縱坐標！

師：那如果我們把余弦線在對應的點（x，cosx）的橫坐標x處立起來呢？也就是讓余弦線垂直于x軸？這樣能否表示點的縱坐標呢？

學生恍然大悟，但是又陷入新的苦惱：為什么非要立起來呢？

師：這里我給大家留兩個課后作業：一是用剛才的方法畫出余弦函數y= cosx的圖象，二是思考為什么能把余弦線立起來.

然后教師繼續并提出問題：能不能直接應用正弦函數y= sinx的圖象作出余弦函數y= cosx的圖象呢？

教師繼續引導學生思考：正弦sinx與余弦cosx可以利用什么公式建立起聯系？

生：，！

師：那么我們可否選擇上述公式，利用正弦函數y= sinx的圖象作出余弦函數y= cosx的圖象？應用那一個公式呢？

學生經過思考，恍然大悟：應用這個公式，把y= sinx的圖象水平移動就可以得到y= cosx的圖象！

師：怎么平移？向哪個方向水平移動？

生：向左水平移動個單位！

師：請同學們動手操作驗證你的猜想！

學生通過操作，發現自己的猜想非常正確，歡欣雀躍！

師：請同學們進一步思考：我們選擇行不行？如果選擇這個公式的話，y= sinx的圖象怎么變化才能得到y= cosx的圖象？

學生討論探究，發現：應用公式也可以，不過需要把y= sinx的圖象先做一個關于x軸的變換再進行水平移動才行，操作非常麻煩.所以還是應用把y= sinx的圖象水平移動就得到y= cosx的圖象的方法最好.

設計意圖：通過探究，讓學生根據函數解析式之間的隱含關系思考函數圖象之間的關系，進而學習通過圖象變換畫余弦函數圖象的方法，向學生滲透化歸轉化的數學思想.

5.探究用“五點法”作余弦函數y= cosx的簡圖

師：觀察余弦函數y= cosx的圖象，類比正弦函數y= sinx的圖象，思考：確定余弦函數的圖像形狀的關鍵點是什么？我們能否應用類似的方法做出余弦函數y= cosx的大致圖象？.

學生經過思考討論，得到確定的結果：能！

師：那么，余弦函數y= cosx的圖象的五個關鍵點是什么？

學生迅速找出五個關鍵點.

師：（總結）在精確度要求不太高時，先描出余弦函數y= cosx的圖象的五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們順次連結起來，就得到余弦函數y=cosx的大致圖象.這種作圖法叫做“五點（畫圖）法”.

教師指出：五點法是我們今后學習常用的方法.

以下是我們用“五點法”來演示出與正弦函數和余弦函數相關的函數圖象

6.典例講解

示例（1）用“五點法”作函數上的簡圖;

（2）用“五點法”作函數上的簡圖.

（對于（1），教師重點、詳細講解，并多媒體演示過程，對于（2），則由學生練習，獨立完成.

教師個別指導，學生列表，描點，師點評，并及時糾正學生作圖過程中存在的問題.

師：（進一步提出思考，引導學生從圖象變換的角度探究圖象間的關系）你能否從函數圖象變換的角度出發，利用的圖象，得到的圖象？同樣的，如何利用的圖象，得到的圖象？

設計意圖：教師多媒體演示，學生觀察圖象間的關系.在課堂教學中，教師在教學中的主導作用必須以確定學生主體地位為前提，注重學生與教師相互交流、共同參與，鼓勵學生質疑、探究，讓學生感受和體驗數學知識產生、發展和應用的過程.

（三）總結提升：

師：對照學習目標，自查效果達成情況.

結束語：轉化思想可以實現復雜問題簡單化，陌生問題熟悉化，是我們探求未知世界的常用方法.而關于數形結合，華羅庚老先生有一段感觸，其中最為精辟的是：數缺形時少直觀，形少數時難入微.大家只有掌握好數學思想方法，才會融會貫通，處理起問題來也就更加的得心應手、游刃有余.相信大家會越來越好，越飛越高，成為最好的自己.

三、課后反思：

比較成功的地方：

（一）本節課充分利用信息技術和多媒體融合，將抽象的數學知識及物理實驗通過動態的展示，分解難點，更易于學生接收.從上合峰會燈光秀導入，既充分調動學生學習積極性，增強愛國熱情和民族自豪感，又說明形象的直觀的影像最具表現力，最打動人心，最令人難忘，從而引出我們為什么學習函數從圖象入手，以及研究函數圖象的必要性，令人耳目一新.

（二）通過學生列舉生活中各種波的例子以及物理上簡諧振動的實驗，給出正余弦曲線的直觀體現，充分說明數學來源于生活又服務于生活 ，體現學有用的數學的理念.

（三）教學中圖象的展現過程，嚴謹細致，每一步都有據可查，有理可循，體現數學是嚴謹的科學，培養學生嚴謹的思維模式.

（四）教學中能充分發揮學生主體地位，讓學生大膽說，大膽做，暴露學生思維，并通過問題驅動啟發引導學生，使得思維更嚴密，思路更清晰。通過問題串的鋪設，層層遞進，在不知不覺中解決了問題，分散了難點.

（五）教學中注意滲透數學思想方法與類比學習方法，教給學生學習方法的遷移，有利于提升學生學科素養，為學生持續發展奠定基礎.

（六）本堂課緊扣數學核心素養，教師充分發揮了引導者的作用，讓鮮活的數學思想在課堂中自然流淌，而不是生硬地把學生拽到預設的軌道上來.所謂“道法自然、教法泰然.”

（七）本節課利用幾何畫板展示了知識的形成過程，把數形結合思想體現的淋漓盡致.遵照“直觀感知、操作確認、思辨論證”的學習方式，加深學生對數學概念和性質的理解，提高學習的主動性和積極性，最終提高了教與學的雙重效率.

（八）整堂課處處滲透德育教育，讓學生為自己是中國人、是青島人而感到自豪。最后，用著名數學家華羅庚的一段話，激勵學生們越來越好、越飛越高，成為最好的自己。

（作者單位：青島實驗高中）