永磁同步電機(jī)有限時間混沌同步控制

劉加勛，王佐勛，雷騰飛，尹萬軍

(1.齊魯工業(yè)大學(xué),濟(jì)南 250353；2.齊魯理工學(xué)院,濟(jì)南 250200；3.國家電網(wǎng)章丘區(qū)供電局，濟(jì)南 250200)

0 引 言

1990年,美國海軍實驗室的學(xué)者Pecora和Carroll[1]提出了混沌同步控制方法，并且在電子電路中實現(xiàn)了混沌同步?；煦缤骄褪菍煦缦到y(tǒng)加以控制，使其軌跡逐漸逼近另一混沌系統(tǒng)軌跡。隨著電力電子技術(shù)與工程控制技術(shù)的發(fā)展，混沌現(xiàn)象被廣泛發(fā)現(xiàn)于永磁同步電機(jī)、無刷直流電機(jī)、開關(guān)磁阻電機(jī)等伺服系統(tǒng)之中，引發(fā)了國內(nèi)外廣大學(xué)者的研究熱潮。1994年Hemati[2]發(fā)現(xiàn)了永磁電機(jī)開環(huán)驅(qū)動系統(tǒng)中存在著混沌現(xiàn)象。張波[3]等人給出了其通用模型，并對其進(jìn)行了更深入的研究。永磁同步電機(jī)作為一種強(qiáng)耦合、非線性、多變量系統(tǒng)，其在發(fā)生混沌現(xiàn)象時所表現(xiàn)出的主要特征是隨著電機(jī)性能參數(shù)的變化，系統(tǒng)會發(fā)生轉(zhuǎn)矩以及轉(zhuǎn)速的不穩(wěn)定，控制性能明顯降低，出現(xiàn)電磁噪聲等一系列對系統(tǒng)控制有害的影響，繼而出現(xiàn)了混沌抑制問題；從另一個方面來說，電機(jī)產(chǎn)生的混沌行為在一些特定的場合，比如在原材料的研磨與攪拌方面是非常有益的，這就產(chǎn)生了混沌反控制問題。

目前，關(guān)于電機(jī)混沌同步的研究還是比較少的，尚且處于初步階段。文獻(xiàn)[4]運(yùn)用了模糊控制原理對系統(tǒng)參數(shù)不確定的永磁同步電動機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行了混沌同步；文獻(xiàn)[5]基于主動控制原理將永磁同步電機(jī)分別與Arneodo與Duffing系統(tǒng)進(jìn)行異結(jié)構(gòu)同步；文獻(xiàn)[6]遵循Lyapunov穩(wěn)定性理論，將Lorenz系統(tǒng)分別與Chen系統(tǒng)和Rossler系統(tǒng)進(jìn)行異結(jié)構(gòu)同步，并且對其在保密通信中的應(yīng)用進(jìn)行了探究；文獻(xiàn)[7-9]基于自適應(yīng)原理對非均勻氣隙的永磁同步電機(jī)進(jìn)行了混沌同步；文獻(xiàn)[10]基于最優(yōu)控制理論與Pontryagin 極小值原理對非均勻氣隙的永磁同步電機(jī)進(jìn)行了混沌控制。

模糊控制容易降低系統(tǒng)控制精度以及動態(tài)性能；最優(yōu)控制理論需要系統(tǒng)參數(shù)滿足一定的條件，并且算法優(yōu)化存在一定的復(fù)雜性；自適應(yīng)同步法通過引入自適應(yīng)機(jī)制實現(xiàn)系統(tǒng)的控制，但是自適應(yīng)的引入容易增加系統(tǒng)的開支，會對系統(tǒng)的響應(yīng)能力產(chǎn)生影響；傳統(tǒng)基于主動控制原理的同步方法控制能力還需要進(jìn)一步加強(qiáng)。

還有一個問題，就是許多關(guān)于混沌同步控制的文獻(xiàn)[4-10]，僅僅考慮了系統(tǒng)整體同步的魯棒性，并沒有從有限時間的觀念出發(fā)去設(shè)計控制器，考慮到有限時間混沌同步的文獻(xiàn)[7-8]，其同步的時間還能夠進(jìn)一步優(yōu)化。

本文在文獻(xiàn)[5]控制原理的基礎(chǔ)上，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論、有限時間穩(wěn)定理論，設(shè)計了一種新型帶有終端吸引子的主動控制器，實現(xiàn)了永磁同步電機(jī)有限時間混沌同步。

1 永磁同步電機(jī)混沌數(shù)學(xué)模型

為不失一般性，永磁同步電機(jī)模型參考文獻(xiàn)[11]中的混沌數(shù)學(xué)模型，如下所示:

(1)

式中：id與iq是定子電流的直軸與交軸分量；ω是轉(zhuǎn)子角頻率；Tl是外部轉(zhuǎn)矩；J是轉(zhuǎn)動慣量；β是黏性阻尼系數(shù)；R1是定子繞組；Ld與Lq是d，q軸定子電感；p是電機(jī)極對數(shù)；φr是永久磁通；ud與uq是定子電壓的直軸與交軸分量。

對式(1)繼續(xù)處理有：

(2)

此處只考慮氣隙均勻，即：

此時能夠得到永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型：

(3)

當(dāng)γ=20，σ=5.46時，系統(tǒng)會呈現(xiàn)出混沌狀態(tài)，其系統(tǒng)相圖如圖1所示。

圖1 永磁同步電機(jī)奇怪吸引子圖

改變永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型x1與x2的順序，可以得：

(4)

當(dāng)σ=5.46,ρ=20時，式(4)處于混沌狀態(tài),其系統(tǒng)相圖如圖2所示。

圖2 式(4)奇怪吸引子圖

2 永磁同步電機(jī)有限時間混沌同步

2.1 有限時間穩(wěn)定理論

2.2 控制器設(shè)計以及系統(tǒng)同步

為了實現(xiàn)永磁同步電機(jī)系統(tǒng)與式(4)系統(tǒng)的同步，本文使用驅(qū)動-響應(yīng)同步法對系統(tǒng)進(jìn)行同步，設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)為式(4)系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為永磁同步電機(jī)系統(tǒng)：

(5)

u1，u2和u3就是我們所期望的控制函數(shù)。設(shè)：

e1=y1-x1,e2=y2-x2,e3=y3-x3

則可以得到誤差系統(tǒng)：

(6)

定理2：定義控制函數(shù)u1，u2和u3，

(7)

由此選擇Lyapunov函數(shù)：

對V求解關(guān)于t的導(dǎo)數(shù):

將式(7)代入式(8)中，可以得到：

綜上所述，式(6)系統(tǒng)在加入控制器式(7)后，其狀態(tài)誤差會在有限時間內(nèi)逐漸趨于零，從而也就說明了驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)達(dá)到了同步。

3 仿真結(jié)果

首先應(yīng)用文獻(xiàn)[4]中控制器在本文系統(tǒng)中可有：

(10)

從控制器的形式可以看出，它僅是把原誤差系統(tǒng)中的非線性項去掉，也沒有提供可以調(diào)節(jié)的參數(shù)，對系統(tǒng)的控制能力較為單一。而本文控制器的設(shè)計引入一個新型可調(diào)節(jié)參數(shù)與分?jǐn)?shù)階次冪，提高了對誤差系統(tǒng)的控制能力，也不會增加系統(tǒng)的支出，對比結(jié)果仿真結(jié)果如圖3～圖6所示。

圖3 文獻(xiàn)[4]中永磁同步電機(jī)與式(4)系統(tǒng)狀態(tài)同步圖

圖4 文獻(xiàn)[4]中永磁同步電機(jī)與式(4)系統(tǒng)同步誤差圖

圖5 本文永磁同步電機(jī)與式(4)系統(tǒng)狀態(tài)同步圖

圖6 本文永磁同步電機(jī)與式(4)系統(tǒng)同步誤差圖

由以上同步圖得到，文獻(xiàn)[4]原理控制器需要6s左右系統(tǒng)能夠完全達(dá)到同步；本文原理控制器在3 s左右系統(tǒng)就能完全達(dá)到同步。再者，由于參數(shù)可調(diào)，同步時間還可以人為調(diào)節(jié)以達(dá)到期望的效果。由此充分說明了本文混沌同步控制器的優(yōu)越性。

4 結(jié) 語

本文基于Lyapunov穩(wěn)定性理論與主動控制原理，給出了一種永磁同步電機(jī)的有限時間混沌同步控制策略。該方法由于分?jǐn)?shù)次冪項與可調(diào)節(jié)系數(shù)的存在，大大縮短了同步時間，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)能力，并且不會增加系統(tǒng)的支出。通過仿真與傳統(tǒng)控制策略比較，驗證了本文控制方法在同步時間上更具有優(yōu)越性以及快速響應(yīng)能力。為永磁同步電機(jī)有限時間混沌同步的研究提供了參考，在實際工程中具有較好的應(yīng)用價值。