基于解析法和有限元法的PMSM電磁力波分析

王 偉，黃開勝，杜曉彬

(廣東工業大學，廣州 510006)

0 引 言

隨著環境的發展和工藝的改善，現代居住的環保要求以及電機系統的控制技術對電機的振動噪聲提出了更高的要求，使得振動噪聲逐步成為衡量電機性能的重要指標之一。現在電機的主要噪聲源涉及三個部分，包括電磁力波產生的電磁噪聲、機械結構原因產生的機械噪聲以及由于通風所造成的空氣噪聲[1]。對于現代紡織用電機的電磁振動噪聲卻鮮有研究[2-3]。

目前，國內外對電磁力波的分析方法取得了諸多成果。文獻[4]提出通過解析法采用磁勢乘磁導的方法計算氣隙磁場，并且在考慮了定子開槽的影響下推導出電磁力波表達式，但是該解析分析沒有考慮電樞反應磁場以及電機瞬態磁場的分布，而且做了很多近似和假設，解析分析與實際工程誤差很大。文獻[5-8]最早對表貼式無刷永磁電機的氣隙磁場進行解析分析，通過解析法分別計算了空載磁場、電樞反應磁場、定子齒槽效應以及負載合成磁場4種情況的瞬態磁場分布及表達式。但是，解析法由于自身的局限性，鐵磁材料飽和性和電機復雜結構等因素對氣隙磁場的影響卻只能被忽略和近似。隨著有限元軟件的版本更新和功能強化，其對于工程應用中的電磁分析具有更強的適用性。文獻[9]基于有限元數值計算方法，考慮了定子齒槽、磁路飽和對同步電機氣隙磁場特性的影響。文獻[10]針對永磁伺服電機詳細介紹了有限元仿真電磁力波的具體步驟。文獻[11]比較了分數槽永磁無刷電機徑向電磁力的解析模型和有限元仿真結果。文獻[12]分析了永磁同步電主軸分數槽電機的徑向電磁力。

本文利用解析模型與有限元模型的雙模型，通過由解析法過渡到有限元法的層層深入，對現代紡織用永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)的徑向電磁力波進行了詳細分析，為后續電機的減振降噪優化設計提供了參考。

1 PMSM氣隙磁場的諧波解析分析

本文主要采用解析法分析48槽8極整數槽表貼式PMSM，其氣隙合成磁場主要是由定、轉子磁場相互作用產生的，并在此基礎上產生了徑向電磁力波，其大小取決于定、轉子磁動勢和氣隙比磁導[13]。在三相繞組通入三相對稱電流時，通過解析分析PMSM的氣隙合成磁場和定、轉子諧波磁場，為與有限元法結合及對比分析徑向電磁力波次數作了理論指導。

1.1 PMSM磁場和磁動勢的諧波分析

PMSM的氣隙磁場，當不考慮飽和效應時，同時忽略鐵心磁阻，即鐵心部分無磁壓降，氣隙磁密的解析式：

b(θ,t)=λ(θ,t)·f(θ,t)

(1)

式中：λ(θ,t)為氣隙比磁導；f(θ,t)為氣隙磁動勢。

當電機為表貼式PMSM且定子開齒槽，氣隙比磁導的解析式[14]：

λ(θ,t)=Λ0+∑λl1

(2)

式中：Λ0為單位面積氣隙磁導的不變量；λl1為定子齒槽引起的諧波比磁導的周期量。

在三相繞組通入三相對稱電流時，PMSM的氣隙磁動勢由定子基波磁動勢、定子諧波磁動勢和轉子永磁體諧波磁動勢組成，氣隙磁動勢的解析式：

1.2 定子電樞繞組諧波磁場的解析分析

1.2.1 定子諧波磁動勢

PMSM定子諧波磁動勢的解析式：

(4)

式中：ν為定子磁場諧波極對數。

當非正弦分布電樞繞組通過定子基波電流，會在氣隙中產生ν次諧波磁動勢，其轉速為n0p/ν，感應電動勢與基波的角頻率一致。

1.2.2 定子磁場諧波極對數

通過對定子磁場進行解析分析，當每極每相槽數為整數，即q=Z1/(2mp)為整數時，定子諧波磁場中只含有奇數次諧波。此時諧波極對數與諧波次數的關系：

ν=(±2mk1+1)p

(5)

式中：k1=0，1，2，3，…；m為電機相數；p為電機極對數。

將k1=0，1，2，3，…分別代入式(5)，可以得到定子磁場諧波極對數ν=4，-20，28，-44，52，-68，76，…。

1.3 轉子永磁體諧波磁場的解析分析

1.3.1 永磁體諧波磁動勢

PMSM永磁體諧波磁動勢的解析式：

(6)

式中：μ為永磁體磁場諧波極對數。

解析時采用等效永磁體諧波磁動勢表征電機實際非正弦轉子永磁體磁場[15]，會在氣隙中產生μ次諧波磁動勢，其轉速為n0,感應電動勢的角頻率為ω0μ/p。

1.3.2 永磁體磁場諧波極對數

通過對永磁體磁場進行解析分析，永磁體磁場中只含有奇數次諧波。此時，諧波極對數與諧波次數的關系：

μ=(2k2+1)p

(7)

式中：k2=0，1，2，3，…；p為電機極對數。

將k2=0，1，2，3，…分別代入式(7)，可以得到永磁體磁場諧波極對數μ=4，12，20，28，…。

對于該款整數槽表貼式PMSM，通過解析式(4)、式(6)和式(5)、式(7)可以準確地定性分析諧波極對數與諧波磁動勢之間的關系及磁場諧波性質，對于理論分析電機性能起到了參考作用。但上述解析法也存在一定的局限性，除了與實際工程存在誤差外，主要是不能快速、直觀以及整體性地定量分析定、轉子磁場諧波幅值大小及幅值與諧波極對數之間的關系，不能明晰地觀察定子電樞磁場和轉子永磁體磁場氣隙磁密分布的波動程度，以及與定子槽、極對數、永磁體等電機本體參數之間的關系；同時解析法無法有效、快速地剔除作為引起電磁振動噪聲非主要根源的高次數小幅值諧波數據，對于力波次數表的形成無法節約時間成本，其冗余性影響了對電機的優化和設計。

2 PMSM電磁力波次數解析法與有限元法的對比分析

定、轉子氣隙磁場的徑向分量相互作用形成徑向電磁力波，是引起電磁振動噪聲的主要因素。對于引起電機徑向振動發生形變的電磁力波，次數越低，則形變就越大。定子鐵心形變量隨著力波幅值的增大而加劇；隨著力波次數的4次方的增大而弱化，所以電磁振動噪聲主要源于低次數大幅值的電磁力波。

2.1 徑向電磁力波次數的解析分析

通過對48槽8極整數槽表貼式PMSM的定子磁場和轉子磁場的諧波分析，可得出徑向電磁力波次數的解析式為：

γ=ν±μ

(8)

其中，力波次數不大于4次的徑向電磁力波更容易產生電磁振動噪聲，所以將力波次數提高至大于4次時，電機的電磁振動噪聲將得到明顯抑制[16]。將式(5)和式(7)代入式(8)，忽略數學表達式結果大于4的解析式，只保留可能產生力波次數為0或者2p的部分，因此其主要徑向電磁力波次數的解析式：

(9)

式中：k1=0，1，2，3，…；k2=0，1，2，3，…。

將k1=0，1，2，3，…；k2=0，1，2，3，…分別代入式(9)，可以得到徑向電磁力波次數γ=0，8，16，24，32，40，48，56，64，72，…，滿足上述力波次數為0或者2p倍的解析理論。

通過解析式(8)、式(9)可以定性地分析影響該款電機電磁振動噪聲的主要力波次數，是否含有4次以下徑向電磁力波，初步判斷電磁振動噪聲的影響程度。但上述解析法還存在一定的局限性，不能快速、直觀以及整體性地定量分析電磁力波的次數，不能明晰地觀察徑向電磁力波空間與時間分布的波動程度及波動位置。

2.2 徑向氣隙磁場的有限元仿真分析

采用解析法對PMSM磁場諧波理論和徑向力波進行分析，雖然能較好地表達定、轉子諧波，但是其快速性、直觀性、整體性較差，而且對解析過程作了很多近似和假設，如忽略鐵心磁阻、鐵心飽和等，這些都會影響解析分析的準確性。所以，在解析法的基礎上融入有限元法，對PMSM諧波磁場和徑向電磁力波的分析是非常有意義的[17]。

本文的PMSM解析模型與有限元模型的結合過程如下：

a) 直接采用有限元法仿真分析電機氣隙磁場(額定負載時定子電樞磁場和空載永磁體磁場)。

b) 分別對上述的氣隙磁場波形進行快速傅里葉變換(FFT)分析，準確獲得氣隙磁場的基波與諧波幅值。

c) 對快速傅里葉變換柱狀圖進行數據轉換并做預處理。

d) 設計基于Python和Excel結合的預處理程序[18]，如圖1所示。

圖1 Python程序流程圖

e) 通過對比解析法分析得到的諧波極對數數據與有限元法仿真及Python預處理后的數據，來驗證有限元法的正確性；同時結合解析式γ=ν±μ，使用預處理后的諧波極對數ν和μ，合成徑向電磁力波次數表。

2.2.1 額定負載時定子電樞磁場諧波仿真

通過ANSYS Maxwell 2D建立有限元模型，對定子繞組加載額定電流，同時將轉子永磁體材料設為空氣，如圖2所示。

圖2 額定負載時電機有限元模型

對圖2有限元模型進行徑向氣隙磁密仿真，可以得到額定負載時定子電樞磁場波形，如圖3所示。

圖3 額定負載時定子電樞磁場波形圖

對圖3波形進行FFT分析，可以得到各次諧波及其幅值，如圖4所示。

圖4 額定負載時定子電樞磁場FFT柱狀圖

利用基于Python的設計程序對圖4進行預處理，得到篩選后的磁場諧波數據及磁場諧波分析圖，如表1及圖5所示。

表1 預處理后的定子電樞磁場諧波數據

圖5 預處理后的定子電樞磁場諧波分析圖

由圖3可知，電樞磁場基本呈正弦性，具有4個周期和48個小范圍波動，與電機極對數和定子槽數一一對應；同時，在定子齒冠與永磁體接近時存在明顯波動，即波峰和波谷處。由圖4、表1可知，電樞磁場基波幅值最大，為0.56 T，且僅含有1，5，7，…奇數次諧波。由圖5可知，有限元法有效地剔除了定子磁場中高次數小幅值諧波，并將橫坐標轉換成諧波極對數，為快速形成力波次數表節約了時間成本，避免了解析法的冗余性。

2.2.2 空載永磁體磁場諧波仿真

通過ANSYS Maxwell 2D建立有限元模型，將定子繞組及激勵刪除，如圖6所示。

圖6 空載電機有限元模型

對圖6有限元模型進行徑向氣隙磁密仿真，可以得到空載永磁體磁場波形，如圖7所示。

圖7 空載永磁體磁場波形圖

對圖7波形進行FFT分析，可以得到各次諧波及其幅值，如圖8所示。

圖8 空載永磁體磁場FFT柱狀圖

利用基于Python的設計程序對圖8進行預處理，得到篩選后的磁場諧波數據及磁場諧波分析圖，如表2及圖9所示。

表2 預處理后的永磁體磁場諧波數據

圖9 預處理后的永磁體磁場諧波分析圖

由圖7可知，永磁體磁場趨近于正弦波，具有4個周期與電機極對數是對應的；同時，可以觀察到磁場波動平穩，主要與磁極厚度有關。由圖8、表2可知，永磁體磁場基波幅值最大，為0.88 T，且也僅含有1，3，5，…奇數次諧波。由圖9可知，有限元法有效地剔除了永磁體磁場中高次數小幅值諧波，并將橫坐標轉換成諧波極對數，為快速形成力波次數表節約了時間成本，避免了解析法的冗余性。

2.3 解析模型與有限元模型的對比分析

通過式(5)、式(7)得到的諧波極對數與有限元法仿真及Python預處理后的數據進行對比，如表3、表4所示。

表3 48槽8極定子電樞磁場諧波極對數ν

由表3可知，標注“□”的36次諧波極對數只有有限元法算出，是因為解析法忽略了定子齒槽、鐵心磁阻和飽和等非線性因素的影響，造成解析法的丟解。標注“＿”的124次諧波極對數只有解析法算出，其余數據完全一致。

表4 48槽8極轉子永磁體磁場諧波極對數μ

由表4可知，標注“＿”的52，108，124，132次諧波極對數只有解析法算出，是因為在有限元法分析的數據預處理過程中，剔除了幅值較小的諧波次數。其余數據完全一致。

通過表3和表4關于諧波極對數ν和μ的對比可知，有限元法的結果與解析法趨近于一致，驗證了有限元法的正確性，為下文形成力波次數表以及在工程中去解析化地快速分析作了鋪墊。

基于上述分析并結合解析式γ=ν±μ，使用預處理后的諧波極對數ν和μ，合成徑向電磁力波次數表，如表5所示。

表5 48槽8極PMSM力波次數表

注：由于篇幅限制，節選部分低階定、轉子諧波極對數

由表5可知，48槽8極PMSM徑向電磁力波次數γ為0，8，16，24，32，40，48，56，64，72，…，與解析式(9)的結果完全一致，滿足上述力波次數為0或者2p倍的解析理論；還可以明確地知道該款電機的低次力波只有0次。在解析法的基礎上，融入了有限元法，可以快速且直觀地辨別定、轉子磁場下不同諧波極對數相互作用所產生的徑向電磁力波，對通過極槽配合、斜槽等傳統方法消除低次力波提供了參考，更加驗證了有限元法的準確性和高效性，也為完全去解析化夯實了基礎。

3 PMSM電磁力波幅值與頻率有限元分析

針對48槽8極整數槽表貼式PMSM，采用解析法和有限元法的結合模型分析了徑向電磁力波次數，突顯了有限元法的快速性、直觀性以及整體性。因此，為了可以在工程應用中完全去解析化地快速分析電磁力波，本文通過對PMSM的力波進行空間分布和時間分布的有限元仿真來進一步分析電磁力波的幅值與頻率。

3.1 徑向電磁力波幅值

由麥克斯應力張量(Maxwell stress tensor)，推導出定子鐵心內表面的徑向電磁力波pr(θ,t)：

(10)

式中:μ0為真空磁導率。

雖然式(10)的展開式可以物理概念清晰地表示產生徑向電磁力波的磁場，但是求解過程復雜，計算量極大，所以只選擇有限元法計算。

采用有限元法對額定運行時徑向電磁力波空間分布進行諧波分析，并做FFT分析，同時利用Python程序剔除冗余值，繪制徑向電磁力波空間分布諧波分析圖，分別如圖10、圖11和圖12所示。

圖10 額定運行時徑向電磁力波空間分布圖

圖11 額定運行時徑向電磁力波空間分布FFT柱狀圖

圖12 額定運行時徑向電磁力波空間分布諧波分析圖

根據式(9)所闡述的解析理論，對于PMSM的徑向電磁力波次數應滿足γ為0或者8的倍數。由圖12所示，徑向電磁力波空間分布諧波次數主要是8，16，24，32，40，…等8的整數倍次數與式(9)和表5的結果完全一致。同時，又給出了具體的幅值，除了直流分量外，即γ=0所對應的分量為175.988 kN/m2，其余幅值較大的諧波次數為8次，16次，24次，48次，96次，所對應的幅值依次為192.461kN/m2，21.626 kN/m2，38.423 kN/m2，37.573 kN/m2，25.545 kN/m2。

通過額定運行時對徑向電磁力波進行空間分布諧波分析，可以準確地得到電磁力波次數及所對應的幅值，省去了冗長復雜的解析過程，為后續振動噪聲的分析和去解析化提供了直接而且有效的依據。

3.2 徑向電磁力波頻率

由定子諧波磁場頻率f0與轉子永磁體諧波磁場頻率 (2k1-1)f0，推導出該款PMSM的電磁力波頻率f：

f=f0±(2k1-1)f0=2k1f0

(11)

式中：k1=1，2，3，…；f0為基波頻率。

將k1=1，2，3，…分別代入式(11)，其中f0=100 Hz，可以得到電磁力波頻率f=200 Hz，400 Hz，600 Hz，800 Hz，1 000 Hz,…。

雖然式(11)的計算過程簡便,但是對于后續PMSM機械結構的模態分析只有單一變量，沒有參考性；同時，解析法求解的模態參數可能存在誤差。

采用有限元法對額定運行時徑向電磁力波時間分布進行諧波分析，并做FFT分析；同時利用Python程序剔除冗余值，繪制徑向電磁力波時間分布諧波分析圖，分別如圖13、圖14和圖15所示。

圖13 額定運行時徑向電磁力波時間分布圖

圖14 額定運行時徑向電磁力波時間分布FFT柱狀圖

圖15 額定運行時徑向電磁力波時間分布諧波分析圖

為了研究徑向電磁力波時間分布的主要諧波頻率，通過在某一個定子齒冠內表面取一點，仿真該點在額定運行時徑向電磁力波隨著時間變化的波形，如圖13所示。可知，徑向電磁力波時間分布呈周期性變化，以5 ms為周期。90 ms以后的波形趨于穩定。取圖13波形穩定后的2個周期進行FFT分析，即90～100 ms穩定區；同時做預處理，結果如圖15所示。徑向電磁力波時間分布諧波頻率主要是200 Hz，400 Hz，600 Hz，800 Hz，1 000 Hz,…等電源基頻的偶數倍頻率,與式(11)的結果完全一致，符合解析理論；同時，也給出了具體的幅值，除了直流分量外，即f=0所對應的分量為178.745 kN/m2，其余幅值較大的諧波頻率為200 Hz，400 Hz，600 Hz，800 Hz，1 000 Hz，所對應的幅值依次為192.637 kN/m2，24.962 kN/m2，40.553 kN/m2，12.847 kN/m2，13.424 kN/m2。還可以看出，隨著頻率的遞增，諧波幅值呈下降趨勢。

通過額定運行時對徑向電磁力波進行時間分布諧波分析，可以準確地得到電磁力波頻率及所對應的幅值，為后續完全去解析化分析PMSM的固有頻率、振型、共振頻率以及防止高頻率小幅值徑向電磁力波產生共振現象，提供了有效的對比和參考。

4 結 語

本文首先采用解析法對氣隙諧波磁場進行解析分析，推導出定子和轉子諧波解析式，然后通過解析模型與有限元模型的結合形成力波表，最后過渡到完全去解析化只通過有限元法仿真分析PMSM隨空間和時間變化的徑向電磁力波幅值和頻率。

通過遞進式的分析表明，解析法在合適的情況下能獲得物理概念較清晰的解析解，但對于工程應用中非線性等問題卻有局限性。而有限元法適應了當今工程分析的需要，對于各種電磁計算問題具有較強的適應性，計算精度高，已獲得廣泛的應用。本文也通過解析法校驗了有限元計算結果的準確性。對于完全去解析化分析現代紡織用PMSM的電磁力波，以及后續模態分析和電磁噪聲的優化奠定了基礎，具有實際的參考意義。