經歷建模過程把握方程本質

孫偉

[摘 要]在“方程的意義”的教學中，不能只強調方程的外部特征，以學生能辨認方程為主要認知目標，而忽略了方程的本質。方程的教學應該從數學模型的視角出發，幫助學生逐步建立方程模型，把握方程的本質。

[關鍵詞]數學建模;經歷;方程本質

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）23-0067-02

方程在初等代數中占有重要地位，但很多教師只注重傳授方程的形式化定義——“含有未知數的等式”，強調方程的外部特征，以學生能辨認方程為主要認知目標，而忽略了方程的本質——“在已知數和未知數之間建立的一種等量關系”。方程也是一個用數學符號提煉現實生活中特定關系的過程，也就是數學建模過程。因此，教師應從模型的視角去教學，幫助學生逐步建立方程模型，把握方程本質。

一、理解相等關系，初步勾勒模型

【教學片段1】

師（課件出示天平圖1）：這是什么？

生1：天平。

師：天平有什么作用？

生2：稱量物體的質量。

師：怎樣稱？

生3：左盤先放入物體，然后右盤放入砝碼，當指針指向中央，也就說明兩邊的質量一樣，砝碼的質量是多少，物體的質量也就是多少。

師：指針指向中央，說明天平是平衡的，天平平衡也就說明左盤里的物體和右盤里的砝碼質量是——

生（齊）：相等的。

師（課件出示天平圖2）：天平平衡嗎？

生（齊）：不平衡。

師：能說左盤碗和米飯的質量和右盤砝碼的質量存在相等關系嗎？

生（齊）：不能。

師（課件出示天平圖3）：現在能說左盤碗和米飯的質量和右盤砝碼的質量存在相等關系嗎？

生（齊）：能。

（板書：碗和米飯的質量和70克相等）

師：在我們的生活中，除了天平之外，還存在著很多的相等關系。這節課我們就圍繞著相等關系來研究問題。

【思考：正如前面所言，過分強調對于方程外部特征的認識，而忽略方程的本質，將使學生的認知浮于表面。方程思想的首要是“能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型”。這里說的數量關系就是等量關系，也可以理解為相等關系。相等關系是學習方程以及等式的性質和列方程解決問題的核心，方程首先是等式，而等式的性質就是通過觀察在變化的過程中等式的變與不變而發現的，因此只有在實際問題中找到相等關系才能列出方程。可見，關于方程的知識離不開相等關系。本環節的教學就抓住這一根本點，首先引導學生借助天平認識平衡，而平衡就說明兩邊的物體存在相等關系，然后讓學生觀察天平圖，在對比中尋找相等關系，尋找相等關系的過程中，學生也勾勒出相等關系的初步模型。】

二、研究具體情景，初步建立等量模型

【教學片段2】

師（課件出示圖4）：現在的天平是什么樣的？

生（齊）：平衡的。

師：也就說明什么？

生1：兩個小砝碼的質量和一個大砝碼的質量是相等的。

師：也就是說兩個小砝碼的質量和一個大砝碼的質量存在相等關系。你能用一個式子表示出這種相等關系嗎？

生2：50+50=100。

師：為什么用“=”連接？

生2：因為兩邊是相等的關系。

師（課件出示圖5）：你能在這幅圖中找出相等關系嗎？

生3：12枚蛋黃派的質量和一盒蛋黃派的質量相等。

師：你能用一個等式表示出這種相等關系嗎？

生3：22×12=264。

師（課件出示圖6，標明碗重30克）：你能看懂這幅圖嗎？

生4：碗和米飯共重70克。

生5：碗和米飯的質量和兩個共重70克的砝碼質量一樣。

師：你能用一個等式表示天平兩邊物體的質量關系嗎？

（學生在作業紙上記錄，教師巡視，并展示有代表性的作品，最后得出x+30=50+20。）

師（出示圖7）：這里存在著相等關系嗎？

生7：7天跑的路程和一個星期跑的一樣多。

師：你能用一個等式表示出這種相等關系嗎？

生8：把每天跑的路程用未知數表示，列出等式7y=2.8。

師：觀察我們寫出的這些式子，它們有什么共同的地方？

生9：都有等號。

生10：都表示兩邊是相等的關系。

師：知道它們叫什么嗎？

生（齊）：等式。

師：回顧剛才的學習過程，我們都是先找出相等關系，也就是等量關系，然后根據等量關系寫出等式。

【思考：對于等式，學生早有認識，但學生對于等式的理解更多地停留在運算結果的層面。等式是數學的基本概念之一，指表達相等關系的式子。在這個教學環節中，讓學生先尋找相等關系，然后用一個式子表示出這種相等關系，明了相等關系應該用“=”連接起來，而“=”的兩邊應該用數學語言來表示，已知的用具體的數，未知的用字母來代替，等量模型就這樣自然而然地建立起來。接著讓學生觀察這幾個式子，尋找共同點以及所表示的本質意義，學生對于等量模型就有了更深刻的理解。最后引領學生回顧學習的過程，知道建立等量模型的步驟。通過這樣逐步的深化，等量模型在學生的頭腦中逐漸清晰起來。】

三、尋找特殊情況，逐漸建立方程模型

【教學片段3】

師：通過剛才的研究不難發現，生活中也存在著很多的等量關系，這些等量關系都可以用——

生（齊）：等式來表示。

師：它們雖然都是等式，但有什么不同嗎？

生1：有的有字母，有的沒有字母。

師（指著不含未知數的等式50+50=100、23×6=138）：這些等式表示的是已知數之間的等量關系。

師（指著含未知數的等式x+30=50+20、7y=2.8）：這些表示的是什么呢？

（學生先獨立思考，然后小組討論）

生2：不知道的和已經知道的之間的關系。

生3：已經知道的和不知道之間的等量關系。

師：未知數用什么來表示？

生4：字母。

師：這種表示已知數和未知數等量關系的式子就是方程。

師：方程是依據什么寫出來的？

生5：等量關系。

師：像這樣，依據已知數和未知數之間的等量關系建立起來的含有未知數的等式叫作方程。

……

師：請回顧得出方程的過程。

生6：首先要找出等量關系，然后用字母表示未知數，再寫出等式，也就是方程。

師：回答得真精辟！同學們已經初步認識了方程，那么方程和等式有什么聯系和區別？

生7：方程是等式，是含有未知數的等式。

生8：方程是等式的一部分。

師：如果用一個圈表示所有的等式，方程用另一個圈表示，還記得我們學過的韋恩圖嗎？想一想，應該怎么畫？

（教師根據學生的回答畫出韋恩圖）

【思考：陳重穆教授認為：“有些名詞的定義作用并不大，要緊的是對其實質的理解與領悟。”用“含有未知數的等式”來定義方程容易流于表面，而忽略其本質。在這個教學環節中讓學生觀察、對比這些等式，發現其不同，雖然都是等式，都表示等量關系，但是方程是依據已知數和未知數之間的等量關系建立起來的含有未知數的等式，這也是方程特殊之處，然后讓學生回顧得出方程概念的全過程，思考方程和等式的關系。經過這樣的對比、分析、回顧和反思，方程的模型逐漸在學生腦中建立起來。學生對于方程的本質也有了一個比較清晰的認識。】

史寧中教授提出：“在數學活動中，讓學生了解數學模型，特別是了解數學模型的構建過程是非常重要的。”而在這節課中，讓學生從認識相等關系開始，再接著建立等量模型，繼而建立方程模型，理解其本質，就把逐層抽象、逐步建立模型思想體現得淋漓盡致。

（責編 金 鈴）