巧用單位“1”構建模型，解決分數（百分數）問題

董開福

[摘 要]運用口訣判斷出問題中表示單位“1”的量，然后根據單位“1”構建兩大類（4小類）解題模型，簡單、快捷地解決分數（百分數）問題中的“倍數關系”問題。

[關鍵詞]單位“1”;解題模型;分數（百分數）;倍數關系

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）23-0050-02

在數學學習過程中，單位“1”是貫穿小學、中學，乃至更高學段的一種思考方法和解題模式。因此，無論在哪一個學段的學習中，只要能夠適時巧用單位“1”，就可以在數學學習中取得事半功倍的效果。在基礎教育階段，分數（百分數）的應用是一個較為重要的知識模塊，解決有關這方面的問題，主要運用“線段示意圖法”或“等量關系式法”。這兩類解題方法可以讓學生直觀地了解題目中相關聯量之間的關系，進而厘清解題思路。但是，對于很大一部分分數問題來說，采用單位“1”的解題方法則要簡單、明了得多。那么，如何運用單位“1”的解題方法來解決分數（百分數）應用題呢？主要通過以下兩個步驟。

一、確定單位“1”

運用單位“1”的方法解決問題，確定單位“1”的量是關鍵。通常可以用以下兩種方法來確定單位“1”。

1.采用口訣：“的”前，“是”后，“比”、“占”后

對于一些條件比較直觀明顯的應用題，可以直接找出題目中相關聯的量之間的關系句“X的……是Y”或“X是（比、占）Y的……”，再運用口訣“‘的前，‘是后，‘比‘占后”來確定單位“1”。具體可以這樣來理解，先找出題目中相關聯的兩個量，查看對它們之間關系的描述詞中是否出現“的”“是”“比”“占”等，找出如“松樹棵數的[23]是桃樹”“紅花是黃花的[15]”“鉛筆比鋼筆多[34]”“女生占全班人數的[35]”等句型，再利用口訣，就可以很容易地找出各個句子中的單位“1”：“的”前面的“松樹棵數”、“是”后面的“黃花的數量 ”、“比”后面的“鋼筆的數量”、“占”后面的“全班人數”。當然，有時在題目中出現的詞語并不一定是上面這些，還有可能是“等于”“相當于”等，在這種情況下，可以根據近義詞法，找出可以替代它們的“的”或者“是”，然后確定單位“1”。

2.擴句、縮句法

通常情況下，利用口訣很容易找出分數應用題中的單位“1”，但有時候，題目中相關聯量之間的關系描述并不直觀，需要我們根據題目中上下文的內容，進行“擴句”或“縮句”。如“希望小學共有學生1200人，六年級學生占了[23”]，其中的“六年級學生占了[23]”可以通過擴句的方式描述成“六年級學生占了全校學生的[23]”。這樣，就能根據口訣較為容易地找出題目中的單位“1”。有時，題目中會出現比較多的描述性語句，那么，在這種情況下，可以通過縮句的方式，把關鍵性的詞語找出來，通過重新組合，排列成我們所需要的句式，再根據口訣找出其中的單位“1”。

二、構建解題模型

在確定單位“1”所表示的量之后，就可以根據單位“1”的量的具體情況，構建出下面兩大類（4小類）解題模型，解決相關問題。

1.單位“1”已知

單位“1”已知，指的是在題目中表示單位“1”的量所表示的具體數量已知。在單位“1”已知的情況下，可以構建出以下兩類解題模型：

（1）單位“1”已知，只用乘法

這是相對較為簡單的一種解題模型，主要針對結構為“X的…是Y”或“X是（比、占）Y的……”的題目，解題模型為：用單位“1”的量所表示的具體數值乘以兩個量之間的分率。如“在高速公路上，最高限速為120千米/小時，最低限速是最高限速的[12]，最低限速是多少？”根據單位“1”的判定方法，可以判斷出“最高限速”是單位“1”，其所代表是數值是“120千米/小時”，用乘法的解題模型，列出算式并計算：120×[12=60]（千米/小時），算出最低限速是每小時60千米。

（2）單位“1”已知，用乘法，且多加少減

這是對上一種解題模式的強化，主要針對結構為“X比（占）Y多（少）幾分之幾”的題目，解題模型為：（1[±]分率）×單位“1”的量代表的數值。如植樹節，三年級種了18棵樹，四年級種的比三年級種的多[12]，四年級種了多少棵？根據單位“1”的判定方法，可以確定三年級種樹棵數為單位“1”，其所表示的具體數量是18棵，且又有“多[12]”，因此，根據解題模型，可以列出算式（1+[12]）×18=27（棵），從而得出了四年級種樹的棵數是27棵。如果題目中的條件變為“四年級種的比三年級種的少[12]”，那么，對應的算式就應該為（1- [12]）×18=9（棵）。

2.單位“1”未知

單位“1”未知，指的是在題目中表示單位“1”的量所表示的具體數值是未知的，需要通過計算才能得知。在單位“1”未知的情況下，可以構建出以下兩種解題模型：

（1）單位“1”未知，只用除法

這也是相對較為簡單的一種解題模型，主要針對結構為“X的……是Y”或“X是（比、占）Y的……”的題目，解題模型為：用與單位“1”相關聯的量所表示的具體數值除以兩個量之間的分率。如“在高速公路上，最低限速為60千米/小時，最低限速是最高限速的1/2，最高限速是多少？”根據單位“1”的判定方法，可以判斷出“最高限速”是單位“1”，其所代表的數值需要進一步計算，也就是未知的，屬于單位“1”未知的類型。根據單位“1”未知的除法解題模型，列出算式并計算：60÷[12]=120（千米/小時）。

（2）單位“1”未知，用除法，且多加少減

這是對上一種解題模式的延伸，主要針對結構為“X比（占）Y多（少）幾分之幾”的題目中，單位“1”未知的情形，解題模型為：與單位“1”相關聯的量的數值÷（1±分率）=單位“1”的量代表的數值。如植樹節，四年級種了27棵樹，四年級種的比三年級種的多[12]，三年級種樹多少棵？根據單位“1”的判定方法，可以確定三年級種樹棵數為單位“1”，其所表示的具體數量是未知的，且又有“多[12]”，因此，根據解題模型，可以列出算式27÷（1+[12]）=18（棵），從而得出三年級種樹的棵數是18棵。如果題目中的條件變為“四年級種的比三年級種的少[12]”，那么，對應的算式就應該為27÷（1- [12]）=54（棵）。

一般而言，在經過以上兩步后，就解決了一些符合條件的分數問題，相對“線段示意圖法”或“等量關系式法”來說，解題過程簡化了許多。運用單位“1”構建解題模型的方法解決問題也存在局限性與不足，那就是運用這種方法解題的對象只能是分數（百分數）問題中的“倍數關系”類的問題，其他的如“工程問題”“行程問題”等類型的題目，需要采用別的技巧和方法來解決。此外，運用單位“1”構建解題模型的方法，它也不是獨立存在的，它是對用“線段示意圖法”或“等量關系式法”解決分數（百分數）中“倍數關系”問題的一種經驗提升，是在兩種方法的基礎上總結出來的。

總之，數學學習是一個不斷探索和積累的過程。學生只有在持之以恒的學習中，才能慢慢積累一定的解題經驗和技巧，為今后的學習夯實基礎。

（責編 羅 艷）