基于改進灰色關聯分析的雷達費用驅動因子選取方法

張長聰，劉慶華，劉 根，方其慶，夏 亮

(1.空軍預警學院， 武漢 430019； 2. 73127部隊， 福州 350500)

影響雷達裝備全壽命周期費用的因素很多，主要包括性能、物理、時間和計劃等因素。能夠找到對雷達裝備費用影響顯著的費用驅動因子，就可以對顯著相關因素進行權衡與控制，也可以依據選取的費用驅動因子，估算雷達裝備的研制、采購等費用，對裝備選型和采購決策具有重要的指導意義[1-3]。

數據信息少和影響因素多是雷達裝備費用預測中的兩個難點[4]，而灰色關聯分析因其具有數據信息利用率高、計算簡便等特點，適合應用于具有小樣本、貧信息的雷達裝備費用驅動因子的篩選。文獻[5-7]中均是基于灰色關聯分析的變量或指標的篩選，并未對灰色關聯分析存在的不足進行改進；文獻[8]中通過引入分辨系數，給出了改進廣義灰色關聯度的表述形式，并證明了分辨系數與關聯序列的獨立性；文獻[9]中在傳統灰色關聯分析的基礎上，引入熵權理論對灰色關聯系數進行賦值，有效克服了專家賦權和平均加權法的缺陷;文獻[10]中通過引入模糊數學中的貼近度原理提出了改進的模糊灰色關聯分析模型。運用傳統灰色關聯分析模型對雷達裝備費用驅動因子進行選取過程中，存在數據量綱不同、分辨系數取值不科學、平均關聯度以及未考慮局部波動性等問題，而以上方法均是針對傳統灰色關聯分析在實際應用中存在的部分問題而做出的相應改進，未對傳統灰色關聯分析模型本身進行全面的分析與研究，難以保證費用驅動因子篩選結果的準確性和可靠性。

針對這種情況，本研究梳理了傳統灰色關聯分析模型在變量選取中存在的不足，提出改進的灰色關聯分析模型。首先對數據進行無量綱化處理，然后通過科學判定分辨數、熵權法確定權重以及引入歐幾里得距離貼近度原理，建立改進灰色關聯分析模型，最后結合實例進行對比分析。

1 傳統灰色關聯分析及其存在的不足

1.1 傳統灰色關聯分析

灰色關聯分析是灰色系統理論中重要的分支，是分析灰色系統中影響因素之間相互關聯程度的一種度量方法，其基本思想是根據相關序列曲線的相似程度來判斷序列間的關聯性。在雷達裝備費用驅動因子的選取過程中，灰色關聯分析過程實質上是比較數據樣本中各型雷達裝備費用所構成曲線與各性能參數數據序列所構成曲線相互間的擬合程度，曲線擬合程度越高，關聯程度也就越大，反之關聯度越小[11]。

設原始數據序列矩陣為X,則有：

系統特征序列：

X0={x0(1),x0(2),…,x0(n)}

相關因素序列：

Xi={xi(1),xi(2),…,xi(n)}，i=1,2,…,m

設Δi(k)為X0與Xi對應分量之差的絕對值，則有：

Δi(k)=|x0(k)-xi(k)|，k=1,2,…,n

(1)

從而可得到數據序列X0與Xi在k點的灰色關聯系數為：

(2)

式中：ρ(0<ρ<1)為關聯分辨系數，理論研究表明[12]，當ρ≤0.546 3時，灰色關聯分析模型的分辨率較好。

于是可計算系統特征序列X0與第i種相關因素序列Xi的平均關聯度為：

(3)

若灰色關聯度大于或等于0.5，則可認為系統特征序列與相應相關因素序列存在關聯性。

1.2 傳統灰色關聯分析存在的不足

1) 傳統方法在進行關聯度分析時，系統特征序列與各相關因素序列的意義、量綱不同，直接對其進行關聯分析，會對分析結果產生干擾和影響。

2) 由式(2)可知，分辨系數ρ值的大小會對關聯度的大小產生影響，從而影響變量的排序。即使兩個相關序列曲線的形狀幾近相同，也有可能因其位置不同而導致關聯度不同，進而引起誤差。

3) 由式(3)可知，傳統灰色關聯度沒有考慮到不同觀測序列中的各個因子對關聯空間影響程度的差異性，因而準確性也無法得到保證。變化因素對系統整體的影響有輕有重,若關聯分析時沒有全面考慮其重要程度，則可能會產生錯誤的結論。

2 改進灰色關聯分析模型

針對傳統灰色關聯分析模型在進行影響因素篩選時存在的局限性，結合雷達裝備費用驅動因子選取的實際情況，為使結果更加符合實際，提高費用預測精度，從數據無量綱化處理、分辨系數確定、熵權法確定權重和引入歐幾里得貼近度等方面對傳統灰色關聯模型做出改進。

2.1 數據無量綱化處理

雷達裝備全壽命周期費用各影響因素不僅在量綱上不同，而且在數量級上也存在差異，為減小隨機因素對分析結果產生干擾和影響，需對原始數據作進一步處理。由于雷達費用相關因素序列之間不存在數據的運算關系，因而采用具有運算關系的數據處理方法顯然不合適。因此，本文選用初值化算子對原始相關因素序列進行無量綱化處理。

設原始數據無量綱化處理后的數據序列矩陣為X′,則有

系統特征序列：

相關因素序列：

對原始數據序列作無量綱化處理:

(4)

(5)

式中：k=1,2,…,n，i=1,2,…,m。

對式(1)作變形可得：

(6)

2.2 確定分辨系數

在費用驅動因子選取過程中，分辨系數ρ的取值會對選取結果產生一定的影響。由式(3)可以看出，ρ的大小會直接影響到maxΔi(k)對ξi(k)的貢獻度。當maxΔi(k)遠大于Δi(k)時，ξi(k)的計算值接近于1，計算出來的關聯度相差也就很小，此時應削弱maxΔi(k)的影響，減小ρ的取值；當maxΔi(k)與Δi(k)相關不大時，若ρ取值較小，則計算出來的關聯度均很小且難以區分，此時應增強maxΔi(k)的影響，增大ρ的取值。因此應根據實際應用情況，確定分辨系數ρ的取值范圍[13]。

設ΔT為所有差值絕對值的平均值，則有

(7)

2.3 熵權法確定權重

在雷達裝備費用驅動因子篩選過程中， 不同雷達裝備在影響因素中所占的比重不同， 必須對不同的雷達裝備賦予相應的權重，該權重反映了各雷達裝備在收集的所有雷達裝備中的重要程度。合理分配權重是準確選取費用驅動因子的基礎，權重的確定方法主要分為主觀賦權和客觀賦權。主觀賦權由于帶有較大的主觀性和隨意性，且易受限于專家的知識和經驗的完備性；客觀賦權則是依據數據之間存在的客觀關系來確定權重，其中應用最為廣泛的客觀賦權法就是熵權法[14]。 因此，本文采用該方法確定各型雷達裝備在影響因素評語下的權重，從而解決傳統灰色關聯分析模型存在平均關聯度的問題。

設有n種雷達裝備J1,J2，…,Jn，每種雷達裝備有m種影響因素，形成m×n階數據矩陣R=(rik)m×n：

(8)

式中，rik為第k種雷達裝備在第i種影響因素下的數值，i=1,2,…,m，k=1,2,…,n。

熵權法確定權重的求解過程如下：

步驟1計算第i種影響因素在第k種雷達裝備下的比重pik：

(9)

步驟2計算第k種雷達裝備的熵值ek：

(10)

步驟3計算第k種雷達裝備的熵權值wk：

(11)

經過上述計算，可得到各型雷達裝備在影響因素評語下的權重W=[w1,w2,…,wn]。結合熵權法確定權重，將式(3)作變形可得到灰色加權關聯度為：

(12)

2.4 引入歐幾里得貼近度

歐幾里得距離(Euclidean Distance，ED)，是計算空間中兩點距離的常用方法[15]。針對傳統灰色關聯分析存在的問題，從各點關聯系數相對于平均關聯系數的波動情況入手，引入歐幾里得貼近度原理，對灰色關聯分析加以優化，結合熵權法確定權重，提出改進灰色關聯分析模型。

灰色歐幾里得關聯度為：

(13)

考慮到熵權法確定權重，對式(13)作變形可得灰色歐幾里得加權關聯度：

(14)

設εi(k)為關聯系數ξi(k)與加權關聯度γi的差值，即：

εi(k)=ξi(k)-γi

(15)

則有：

ξi(k)=εi(k)+γi

(16)

將式(16)代入式(14)可得到改進灰色關聯分析模型的關聯度：

(17)

2.5 改進灰色模型的計算步驟

作為灰色系統的主要內容之一，灰色關聯分析因其操作容易、計算簡便等特點，在變量選取中得到廣泛應用。灰色關聯度表征了不同數據序列間的誤差程度，而灰色關聯分析則是通過各相關因素序列與費用序列的關聯度大小來進行費用驅動因子的選取。本研究在傳統灰色關聯分析的基礎上對數據進行無量綱化處理，確定分辨系數，并引入熵權法和歐幾里得貼近度，得到了改進灰色關聯分析模型，其具體計算步驟如下:

步驟1 數據處理

步驟2 確定分辨系數

在數據處理的基礎上，分別利用式(6)、式(7)求出Δi(k)和ΔT，并通過計算分析進一步得到maxΔi(k)、minΔi(k)和δ。依據求得的δ值的大小確定ρ的取值范圍，進而確定ρ的取值。

步驟3 計算權重

在數據處理的基礎上，利用n種雷達裝備的m種影響因素建立數據矩陣R=(rik)m×n；按照熵權法的求解過程求得各雷達裝備在影響因素下的權重wk。

步驟4 計算灰色關聯度

改進灰色關聯分析模型的計算流程圖如圖1所示。

3 實例計算

為驗證改進灰色關聯分析模型的可行性，本研究收集了部分在役對空情報雷達的購置費及其戰技術性能指標，結合德爾菲法進行4輪專家意見征詢，從中選取6部雷達裝備(記為J1～J6)的購置費用及其7個驅動因子：探測維度、最大探測距離、最大探測高度、距離分辨率、方位分辨率、點跡處理容量和航跡處理容量，分別記為X0、X1～X7，建立原始數據矩陣X。按照本文提出的改進灰色關聯模型的計算步驟，對雷達裝備費用驅動因子進行分析，得到影響雷達裝備費用的顯著驅動因子。

步驟1 數據處理

首先采用專家打分的德爾菲法對原始數據序列中的定性數據定量化，通過10分制評分規則，對定性數據序列探測維度X1中的兩坐標和三坐標分別打7分、9分，使其定量化。然后采用初值化算子對經過定量化處理后的原始數據序列進行無量綱化處理，經過處理后的數據見表1所示。

圖1 改進灰色關聯模型計算流程框圖

雷達型號J1J2J3J4J5J6X01.00 0.40 1.04 0.74 1.97 2.77 X11.00 0.78 0.78 1.00 1.00 1.00 X21.00 0.42 0.63 0.67 0.73 0.69 X31.00 0.53 0.53 0.83 0.83 0.83 X41.00 3.33 0.67 0.50 0.05 0.33 X51.00 0.41 0.35 0.11 0.24 0.38 X61.00 0.05 1.00 0.02 1.00 0.20 X71.00 0.04 0.60 0.07 0.50 0.10

步驟2 確定分辨系數

在數據無量綱化處理的基礎上，利用式(6)、式(7)，分別求得ΔT=0.83，Δi(k)的結果如表2所示。通過表2分析可知：maxΔi(k)=2.93、minΔi(k)=0，從而進一步可求得δ=0.28<1/3；依據ρ值的判斷條件，可知ρ的取值范圍為：0.28<ρ<0.42，因此ρ值取0.3。

步驟3 計算權重

在數據無量綱化處理的基礎上，建立數據評價矩陣R=(rik)m×n；利用熵權法計算各型雷達裝備在費用影響因素評語下的權重，依據式(9)～式(11)，求得各型雷達裝備權重W=(0.182 1,0.156 9,0.206 4,0.076 1,0.224 4,0.154 1)。

表2 雷達費用驅動因子差值序列

步驟4 計算灰色關聯度

表3 改進灰色關聯模型的關聯系數

4 對比分析

為了突出本文模型的優越性，將其與傳統灰色關聯模型以及考慮分辨系數后的傳統灰色關聯模型和考慮權重后的灰色加權關聯模型進行比較。從表4可以看出，在分別考慮分辨系數、權重以及引入歐幾里得貼近度之后，雷達裝備費用驅動因子的關聯度均發生了不同程度的變化。為了更好地說明各模型之間得出結果的差異性，結合表4，本研究進一步給出了灰色關聯分析模型改進前后的關聯度曲線，如圖2所示。

綜合分析表4、圖2可知，首先ρ的取值會影響到費用驅動因子關聯度的大小，但對驅動因子的排序并未產生變化，ρ值越小，分辨率越高，求得的關聯系數和關聯度也就越小，反之越高。事實上，經驗證當ρ的取值與傳統灰色關聯模型的ρ值偏差較大時，會對驅動因子的排序產生影響，驗證過程不再贅述。其次，當ρ值一定時，引入權重，對關聯度大小影響不大，但驅動因子的排序卻產生了變化，從而對驅動因子的篩選結果產生影響，因此在進行關聯分析時須加以考慮各影響因素對系統整體的影響程度。最后在考慮分辨系數和權重的基礎上，引入歐幾里得貼近度原理，從結果分析可以看出，引入歐幾里得貼近度后，不僅對關聯度大小產生影響，而且也使驅動因子的排序產生了變化，同樣在進行灰色關聯分析時須對其進行考慮。

表4 灰色關聯分析模型的關聯度

圖2 灰色關聯分析模型的關聯度曲線

為了體現本文方法在進行雷達費用驅動因子篩選的合理性和適用性，取表4中傳統灰色關聯分析模型和本文分析模型關聯度較大的前5個驅動因子，分別構建購置費-性能參數多元線性回歸模型并對6種型號對空情報雷達購置費進行預測，預測結果和相對誤差如表5。從結果可知，改進前后的平均相對誤差分別為：10.29%、7.67%，改進后的灰色關聯分析模型平均相對誤差比傳統灰色關聯分析模型提高25.44%。結合表5預測結果，進一步給出了基于兩種費用驅動因子選取方法進行線性回歸分析的實際購置費與預測值曲線，如圖3所示。從圖3可以看出，基于改進后的灰色關聯分析模型篩選出的費用驅動因子進行費用預測的預測值曲線與實際數據曲線擬合度更高，更為接近實際購置費，結果更加符合實際情況。綜合以上分析，本文模型相比傳統灰色關聯分析模型在雷達裝備費用驅動因子選取中更具合理性和適用性，從而提高雷達裝備費用預測精度。

表5 線性回歸模型計算結果

圖3 實際值與預測值曲線

綜上所述，相較傳統灰色關聯分析模型，改進后的灰色關聯分析模型在進行雷達裝備費用驅動因子篩選時結果更具準確性和可靠性，評價精度較高。顯然，該方法同樣適用于判定雷達裝備費用與特征參數或其他物理量之間的關聯程度，刪減影響因素，從而簡化計算、提高預測精度。

5 結論

針對傳統灰色關聯分析模型在雷達裝備費用驅動因子選取過程中存在的局限性，在研究傳統灰色關聯分析模型的基礎上，通過數據無量綱化處理、科學判定分辨系數、熵權法確定權重和引入歐幾里得貼近度，提出了改進灰色關聯分析模型。通過實例計算和模型對比分析，并結合多元線性回歸模型對灰色關聯分析模型改進前后的驅動因子篩選結果進一步驗證。結果表明，該方法能夠有效解決傳統灰色關聯分析模型的不足，提高費用預測精度，分析結果更具合理性和適用性，對裝備部門進行裝備選型和采購決策具有重要的指導意義。