例談含參一元二次不等式的解法

吳高峰

摘 要 含參一元二次不等式的求解在高中階段是非常重要的內容，在很多函數討論題目中通常都需要轉化為二次不等式求解。在導函數題目中更為常見。而解含參數的一元二次不等式均需分類討論，對此文章進行了分析討論。

關鍵詞 一元二次不等式;函數討論;解法

中圖分類號：G622 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2019）05-0188-01

含參一元二次不等式的求解在高中階段是非常重要的內容，在很多函數討論題目中通常都需要轉化為二次不等式求解。在導函數題目中更為常見。而解含參數的一元二次不等式，通常情況下，均需分類討論，那么如何討論呢？

對含參一元二次不等式通常分兩大類：二次項系數含參和二次項系數不含參，每一類別中可以分兩類。所以通?？梢苑炙念惽蠼?。

第一類：二次項系數含參且不能因式分解（指能用十字相乘法分解因式）

討論方法：先討論二次項系數，然后討論，通常要綜合和給出參數范圍。

例1：解不等式：

分析：本題中由于的系數大于大小不確定，也是不可以因式分解的。。時，時，時。所以在討論的時候應該以，，，，來討論.

解：當時，，解集為R

當時，，解集為

當時，，解集為，即

當時，不等式為，解集為

當時，，解集為，即

練習1：解不等式

第二類：二次項系數含參且能因式分解（指能用十字相乘法分解因式）

討論方法：先討論二次項系數，然后討論根的大小，通常要綜合和根的大小來給出參數范圍。

例2：解不等式：

分析：本題中由于的系數大于大小不確定，但能因式分解。即，兩根分別是：和，當或時，當時.當時，。

解：原不等式等價于：

當時，，解集為

當時，不等式為，解集為

當時，，解集為

當時，，解集為

當時，，解集為

練習2：解不等式

第三類：二次項系數不含參且不能因式分解（指能用十字相乘法分解因式）

討論方法：討論

例3：解不等式：

分析：本題中由于的系數確定，但不能因式分解。，時，時，時

解：

當或時，，解集為

當時，不等式為

當時，不等式為，

練習3：解不等式

第四類：二次項系數不含參且能因式分解（指能用十字相乘法分解因式）

討論方法：討論根的大小即可

例4：解不等式

分析：此不等式可以分解為：，故對應的方程必有兩解。本題

只需討論兩根的大小即可。

解：

原不等式可化為：，令，可得：

∴當或時，，故原不等式的解集為;

當或，，可得其解集為

當或時，，解集為

練習4：解不等式

上面給出了含參二次不等式的一般解法，在實際解題中，要結合二次函數圖像來練習。這樣才能真正體會每一類別的異同點，做起題來才能做到游刃有余。