加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法性能分析

鄭 棋，肖曼琳，施華杰，陳興杰

(上海工程技術(shù)大學(xué) 城市軌道交通學(xué)院，上海 201600)

0 引言

信源波達(dá)方向估計是陣列信號處理領(lǐng)域里的一個重要分支，基于信號子空間的超分辨算法以其高精度的角度估計性能成為研究重點，典型代表是TLS-ESPRIT算法[1-4]。但在相干信源環(huán)境下，因信號子空間和噪聲子空間不滿足正交性，奇異的信源協(xié)方差矩陣的秩小于信號源數(shù)，使得該算法失效[5]。

為了解決TLS-ESPRIT算法不能處理相干信源定的問題，文獻(xiàn)[6-8]提出了空間平滑TLS-ESPRIT算法，把ESPRIT算法[9-12]和空間平滑算法[13-16]相結(jié)合，通過構(gòu)造前后向平移旋轉(zhuǎn)矩陣，充分利用每個陣元構(gòu)造出2個子陣列，擴大陣列的有效孔徑，提高了對相干信源的估計精度[17]。為了進(jìn)一步提高TLS-ESPRIT算法對相干信源波達(dá)方向的估計性能，提出了一種加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法，直接利用陣列的接收數(shù)據(jù)構(gòu)造加權(quán)矩陣，并利用子陣間的協(xié)方差矩陣的特殊關(guān)系，對加權(quán)矩陣進(jìn)行空間平滑。通過仿真實驗，證明了新算法的有效性。

1 信號模型

假設(shè)均勻線陣的陣元數(shù)為M，陣元間隔為d，有k個窄帶信號入射到天線陣列，入射角度為θk(k=1,2,…,K)，以第一個陣元為參考陣，則信號入射到天線的示意圖如圖1所示。

圖1 天線陣列及來波方向示意圖

則信號在第m個陣元上的接收數(shù)據(jù)為：

(1)

式中，am(θk)為第m個陣元上第k個信號的響應(yīng)矢量，sk(t)為第k個信號的復(fù)包絡(luò)，nm(t)為陣元m在t時刻的噪聲值。

則線陣所接收的輸入信號的向量形式為：

As(t)+n(t)。

(2)

定義陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為：

Rx=E[X(t)XH(t)]=AE[S(t)SH(t)]AH+

E[N(t)NH(t)]=ARSAH+RN，

(3)

式中，RS，RN分別表示信號的協(xié)方差矩陣和噪聲的協(xié)方差矩陣。

在陣列接收的信號中，信號之間的相關(guān)性用相關(guān)系數(shù)表示為：

(4)

式中，si(t)，sk(t)為2個信號源。根據(jù)相關(guān)系數(shù)pik，對不同信號的關(guān)系可以定義為：

(5)

2 常規(guī)TLS-ESPRIT算法

假設(shè)均勻線陣包含M個陣元偶，每個陣元偶包含2個響應(yīng)特性完全相同的陣元，且這2個陣元之間相差位移矢量Δ。把陣列分成2個平移量為Δ的子陣Zx,Zy,2個子陣列相對應(yīng)的陣元具有相同的平移量，故2個子陣列相差一個旋轉(zhuǎn)矩陣Φ。有N個信源入射到陣列，則子陣Zx,Zy的接收數(shù)據(jù)為：

Zx=[a(θ1)a(θ2)…a(θN)]S+N1，

(6)

Zy=[a(θ1)ejφ1a(θ2)ejφ2…a(θN)ejφN]S+N2=AΦS+N2，

(7)

式中，Φ=diag[ejφ1,ejφ2,…,ejφN]，N1，N2為噪聲矢量，S為信源，A為陣列的導(dǎo)向矢量。

定義整個陣列的接收向量為Z，用子陣列接收向量表示，則Z的表達(dá)式為：

(8)

(9)

式中，Rz為信號的自相關(guān)矩陣，σ2為噪聲方差。

對R進(jìn)行特征分解，取R的特征值中N個最大特征值構(gòu)成信號子空間，并分成Ex，Ey兩部分，則存在一個唯一的、非奇異的N×N維滿秩矩陣T，使得Ex，Ey滿足如下關(guān)系：

(10)

利用Ex,Ey計算下列特征值：

(11)

式中，Λ為信號子空間，將E分解成N×N維的子矩陣，并構(gòu)造Ψ，計算Ψ的特征值λk(k=1,2,…,N)：

(12)

(13)

利用所求的特征值估計信源方向θn(n=1,2,…,N):

θn=arcsin{c·angle(λk)/(ω0d)}。

(14)

當(dāng)信源相干時，E不是滿秩矩陣，式(13)求解的特征值小于信源個數(shù)，這是常規(guī)TLS-ESPRIT算法不能解相干的原因，需要進(jìn)行相干處理。

3 空間平滑TLS-ESPRIT算法

文獻(xiàn)[6]為了使TLS-ESPRIT算法也能處理相干信號，引入了空間平滑算法[3]，如圖2所示。把Zx,Zy分成相互交錯的p個小子陣，每個小子陣的陣元數(shù)為m，滿足M=p+m+1。

圖2 空間平滑算法原理圖

(15)

式中，Am為第m個子陣的陣列方向矢量，F(xiàn)i=[0m×(i-1)|Im|0m×(M-m-i+1)]，i=1,2,…,p，S為信源，N1為噪聲矢量。

(16)

式中，F(xiàn)l=[0m×(l-1)|Im|0m×(M-m-l+1)],i=1,2,…,p，Rs為信源的自相關(guān)矩陣，σ2為噪聲方差。

(17)

(18)

(19)

4 加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法

為了進(jìn)一步提高算法的角度估計性能，提出了加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法，算法的實質(zhì)是對TLS-ESPRIT算法的協(xié)方差矩陣R進(jìn)行2次平滑處理，利用第1次對TLS-ESPRIT算法協(xié)方差矩陣R的平滑處理得到加權(quán)矩陣Wz，再利用Wz對第2次平滑處理得到的協(xié)方差矩陣進(jìn)行加權(quán)。

① 分割子陣,分割后小子陣的陣元數(shù)目為p，則小子陣數(shù)為L=M-p+1，取L,p>m。采用前后向空間平滑算法得協(xié)方差矩陣：

(20)

式中，F(xiàn)k=[0p×(k-1)|Ip|0p×(N-k-p+1)]，J為與R同維數(shù)的置換矩陣，(·)*表示共軛，可知Wz為p×p維對角矩陣。

② 分割子陣，保證所取小子陣的陣元數(shù)L，小子陣數(shù)p，滿足p+L+1=M。利用所求的Wz對前后向陣列協(xié)方差矩陣中p2個自、互相關(guān)矩陣加權(quán)，得到新的協(xié)方差矩陣：

(21)

③ 利用常規(guī)TLS-ESPRIT算法，式(8)～式(14)對新的協(xié)方差矩陣Rwz進(jìn)行相干信號源的DOA估計。

加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法，相比空間平滑TLS-ESPRIT算法，更加充分地利用了子陣輸出的自相關(guān)和互相關(guān)信息，提高了信號子空間與噪聲子空間的正交性，對相干信源具有更好的角度估計性能。

5 仿真實驗結(jié)果

實驗1：采用陣元間距為半波長d=λ/2，快拍數(shù)n=1 000，信號頻率fc=300 MHz，總陣元數(shù)M=16的均勻線陣。第1次空間平滑小子陣的陣元數(shù)p1=5，第2次空間平滑小子陣的陣元數(shù)p2=12。假設(shè)相干信號源入射角度為0°,30°,40°，50°,60°，對加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法(WFB-ESPRIT)和空間平滑TLS-ESPRIT算法(FB-ESPRIT)在不同信噪比下分別進(jìn)行了10 000次Monte Carlo實驗。

WFB-ESPRIT算法與FB-ESPRIT算法在不同SNR時的均方根誤差如圖3所示。由圖3可知，隨著SNR增大，2種算法的角度估計方差都在降低。當(dāng)SNR高于7 dB時，2種算法均對相干信源方向有較準(zhǔn)確的估計，但在同樣的信噪比下，WFB-ESPRIT算法明顯比FB-ESPRIT算法的角度誤差小，表明WFB-ESPRIT算法在相同SNR下優(yōu)于FB-ESPRIT算法。

圖3 不同信噪比方位角估計誤差比較

實驗采用陣元間距為半波長d=λ/2，SNR=10 dB，信號頻率fc=300 MHz，總陣元數(shù)M=16的均勻線陣。第1次空間平滑小子陣的陣元數(shù)p1=5，第2次空間平滑小子陣的陣元數(shù)p2=12。并假設(shè)相干信號源入射角度為0°,30°,40°，50°,60°，對WFB-ESPRIT算法和FB-ESPRIT算法在不同快拍數(shù)下分別進(jìn)行了10 000次Monte Carlo實驗。

WFB-ESPRIT算法與FB-ESPRIT算法在不同快拍數(shù)下的均方根誤差如圖4所示。由圖4可知，在多個相干信源環(huán)境下，可以看出2種算法均能對相干信源方向有較準(zhǔn)確的估計，但同樣的快拍數(shù)下WFB-ESPRIT算法明顯比FB-ESPRIT算法的角度誤差小，表明WFB-ESPRIT算法在相同快拍數(shù)下優(yōu)于FB-ESPRIT算法。

圖4 不同快拍數(shù)方位角估計誤差比較

6 結(jié)束語

針對常規(guī)TLS-ESPRIT算法不能處理相干信號問題，提出了一種加權(quán)空間平滑TLS-ESPRIT算法。該算法通過對子陣的巧妙劃分，對空間平滑算法進(jìn)行嵌套使用，充分利用了陣列輸出的自相關(guān)和互相關(guān)信息，提高了信號子空間與噪聲子空間的正交性，使其對相干信源的處理具有明顯的有效性。實驗結(jié)果表明，在相同信噪比和快拍數(shù)下，WFB-ESPRIT算法均優(yōu)于FB-ESPRIT算法，表明了新算法的有效性。