例說均值不等式的應(yīng)用

遼寧省盤錦市遼東灣實(shí)驗高級中學(xué) 趙盼盼

一、主要的均值不等式

根據(jù)均值不等式，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值；當(dāng)兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值。在應(yīng)用均值不等式時，要注意不等式成立的條件：“一正、二定、三相等”，三個條件缺一不可。

二、方法

1﹒配湊

∴當(dāng)x=1 時，f（x）的最大值是1。

總結(jié)：在利用均值不等式時，一定要注意不等式成立的條件“一正、二定、三相等”，三個條件缺一不可。在求最值時，常通過添加常數(shù)或拆項等方式進(jìn)行構(gòu)造，使其和或其乘積為定值。

2﹒分離系數(shù)

分析：本題中給出的函數(shù)是分式形式，不能直接利用均值不等式，觀察結(jié)構(gòu)后試著把其配方成含“x-1”的形式，再分離成幾項和的形式，再利用均值不等式。

總結(jié)：這道題中，根據(jù)分母的代數(shù)式，將分子變成含有分母的代數(shù)式，從而分離出常數(shù)，再利用均值不等式。

3﹒換元

在上一個例題中，可對分母進(jìn)行換元，把分子寫為分母的函數(shù)形式，進(jìn)而拆成幾項和的形式，再應(yīng)用均值不等式。

總結(jié)：求分式函數(shù)式的最值時，一般將分子配湊成含有分母的代數(shù)式，或?qū)⒎帜笓Q元后，將分式化為幾項和的形式，再利用均值不等式求最值。

4﹒“1”的代換

∴當(dāng)a=2，b=4 時，2a+b的最小值是8。

總結(jié)：在利用均值不等式時，常巧妙運(yùn)用“1”整體代換，達(dá)到簡化計算的目的。

5﹒單調(diào)性

總結(jié)：利用均值不等式求最值時，若等號成立時方程無解，則不能利用均值定理求最值，可以考慮利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求解。

應(yīng)用均值不等式時，一定要注意不等式成立的條件“一正、二定、三相等”。在解題時，掌握有效的變形技巧，可以創(chuàng)造性地應(yīng)用均值不等式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。