利用正余弦定理解決三角形中的邊角問題

杜鵬 萬麗娜 咸遠(yuǎn)峰

解決三角形時常用的思想方法是轉(zhuǎn)化思想，讀懂已知和所求然后考慮好是使用邊化角還是角化邊是解決問題的關(guān)鍵。

例1：在△ABC中內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知b=2a-2c[cosB]，

（1）求角C的大小。

（2）求[3cosA+sin（B+π3）]最大值。

（1）解法一分析：利用正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式可得C的大小。

解法二分析：利用余弦定理，將角化邊即可求出。

（2）利用兩角和的正弦公式展開，再利用輔助角公式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性即可求出。

解法一分析：利用正弦定理得出c邊，再利用余弦定理得出a、b邊之間的關(guān)系，而面積是與ab有關(guān)，這時利用我們所學(xué)重要不等式知識將邊的平方和轉(zhuǎn)化為邊的乘積關(guān)系，從而使問題得到解決。

解法二分析：利用正弦定理得出c邊，再將a、b邊轉(zhuǎn)化為角A、B之間的關(guān)系，又A+B=[2π3]，于是將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角的問題，利用兩角差的正弦公式展開后利用半角和二倍角公式將問題降次，然后將問題轉(zhuǎn)化為例1的第二問做法。

解法三分析：利用正弦定理得出c邊大小，數(shù)形結(jié)合將△ABC放到半徑為2的圓中，定弦AB對應(yīng)的圓周角C為[π3]，要使三角形面積最大，觀察點C在圓周上的運動情況即可求出。

由正弦定理：

在半徑為2的圓中弦AB=2[3]，∠C=[π3]，使

作者簡介

杜鵬（1980.07—），女，黑龍江省撫遠(yuǎn)市人，本科，研究方向：高中數(shù)學(xué)。