基于成分?jǐn)?shù)據(jù)作球坐標(biāo)變換的非負(fù)可變權(quán)系數(shù)的確定*

趙 勤， 王 力

(安徽大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，合肥 230601)

0 引 言

1969年，Bates和Granger[1]提出組合預(yù)測(cè)的概念，通過統(tǒng)計(jì)的方法,對(duì)單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果的有用信息進(jìn)行賦權(quán)并集成，從而提高預(yù)測(cè)精度。自這一概念被提出以來，在理論上和應(yīng)用上均成為近年來的研究熱點(diǎn)[2-8]。

本文遵循Bates和Granger[1]給出的結(jié)果預(yù)測(cè)這一組合預(yù)測(cè)概念，重點(diǎn)關(guān)注組合預(yù)測(cè)中各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果權(quán)重的確定。傳統(tǒng)的確定權(quán)重的方法甚多，就組合預(yù)測(cè)權(quán)重隨時(shí)間變化而言，可以分為不可變權(quán)重和可變權(quán)重；就某個(gè)準(zhǔn)則的優(yōu)劣程度來說，可以分為最優(yōu)化權(quán)重和非最優(yōu)化權(quán)重。非最優(yōu)權(quán)重的確定方法主要有算術(shù)平均方法、預(yù)測(cè)誤差平方和倒數(shù)方法、均方誤差倒數(shù)法、簡(jiǎn)單加權(quán)平均方法、二項(xiàng)式系數(shù)方法等。由于傳統(tǒng)的非最優(yōu)化組合預(yù)測(cè)方法沒有考慮到約束條件的限制，導(dǎo)致最終的組合預(yù)測(cè)效果不佳，于是，許多學(xué)者開始考慮構(gòu)建有約束條件的最優(yōu)化組合預(yù)測(cè)模型確定權(quán)系數(shù)的模型。例如，文獻(xiàn)[7]提出以組合預(yù)測(cè)誤差平方和為目標(biāo)函數(shù)的固定權(quán)重的確定，這樣的最優(yōu)化模型只能從誤差數(shù)值上反映預(yù)測(cè)方法的效果，存在一定的缺陷；同時(shí)固定權(quán)重組合預(yù)測(cè)模型未考慮到就同一種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法而言，在不同時(shí)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度可能不同，即在某個(gè)時(shí)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度高，而在另一時(shí)點(diǎn)的預(yù)測(cè)精度較低，于是引入了變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型。因此，近些年來，變權(quán)組合預(yù)測(cè)方法開始引起學(xué)者們的重視，文獻(xiàn)[9]提出一種以預(yù)測(cè)值誤差序列的近似熵測(cè)度為效果評(píng)價(jià)準(zhǔn)則，建立基于近似熵測(cè)度的變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[10]從成分?jǐn)?shù)據(jù)的角度出發(fā)，將每個(gè)時(shí)刻各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的權(quán)重構(gòu)成一個(gè)向量，看成一個(gè)成分?jǐn)?shù)據(jù)，通過對(duì)成分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，以預(yù)測(cè)未來時(shí)刻的權(quán)重。該文獻(xiàn)通過對(duì)成分?jǐn)?shù)據(jù)作非對(duì)稱比變換以預(yù)測(cè)未來的權(quán)重，但是當(dāng)模型中存在權(quán)重為零的情況時(shí)，該方法失效。

因此，本文對(duì)文獻(xiàn)[10]的方法進(jìn)行了拓展，提出一種對(duì)成分?jǐn)?shù)據(jù)作球坐標(biāo)變換的非負(fù)可變權(quán)重的確定方法，避免了模型中權(quán)重為零時(shí)所帶來的不便，并運(yùn)用實(shí)例驗(yàn)證了本文方法的可行性和有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 定權(quán)組合預(yù)測(cè)模型權(quán)重的確定

組合預(yù)測(cè)通過對(duì)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果有用信息的集成，在某種程度上可以提高其預(yù)測(cè)精度。其核心是確定各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果的權(quán)重，其中確定定權(quán)組合預(yù)測(cè)權(quán)重的方法甚多，本文主要介紹以組合誤差平方和達(dá)到最小為目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化模型方法，具體如下：

在這里，eit=yt-yit表示第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)誤差。

1.2 變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型權(quán)重的確定

基于本文主要實(shí)驗(yàn)和實(shí)例的考慮，這里主要介紹預(yù)測(cè)誤差平方和倒數(shù)法。預(yù)測(cè)誤差平方和倒數(shù)法確定權(quán)重的方法如下：

1.3 成分?jǐn)?shù)據(jù)

成分?jǐn)?shù)據(jù)的概念最早被提出于1866年，將滿足

的空間稱為D維成分?jǐn)?shù)據(jù)空間，這里c為常數(shù)，SD為D維行向量。

成分?jǐn)?shù)據(jù)預(yù)測(cè)的基本步驟如下：

Step1 對(duì)成分?jǐn)?shù)據(jù)作變換(如非對(duì)稱對(duì)數(shù)比變換、球坐標(biāo)變換等)；

Step2 對(duì)變換后的數(shù)據(jù)做擬合，并對(duì)擬合的數(shù)據(jù)做樣本點(diǎn)外預(yù)測(cè)；

Step3 根據(jù)成分?jǐn)?shù)據(jù)反變換公式，反解可以得到原成分?jǐn)?shù)據(jù)的預(yù)測(cè)值。

1.4基于成分?jǐn)?shù)據(jù)作球坐標(biāo)變換的預(yù)測(cè)期權(quán)重的確定

本文從另外一個(gè)角度考慮成分?jǐn)?shù)據(jù)，將組合預(yù)測(cè)各單項(xiàng)結(jié)果在不同時(shí)點(diǎn)所占的權(quán)重看成成分?jǐn)?shù)據(jù)，通過預(yù)測(cè)權(quán)重更進(jìn)一步地預(yù)測(cè)組合預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)精度。

算法Ⅰ

Step5 通過轉(zhuǎn)角的預(yù)測(cè)模型作樣本點(diǎn)外預(yù)測(cè);

Step6 利用轉(zhuǎn)角的反變換公式，得到樣本點(diǎn)外各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果權(quán)重的預(yù)測(cè)值，即

ω(t+p)=(ω1,t+p,ω2,t+p, …,ωm,t+p)T

其中p為往后預(yù)測(cè)的期數(shù)。

綜上，本文給出如下的變權(quán)系數(shù)組合預(yù)測(cè)算法Ⅱ：

算法Ⅱ

Step2 通過模型(1)確定最優(yōu)化組合預(yù)測(cè)模型的權(quán)重ω=(ω1,ω2, …,ωm)T，并依據(jù)算法Ⅰ確定變權(quán)組合預(yù)測(cè)權(quán)重ω(t)=(ω1t,ω2t, …,ωmt)T；

Step4 就樣本點(diǎn)外時(shí)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

Step5 對(duì)組合預(yù)測(cè)的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)和對(duì)比分析。

2 實(shí)證分析

為了驗(yàn)證本文所提出方法的有效性，運(yùn)用2017-07-03—2018-05-11的美元兌換人民幣日匯率開盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證研究，并將樣本分為兩個(gè)部分，其中將2017-07-03—2018-05-04的260個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本，用于構(gòu)建預(yù)測(cè)模型；2018-05-07—2018-05-11的5個(gè)數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)樣本，并用于驗(yàn)證模型的有效性。

通過訓(xùn)練樣本的220個(gè)數(shù)據(jù)建立模型，預(yù)測(cè)樣本外的5個(gè)數(shù)據(jù)，最終的單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果表1所示：

表 1 實(shí)際值及預(yù)測(cè)值

本文首先通過預(yù)測(cè)誤差平方和倒數(shù)法求解出每個(gè)時(shí)刻每種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的權(quán)重如表2所示：

表 2 各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法權(quán)重

其次，通過對(duì)成分?jǐn)?shù)據(jù)作球坐標(biāo)變換預(yù)測(cè)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果的權(quán)重，球坐標(biāo)變換步驟如下：

表 3 各時(shí)刻轉(zhuǎn)角值

Step2 建立轉(zhuǎn)角預(yù)測(cè)模型：

Step3 預(yù)測(cè)樣本外的轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)，并利用轉(zhuǎn)角的反變換公式求得樣本外各時(shí)點(diǎn)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果的權(quán)重如表4所示：

表 4 各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的權(quán)重

最后，通過對(duì)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果集成，計(jì)算出變權(quán)組合預(yù)測(cè)值。

作為對(duì)比，考慮傳統(tǒng)的以組合預(yù)測(cè)誤差平方和達(dá)到最小為準(zhǔn)則構(gòu)造權(quán)重的方法，利用Lingo軟件運(yùn)行得到如下的一組權(quán)重：ω1=0.051 9,ω2=0.010 7,ω3=0.937 4。

此外，通過對(duì)各單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行集成，計(jì)算出定權(quán)組合預(yù)測(cè)值。

為了驗(yàn)證本文提出的基于成分?jǐn)?shù)據(jù)作球坐標(biāo)變換的變權(quán)組合預(yù)測(cè)權(quán)重構(gòu)造的有效性，從如下幾方面對(duì)所提出模型的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。

運(yùn)用常用的幾種誤差評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果及組合預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析，結(jié)果如表5所示：

表 5 模型擬合效果比較

由表5，可以得出以下結(jié)論：

1) 相對(duì)于3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法而言，從4種評(píng)價(jià)指標(biāo)來看，不論是相對(duì)指標(biāo)還是絕對(duì)指標(biāo)，組合預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果都優(yōu)于各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法。

2) 變權(quán)組合預(yù)測(cè)模型優(yōu)于定權(quán)組合預(yù)測(cè)模型。繪制單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法和組合預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果圖(圖1)，可以看出，單項(xiàng)預(yù)測(cè)結(jié)果的預(yù)測(cè)效果較差，兩種組合預(yù)測(cè)的結(jié)果都優(yōu)于單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法，并且隨著時(shí)點(diǎn)的推移，本文所提出的變權(quán)組合預(yù)測(cè)方法與實(shí)際值越接近。

圖1 預(yù)測(cè)結(jié)果圖Fig.1 Forecast result graph

3 結(jié) 語

目前，針對(duì)變權(quán)組合預(yù)測(cè)方法的研究較少，不同于基于傳統(tǒng)預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)準(zhǔn)則的定權(quán)組合預(yù)測(cè)方法，本文提出了基于成分?jǐn)?shù)據(jù)作球坐標(biāo)變換的非負(fù)可變權(quán)的組合預(yù)測(cè)方法，優(yōu)化了已有文獻(xiàn)關(guān)于基于成分?jǐn)?shù)據(jù)作非對(duì)稱比變換的變權(quán)系數(shù)的確定方法，并用實(shí)例驗(yàn)證了本文所提出的方法，提高了組合預(yù)測(cè)的預(yù)測(cè)精度。在未來的工作中，還可以考慮將成分?jǐn)?shù)據(jù)的球坐標(biāo)變換方法進(jìn)行改進(jìn)，提出更有效的變換方法，使得建立的組合預(yù)測(cè)模型的精度更高。