帶擾動對偶模型中Erlang(2)分紅決策時間下的最優分紅*

傅立群, 王傳玉， 王 照

(安徽工程大學 數理學院, 安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

破產理論的研究起源于20世紀60年代，針對企業風險的穩定性，Lundberd和Cramér最早分別于1909年和1955年提出了幾個標準，逐漸發展成為研究企業盈余的經典的Cramér-Lundberd模型。隨后1957年DeFinetti[1]在紐約第15屆精算師代表大會上提出分紅策略，首次將盈余通過分紅釋放,這在一段時間內成為破產理論研究的熱點。

但實際中一些企業或公司的盈余過程用上述模型來進行解釋不是很合理，例如像石油、制藥、研究機構等企業需要先投入一筆資金，然后等到項目完成才會有回報，也就是盈余。基于這樣的實際情況，Mazza和Rulliére[2]于2004年首次提出了與Cramér-Lundberd模型相對的對偶風險模型.由于紅利往往是每年或每兩年地定期支付，這使得要在固定決策時間對紅利進行分配，于是Asmussen等[3]于2002年提出了“Erlangisation”的方法來研究有限時間的破產問題。而這一方法又被Albrecher等[4]于2011年用來研究經典的Cramér-Lundberd模型中的分紅問題. 此外Zhu和Yang[5]也在2008年提出一個對偶Markov-modulated風險模型，模型通過一個潛在的Markov環境引入盈余大小及其到達時間之間的依賴關系. Cheung[6]在2011年研究了模型中Markov過程向下跳的情況。然而，具有易處理分析性質的股利預期現值的顯示解僅僅存在于具有Erlang(1)交互決策時間的周期性問題。例如，Wei等[7]在2012年研究了切換布朗風險模型的狀態下周期性屏障策略的最優性。 Avanzi等[8]2014年研究了具有擴散的對偶風險模型中的一個相似問題。

但是，在確定最優周期股利策略時，通常有兩個主要步驟.首先，通常會提出一個候選方案(例如，障礙或閾值類型)，并獲得相關的破產前的預期股利現值。 下一步是得到所提出的解的充分的分析性質(例如，函數的有界性)，并檢查它是否滿足所謂的驗證引理的條件。 此時，不一定能得到最優策略的顯示解。 例如Avanzi等[9]2013研究了一個帶布朗運動的對偶風險模型，即一旦盈余達到零，就會發生破產，通過求解積分微分方程組，發現了Erlang(n)決策時間下周期障礙策略預期股利現值的隱式解。 周金樂等[10]2015年研究了在閾值分紅策略下帶擾動的廣義Erlang(n)對偶風險模型，并得出了模型直到破產前的總紅利貼現值的期望的表達式。 最近，Avanzi等[11]又在2018年研究了Erlang(2)決策時間下的最優分紅，通過數值模擬的方法詳細分析了當分紅決策時間為Erlang(2)分布時，周期障礙策略的最優性。

在文獻[10]的基礎上，考慮帶擾動的利潤過程服從復合泊松過程時,且分紅決策時間服從Erlang(2)分布下對偶模型中的最優分紅。 利用數值模擬的方法，描述了最優分紅策略與其他因素之間的相關變化。

1 構建模型

考慮對偶風險模型，它的分紅過程可以表示為

U(t)=u-ct+σB(t)+S(t)-D(t),t≥0

(1)

定義1 盈余過程U(t)的破產時刻定義為τ=inf{t≥0:U(t)≤0}。

性質1 最終破產概率

ψb(x,i)=Px,i[τ<∞]=1,

i=1,2,…,n。

性質1的證明過程可以參見文獻[10]。

定義2 分紅決策時間為Erlang(n)分布時的最優策略下的分紅期望現值為

注：在一般的文獻中將收益過程S(t)設為復合泊松過程，在這里為了方便計算，將其設為線性盈余，即S(t)=λt。λ為收益比率。

2 模型的應用及求解

結合文獻[9]和文獻[10]，對式(1)考慮一個極小的時間Δt→0，然后運用泰勒展開式可得

(2)

首次清算策略(即分紅分布服從Erlang(i)分布，i=1,i=2時b*=0的情況)的微分方程組。

(3)

(4)

為解上述微分方程組，假設方程滿足以下兩個初始條件

初始條件1F(0,1)=F(0,2)=0；

初始條件2 當u→∞時，函數線性有界。

首先得到特征方程

其中pγ>0和sγ<0分別為方程的兩個根。

運用初始條件，得到

將式(3)代入式(2)得

所以

將式(3)再次代入式(2)得

所以

那么，當b*>0，一般情況下的最優策略應滿足以下微分方程組

(γ+r)FL(u,2;b*)+γFL(u,1;b*)=0

(5)

(γ+r)FL(u,1;b*)+γFL(u,2;b*)=0

(6)

(γ+r)FU(u,2;b*)+γFU(u,1;b*)=0

(7)

(γ+r)FU(u,2;b*)+γ(u-b*+FL(b*,2;b*))=0

(8)

FL(u,1;b*)和FL(u,2;b*)表示u∈[0,b*)時的情況；FU(u,1;b*)和FU(u,2;b*)表示u∈(b*,∞]時的情況。

運用初始條件

FL(u,1;b*)=FL(u,2;b*)=0

及條件

(即最優策略時所要滿足的條件)由式(5)、式(6)、式(7)、式(8)解得

FL(u,2;b*)=A·g0(u)+B·g2γ(u)

(9)

FL(u,1;b*)=A·g0(u)-B·g2γ(u)

(10)

其中

g0(u)=ep0u-es0u
g2γ(u)=ep2γu-es2γu。

u-b*+FL(b*,1;b*)]+(C+D(u-b*))esγ(u-b*)

(11)

(12)

其中

+

p0>0,s0<0,p2γ>0,s2γ<0為特征方程

的4個不同的根。

(13)

(14)

將式(17)、式(18)代入式(13)、式(14)、式(15)、式(16)中，再將得到的系數A,B,C,D代入前面的式(9)、式(10)、式(11)、式(12)中，最終可以得到一個關于最優策略b*的隱式函數

(15)

3 數值模擬

為了直觀地反映最優策略b*與其他變量之間的關系，通常需要寫出b*與其他變量的顯示表達式，但通過觀察式(15)，顯然無法很容易得到b*與其他變量之間的關系。因此，采用數值模擬的方法來說明最優策略b*與其他經濟因素的關系。

采用Mathematica11模擬式(15)中的b*與費用率c，波動率σ，利率r，分紅頻率γ的關系，得到以下5個圖(圖1至圖5)。

圖1 c∈(0,3),λ=3,σ=1,r=0.1,γ=0.1Fig.1 c∈(0,3),λ=3,σ=1,r=0.1,γ=0.1

圖2 c=1,λ∈(0,10),σ=1,r=0.1,γ=0.1Fig.2 c=1,λ∈(0,10),σ=1,r=0.1,γ=0.1

圖3 c=1,λ=3,σ∈(0,6),r=0.1,γ=0.1Fig.3 c=1,λ=3,σ∈(0,6),r=0.1,γ=0.1

圖4 c=1,λ=3,σ=1,r∈(0,0.4),γ=0.1Fig.4 c=1,λ=3,σ=1,r∈(0,0.4),γ=0.1

圖5 c=1,λ=3,σ=1,r=0.1,γ∈(0,0.5)Fig.5 c=1,λ=3,σ=1,r=0.1,γ∈(0,0.5)

從圖1可以觀察到，由于有盈余的預期增長，費用率c很小的時候，最優策略起始于一個大于零的值。隨著這種漂移的增加，但其規模仍保持在略高于起始水平，維持低派息、確保盈余不會進入破產狀態的最佳障礙就會增大。但隨著費用率的進一步增長，最優策略逐漸減小，由于在畫圖之前將收益比率確定為λ=3，故當費用率繼續增長到一定程度時會發生破產。

從圖2發現當λ∈(0,1.3)時，最優策略為零，此時說明了由于費用率是確定的，當收益比率過低，企業的費用大于收益時，會發生破產，故這是破產時的情形。當隨著收益比率繼續增加時最優策略呈急劇增加勢態，這是由于收益比率和費用率以及波動率相接近，故收益比率的小幅增加會造成最優策略的大幅抖動。而隨著收益比率進一步增加時，當收益比率逐漸超過費用率時，最優策略逐漸變小，且趨于穩定，且不會造成破產。

圖3的波動率反映了當波動性非常低時，最佳障礙非常小，因為盈余過程破產的風險不大。隨著波動性的增大，維持公司安全的最優屏障增大。當波動性進一步增加時，最優障礙開始減少，此時企業已經不值得投資。

圖4中的r代表了投資者的時間偏好，r增加代表投資者變得不耐煩,更多的紅利分配在每一個決策時間(減少b*)來彌補金融不耐煩。

圖5中的γ增大，最優策略逐漸變大，但趨于穩定，允許更頻繁的紅利支付。

4 總 結

研究了帶擾動的對偶模型下，當收益過程為線性收入，分紅Erlang(2)分布時的最優分紅策略。首先通過構建模型，在經典的對偶模型中加入σ隨機收入波動項。且為了后面的計算方便，令收益過程服從線性收入，運用文獻[9,10]的結論，通過類似的推導得出最優策略相關的微分方程組，得出一個關于最優策略的隱式表達式。最后運用Mathematica 11通過數值模擬的方法畫出最優策略與所研究模型中其他經濟因素的變化關系，且分別作出相應的經濟學解釋。

考慮的僅僅是收益服從線性收入的特殊情形，而在一般情況下收益服從復合泊松過程的情形尚可進一步研究。