幾類(lèi)泛函微分方程的穩(wěn)定性比較研究*

張紀(jì)強(qiáng)， 賈靜麗

(1.安徽三聯(lián)學(xué)院 基礎(chǔ)部，合肥 230601; 2.安徽文達(dá)信息工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)工程系，合肥 230032)

1 泛函微分方程含義

泛函微分方程，被稱(chēng)為時(shí)滯微分方程、微分差分方程，是對(duì)各種具有復(fù)雜變?cè)奈⒎址匠毯蛶в懈鞣N滯后量的積分微分方程等的抽象和概況。相較于常微分方程，它對(duì)客觀世界的描述更加精確和細(xì)致，在現(xiàn)代化的科學(xué)研究中具有重要的作用。

世界上第一個(gè)泛函微分方程是Condorcet[1]在1771年討論Euler提出的古典幾何學(xué)問(wèn)題(是否存在一種曲線(xiàn)，經(jīng)過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)后還能與漸縮線(xiàn)重合)時(shí)導(dǎo)出的。這個(gè)泛函微分方程為

自第一個(gè)泛函微分方程出現(xiàn)后，眾多數(shù)學(xué)家[2-3]都對(duì)這類(lèi)泛函微分方程進(jìn)行過(guò)研究，但是鑒于其復(fù)雜性，并沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的研究成果。隨著廣泛課題研究的出現(xiàn)，泛函微分方程獲得了全面實(shí)質(zhì)性的發(fā)展，并且在不斷的發(fā)展中建立了幾大方向。在現(xiàn)階段研究中，一般有滯后型、中立型、超前型這幾種。

20世紀(jì)50年代后，學(xué)者們[4-5]開(kāi)始大量研究泛函微分方程的穩(wěn)定性。在泛函微分方程中，穩(wěn)定性是其中一項(xiàng)重要內(nèi)容。

2 中立型泛函微分方程的穩(wěn)定性

中立型泛函微分方程，可以簡(jiǎn)寫(xiě)為NFDE，它分為有界滯量的中立型泛函微分方程和無(wú)窮延滯的中立型泛函微分方程。

有界滯量的中立型泛函微分方程[6]可以表示為

在對(duì)中立型泛函微分方程的穩(wěn)定性研究方面，巴爾巴辛的V函數(shù)是基于n階線(xiàn)性微分系統(tǒng)來(lái)構(gòu)造的，對(duì)NFDE的穩(wěn)定性研究是有效的。其他學(xué)者則采用類(lèi)比法構(gòu)建V函數(shù)對(duì)三到五階非線(xiàn)性微分系統(tǒng)開(kāi)展研究[7-9]。

如對(duì)于Lyapunov泛函微分方程來(lái)說(shuō)，有穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性3種情況。

令x′=f(x,t)中的平衡態(tài)為x0=0，如果存在正定函數(shù)V(x,t)有連續(xù)一階偏導(dǎo)，且滿(mǎn)足兩個(gè)條件：

(1)V′(x,t)是非正定函數(shù)，那么該函數(shù)的平衡態(tài)具有一致穩(wěn)定性；

(2) 如果Rn是正定函數(shù)V(x,t)的定義域Ω，對(duì)于?t0和?x(t0)≠0，當(dāng)t>t0時(shí)，V′(x,t)不恒等于0，則該函數(shù)的平衡態(tài)具有一致漸進(jìn)穩(wěn)定性；

對(duì)于上述函數(shù)，如果滿(mǎn)足下列條件：

①V′(x,t)是負(fù)定函數(shù)，那么該函數(shù)的平衡態(tài)具有一致漸進(jìn)穩(wěn)定性；

② 當(dāng)x→∞時(shí)，V(x,t)→∞，則該函數(shù)的平衡態(tài)具有大范圍一致漸進(jìn)穩(wěn)定性。

對(duì)于中立型泛函微分方程，無(wú)論是一階還是二階，甚至五階都可以采用類(lèi)比方法構(gòu)建V函數(shù)求解方程的穩(wěn)定性，這是常見(jiàn)且有效的方法。如Sun Y G[10]就證明了一個(gè)非線(xiàn)性多時(shí)滯的中立型泛函微分方程具有穩(wěn)定性;武卉[11]也在基于Sun Y G的研究基礎(chǔ)上證明了非自治非線(xiàn)性三階中立型泛函微分方程的零解具有漸近穩(wěn)定性特征。

中立型泛函微分方程本身包含很多種類(lèi)，對(duì)于不同類(lèi)別的NFDE還可以采用不同的方法進(jìn)行研究。除了構(gòu)建V函數(shù)以外，有的學(xué)者還采用了Lyapunov泛函和Razumikhin技巧、Lyapunov泛函和上鞅收斂定理、Runge-Kutta法、線(xiàn)性θ-法等對(duì)中立型的泛函微分的穩(wěn)定性進(jìn)行研究，并取得了較好成效。

3 非線(xiàn)性泛函微分方程的穩(wěn)定性

Barwell[12]對(duì)線(xiàn)性模型方程的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，基于方程式(1)提出了P-穩(wěn)定和GP-穩(wěn)定，并驗(yàn)證了Euler法具有GP-穩(wěn)定性。

(1)

Torelli[13]將原有的線(xiàn)性方程模型的穩(wěn)定性研究拓展到非線(xiàn)性剛延遲微分方程處置問(wèn)題中，基于方程式(2)提出了GRN-和RN-穩(wěn)定性，同時(shí)驗(yàn)證了向后的Euler法具有GRN-穩(wěn)定。

(2)

這里f滿(mǎn)足下面條件：

Torelli的研究與后來(lái)的學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)要實(shí)現(xiàn)RN-穩(wěn)定非常困難，其條件非常苛刻。

李壽佛[14]在有限維歐式空間中探討了一般形式的非線(xiàn)性剛性Volterra泛微分方程的初值問(wèn)題，構(gòu)建了B-穩(wěn)定的新理論，從而為非線(xiàn)性剛性的常微分、延遲微分和積分微分方程等奠定了統(tǒng)一的數(shù)值方法穩(wěn)定性的理論基礎(chǔ)，然而對(duì)于中立型泛函微分方程，B-理論并不適用。

(3)

其中，a,b,τ為常數(shù)，取值范圍為-∞

針對(duì)條件：

以及

通過(guò)求解方程式(3)，采用一般線(xiàn)性法和Runge-Kutta法建立了B-穩(wěn)定，新B理論的建立為非線(xiàn)性剛體積分微分方程的穩(wěn)定性研究提供了統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)。

以上的研究都是以單邊Lipschitz和內(nèi)積范數(shù)為條件的，都是探討有限維內(nèi)空間中的初值問(wèn)題。然而，現(xiàn)實(shí)科學(xué)工程中許多問(wèn)題都是剛性問(wèn)題，這導(dǎo)致使用內(nèi)積范數(shù)時(shí)，最小單邊的Lipschitz常數(shù)往往會(huì)取巨大的正值，這在一定程度上影響了其使用，對(duì)此，李壽佛[14]還進(jìn)一步對(duì)Banach空間X中的一類(lèi)Volterra泛函微分方程類(lèi)D(α,β,μ1,μ2)進(jìn)行了研究，并驗(yàn)證了漸進(jìn)穩(wěn)定結(jié)果和理論解的穩(wěn)定性。

(4)

方程式(4)還需要滿(mǎn)足以下條件：

文立平[15]進(jìn)一步研究了Dλ*(α,β,μ1,μ2)和Dλ*,δ(α,β,μ1,μ2)，并提出了θ-法、對(duì)角隱式和顯式Runge-Kutta、線(xiàn)性多步法等的穩(wěn)定性。

Banach空間是具有范數(shù)并對(duì)范數(shù)完備的一個(gè)向量空間，它是由波蘭的斯特凡·巴拿赫等人于1920—1922年期間提出來(lái)的，并以他的名字來(lái)命名。隨著計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展，對(duì)泛函微分方程的研究有了突破性的進(jìn)展，特別是對(duì)Banach空間中的泛函微分方程的研究。當(dāng)前，許多關(guān)于無(wú)限維泛函微分方程的研究都是在Banach空間下進(jìn)行的。在Banach空間下，非線(xiàn)性泛函微分方程通常可以用θ-法、對(duì)角隱式和顯式Runge-Kutta、一般線(xiàn)性多步法等方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

4 隨機(jī)時(shí)滯泛函微分方程的穩(wěn)定性

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，許多領(lǐng)域的工程系統(tǒng)都存在時(shí)滯現(xiàn)象，系統(tǒng)的狀態(tài)往往受到之前的時(shí)間影響，即某個(gè)時(shí)間的狀態(tài)會(huì)對(duì)該時(shí)間點(diǎn)后的狀態(tài)產(chǎn)生影響。由此，存在隨機(jī)時(shí)滯微分方程：

dx(t)=f(x(t),x(t-τ))dt+

g(x(t),x(t-τ))dW(t)，t≥0

(5)

當(dāng)函數(shù)依賴(lài)系統(tǒng)滯后項(xiàng)時(shí)，產(chǎn)生中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程：

d[x(t)-G(x(t-τ))]=f(x(t),x(t-τ)(dt+
g(x(t),x(t-τ))dW(t),t≥0

(6)

其中，中立項(xiàng)為G(x(t-τ))，G(0)=0。

1982年，Nosov he和Kolmanovskii[16]進(jìn)一步拓展更廣泛的中立型隨機(jī)泛函微分方程，可以表示為

d[x(t)-G(xt)]=f(x(t),xt)dt+
g(x(t),xt)dW(t)，t≥0

(7)

其中xt=x(t+θ),-τ≤θ≤0。

在中立型隨機(jī)泛函微分方程的穩(wěn)定性研究方面，Mao[17-18]利用Razumukhin技術(shù)驗(yàn)證了中立型隨機(jī)泛函微分方程的均方指數(shù)穩(wěn)定性；Liao[19]也驗(yàn)證了中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的理論解具有指數(shù)穩(wěn)定性特征；Luo等[20]指出局部Lipschitz條件，驗(yàn)證了方程理論解具有指數(shù)均方穩(wěn)定性特征。

Huang[21]驗(yàn)證了隨機(jī)時(shí)滯微分方程(式(5))的分步θ-法和θ-法均具有穩(wěn)定性。

fT(t,u,v)Qf(t,u,v)≤K1uTQu+K2vTQv

(t,u,v)∈R+×Rd×Rd

其中，K1,K2為常數(shù)，Q是正定矩陣，對(duì)于有界步長(zhǎng)，θ-法具有均方漸近穩(wěn)定性，分步θ-法具有均方指數(shù)穩(wěn)定性。

Liu[22]驗(yàn)證了式(6)即中立型隨機(jī)時(shí)滯微分方程的分步θ-法和θ-法具有穩(wěn)定性。方程式(6)中，令

fT(t,u,v)Qf(t,u,v)≤K1uTQu+K2vTQv

(t,u,v)∈R+×Rd×Rd

對(duì)于任意的步長(zhǎng)來(lái)說(shuō)，分步θ-法具有均方指數(shù)穩(wěn)定性。對(duì)于有界步長(zhǎng)，θ-法都具有均方漸近穩(wěn)定性。

Zhou[23]利用非負(fù)半鞅收斂定理對(duì)方程式(7)進(jìn)行了研究，當(dāng)BEM符合單邊的Lipschitz條件，BEM法具有幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定性。事實(shí)上，式(7)是很難得出其解析解的，因此Zhou等[24]的數(shù)值方法的穩(wěn)定性研究是非常必要的。許多學(xué)者對(duì)式(7)開(kāi)展不同數(shù)值方法的穩(wěn)定性研究，如Zong等[24]對(duì)BHM法和EM法的幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定和矩指數(shù)穩(wěn)定性進(jìn)行了探討；Yu[25]探討了的BEM和EM法的指數(shù)穩(wěn)定性和幾乎必然漸近穩(wěn)定性；Wang[26]探討了BEM法的均方漸近穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語(yǔ)

泛函微分方程的種類(lèi)有很多，其數(shù)值方法的穩(wěn)定性研究是泛函微分方程的研究重點(diǎn)。本文只選取了中立型泛函微分方程、非線(xiàn)性泛函微分方程和隨機(jī)時(shí)滯泛函微分方程的穩(wěn)定性進(jìn)行了概括性綜述。不同類(lèi)型的泛函微分方程采用的數(shù)值方法有相似的方法，但也有一些區(qū)別。如中立型泛函微分方程可以Lyapunov泛函和Razumikhin技巧、Lyapunov泛函和上鞅收斂定理、Runge-Kutta法進(jìn)行穩(wěn)定性研究。對(duì)于非線(xiàn)性泛函微分方程可以采用θ-法、對(duì)角隱式和顯式Runge-Kutta法、一般線(xiàn)性多步法等進(jìn)行研究。對(duì)于隨機(jī)時(shí)滯泛函微分方程則可以采用θ-法、Euler-Maruyama法、θ-分步法、Backward Euler-Maruyama法等進(jìn)行穩(wěn)定性分析。無(wú)論哪種方法，都旨在為泛函微分方程的穩(wěn)定性研究提供可靠的理論保障。