金屬橡膠阻感數學模型建立*

楊鳳彪，孫世宇，2，王 寧

（1.陸軍工程大學石家莊校區，石家莊050003；2.山東華宇工學院，山東 德州253034；3.中國兵器科學研究院，北京100081）

0 引言

金屬橡膠的耐高低溫、耐腐蝕、抗輻射、真空不揮發、不易老化等特點是傳統橡膠不可比擬的，因此，在武器裝備、航空航天等國防、工業領域嚴苛環境下的減振緩沖、吸聲降噪、過濾、調壓、密封等得到了廣泛應用。

金屬橡膠的制備工藝及其內部螺旋狀不銹鋼絲的排列組織結構，決定了金屬橡膠是一種各向異性材料，在成型方向可以承受較大的壓縮載荷，但抗拉伸、抗剪切性能較弱，尤其在承受高頻動態拉伸或側向剪切載荷時，極易導致螺旋卷不銹鋼絲之間致密的組織結構剝離，甚至出現不銹鋼絲勞損斷裂的現象，使用壽命大大降低。目前，國內外學者對如何提高金屬橡膠非成型方向的力學性能開展了相關研究［1-8］，對金屬橡膠進行脈沖電流燒結是業界比較認可的一種方法。文獻［9］研究了金屬橡膠材料的溫度特性，從理論上推導了金屬橡膠材料的線膨脹系數與金屬材料的線膨脹系數的關系，并進行了相關的試驗研究，揭示了金屬橡膠材料熱膨脹受溫度變化的影響特性。文獻［10］對金屬橡膠材料坯料的編織過程和電脈沖強化系統進行了介紹，提出一種通過監測金屬橡膠動態電阻瞬時值變化速度對金屬橡膠燒結質量進行評估的方法。文獻［11］從內部組織結構形態闡述了金屬橡膠非連續體材料電阻的產生機理和影響因素，分析了電脈沖強化后金屬橡膠材料電阻與壓力的非線性特征，以及與靜態剛度之間的聯系。

目前，國內外相關學者在金屬橡膠脈沖電流燒結研究時，更多地關注于等效電阻。由制備金屬橡膠的不銹鋼絲螺旋狀結構可知，螺旋狀金屬絲必然伴隨有電感效應，金屬橡膠通過脈沖電流時，內部電流的分布將受到電阻、電感共同作用。金屬橡膠等效電感的存在必然會對電流的分布及波形造成影響，因此，在對金屬橡膠進行電參數模型建立時，電感是不能忽略的。

1 金屬橡膠空間結構分析

金屬橡膠是由不銹鋼絲之間相互交錯、搭接、勾連形成的空間網狀結構，其內部組織結構決定了不銹鋼螺旋卷絲之間勾連接觸點的數量、接觸形式、接觸電阻等參數，這些參數對于金屬絲勾連搭接處焊接點形成及焊接質量有著重要影響。常見的圓柱形金屬橡膠外觀如圖1所示。

圖1 圓柱形金屬橡膠

由金屬橡膠內部接觸微元結構組成可知，金屬橡膠的電阻特性由金屬絲本身電阻與接觸電阻組成，且為空間網狀結構模型，如圖2所示。圖中，紅色圓柱代表接觸電阻，設為RC；墨綠色圓柱代表兩個接觸點之間金屬絲的電阻，設為RM；黃色線代表各個電阻的連接線，可以看成電阻率為零的理想導線。由模型結構可知，金屬橡膠內部為一系列電阻的串并聯。由于接觸形式不同、接觸點之間金屬絲長度不同，各個接觸電阻和金屬絲電阻的取值存在差異，造成在金屬橡膠電流燒結過程中，各條電阻支路上的電流不均勻，電阻小的流過電流較大。

假定接觸電阻及其一端的金屬絲為一條通電支路，則該支路電阻為：

其中，RC1為接觸電阻；RMi為并聯金屬絲的等效電阻，a為與其他接觸電阻之間的并聯支路數，最小為1。式（1）最后一項包括了與其他接觸電阻之間連接金屬絲數不同的各種情況。將金屬橡膠按照空間結構分層考慮，如果每層電阻相同，則金屬橡膠總等效電阻為：

n為層數，m為每層的并聯通電支路數，RZj為并聯通電支路電阻。

圖2 金屬橡膠電阻空間結構模型

金屬橡膠金屬絲的螺旋結構，形成了空心電感L，對高頻脈沖電流的流通具有一定的阻礙作用，勢必也對電流的分布造成影響。由于接觸區域相對較小，如果忽略該處的電感值，那么接觸區域只有電阻作用，由于金屬絲可等效為電感、電阻串聯結構，則在圖2中，各個墨綠色圓柱可表示為并聯金屬絲的等效電抗Z，根據式（1）、式（2）可得金屬橡膠的等效電抗為：

2 金屬橡膠阻感參數模型

金屬橡膠在進行燒結時，需要施加一定的壓力，以保證金屬絲的可靠接觸及產生一定的壓入深度和鍛造力，由于其內部結構的復雜性，在不同壓力作用下，金屬橡膠內部微結構的滑移、變形等無法進行精確預測，等效電阻、電感的變化有較大隨機性，因此，需要通過實驗對這些參數進行測定。

試驗原理電路如圖3所示，電容C容量為10 F；上下電極為紫銅材質，上電極可以縱向位移，用以對金屬橡膠施加一定壓力；K為開關，控制電容的放電電路的通斷；用電流傳感器檢測放電回路電流，傳輸比20 A/5 V。試驗初始條件為：電容充電到5 V、對金屬橡膠施加50 N的壓力；放電時間設定為600 ms；試件采用10 g質量的柱形金屬橡膠。由于金屬橡膠的阻感特性，放電電路拓撲為RLC串聯二階電路，其中，R、L和C為放電回路的總電阻、電感和電容值，由于儲能電容C的容量較大，可以忽略線路中的雜散電容。

圖3 金屬橡膠阻感特性試驗電路

金屬橡膠試件在一定的壓力條件下，其電阻R、電感量L為恒定值，根據電路理論［12］可知，放電回路的KVL方程為表達式為：

根據微分方程理論可知，式（3）解的形式由方程特征根的性質而定，其特征方程為：

兩個特征根為：

放電電流波形如圖4所示，圖中放電電流曲線分為兩個階段，第1階段為有效放電測試階段，電容儲能主要在本階段釋放；第2階段為關閉開關K很短時間后，再重新導通的波形，以將電容儲能完全釋放。

圖4 電容放電電流波形

由圖3所示波形可知，電容放電電流為非振蕩波形，屬于過阻尼情況，式（5）的兩個值為不相等的負實數，式（3）的解可表示為：

根據電容電壓、電流的伏安特性可知，電流表達式：

其中，C為10 F，而K1、K2、S1、S2為需確定的4個未知量，在圖3所示波形上取4個點，時間為120 ms、240 ms、360 ms和480 ms，與此4個時間點對應的電流值經過換算后分別為38.93 A、37.71 A、34.12 A和30.55 A，根據式（7）建立微分方程組：

利用MATLAB軟件進行求解，得到未知量的值分 別 為：K1=-47.252 3；K2=-1.645 4；S1=-0.907；S2=-21.76 3。將這4個值代入式（5）求得放電回路的總電阻和電感值為：L=5.066 mH，R=115.6 mΩ。用M4070型LCR表測得放電線路雜散電感量約為4μH；用QJ57型直流電阻電橋測量放電線路的電阻值約為0.5 mΩ，線路電阻和電感的數值較低，對放電電流的影響可忽略。根據電容生產廠家提供的技術參數，電容的等效串聯電阻為80 mΩ，因此，可知，金屬橡膠在50 N壓力下等效電阻值為35.1 mΩ，等效電感為5.066 mH。

對同型號金屬橡膠試件進行不同壓力條件下放電試驗，壓力從10 N逐步增加到200 N，每次增加10 N，采用同樣的計算方法，得到等效電阻、電感數據如下頁表1所示。可以發現，金屬橡膠的等效電阻、電感值隨壓力的變化呈非線性，從而表征了金屬橡膠的非線性特性。但對金屬橡膠進行電流燒結時，希望獲得其比較精確的數學模型，以控制燒結電流的有效值與燒結時間。利用曲線擬合的方法對試驗數據進行處理，得到金屬橡膠等效電阻、電感與壓力的關系分別為：

其 中，a=0.016 9，b=1.775，P1=3.281，P2=-8.224，P3=1.67，P4=6.782，P5=-1.152，P6=-6.753，P7=26.49。

表1 不同壓力下放電試驗測試的阻感值

其中，a1=0.363 5，b1=42.33，c1=7.778，a2=5.416，b2=80.82，c2=34.5，a3=3.537，b3=31.12，c3=30.98，a4=-4.25，b4=82.89，c4=34.11，a5=0.729 8，b5=109.4，c5=43.02，a6=3.469，b6=192.2，c6=162.8。

本文利用MATLAB軟件對金屬橡膠的電阻值試驗數據進行2、3、8次多項式及指數曲線擬合，如圖5所示。其中，poly6為電阻方程擬合曲線；poly2、poly3、poly8、exp1分別為2、3、8次多項式及指數擬合曲線；x坐標為壓力；y坐標為電阻。可以發現，電阻方程曲線與試驗數據擬合比較準確。

圖5 金屬橡膠電阻曲線擬合

同樣利用MATLAB軟件對金屬橡膠的電感值試驗數據進行6次多項式及指數曲線擬合，如圖6所示。其中Gaussian為電感擬合方程曲線；poly6、exp1分別為6次多項式及指數擬合曲線；橫坐標N為壓力；縱坐標為電感值；可以發現，電感方程曲線與試驗數據具有良好的擬合特性。

圖6 金屬橡膠電感曲線擬合

根據圖5及圖6擬合曲線變化趨勢，金屬橡膠的電阻值在壓力較小的情況下等效電阻較大，隨著壓力的增加，電阻下降很快，當壓力達到50 N的時候，電阻值變化較為緩慢，到后期逐漸穩定；電感量在壓力施加的初始階段比較小，而后增加，在40 N壓力的情況下又開始緩慢下降直至比較穩定。經過分析認為：在施加壓力的初始階段，金屬橡膠內部各個微元相互接觸比較松散，接觸電阻較大，隨著壓力增加微元之間的接觸變得緊密，接觸電阻減小，金屬橡膠的電阻快速下降，到后期各個微元接觸點處達到了可壓入深度的彈性限值，故趨于穩定；金屬絲螺旋結構在壓力較小的時候，螺距較大，電感量較小，隨著壓力的逐步增大，螺距受壓減小，故電感量有所增加，當螺距減小到零，使金屬絲螺旋完全接觸后，電感量減小，到后期，各個接觸微元趨于穩定接觸，電感量減小緩慢，并趨向于恒定，且在外加壓力情況下，金屬橡膠內部應力增大，外部的金屬絲擠壓向外擴張，電感量主要集中在金屬橡膠外圍區域。

3 燒結試驗驗證

表2 柱狀試件在不同電容電壓下試驗數據

對柱狀金屬橡膠試件在燒結時間為500 ms、壓力為50 N情況下，改變電容電壓進行寬脈沖燒結的試驗數據如表2所示，根據數據表繪制的電容初始電壓、終止電壓、放電電流峰值波形如圖7所示；燒結效果如圖8所示，8圖（a）～圖（c）分別為第6～8次試驗的燒結效果。

圖7 柱狀試件電流和電壓變化曲線

圖8 柱狀試件不同電容電壓下的燒結效果

從圖7電流、電容電壓變化曲線可以看出，在壓力一定時，金屬橡膠的等效電阻、等效電感為一定值。從圖8的燒結效果可以看出，隨著電容初始電壓的增大，燒結電流增加，金屬橡膠出現黑色區域的面積擴大，但主要集中在金屬橡膠中心區域，說明在燒結過程中，等效電感主要分布在外圍區域，使電流主要流經金屬橡膠內部區域，因此，燒結點的位置及所需燒結能量須充分考慮等效電感的作用。

4 結論

本文基于金屬橡膠內部組織結構關系建立了金屬橡膠空間結構電路拓撲模型；根據制備金屬橡膠的不銹鋼絲螺旋結構，指出金屬橡膠的電參數數學模型中電感的重要性。采用試驗測定、曲線擬合的方法得到了金屬橡膠的阻感數學模型，并對相關分析進行了試驗驗證，可得出以下結論：

1）根據試驗測定、曲線擬合得到的金屬橡膠等效電阻、電感回歸數學方程能夠很好地表述在不同壓力下參數的變化關系，同時彌補了目前金屬橡膠等效電參數模型只考慮電阻效應的不足。

2）在壓力不變的情況下，金屬橡膠的等效電阻、電感可以視為定值，對于燒結時間、燒結電流的確定具有一定指導意義。

3）在對金屬橡膠施壓燒結情況下，由于內部不銹鋼絲互相擠壓接觸，使其外圍出現擴張現象，等效電感主要分布于外圍區域，使得電流主要分布于中心區域。