內嵌聲學黑洞薄板振動特性數值模擬方法研究

王博涵 ，楊德慶*，夏利福

1高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，上海200240

2上海交通大學海洋工程國家重點實驗室，上海200240

3上海交通大學船舶海洋與建筑工程學院，上海200240

0 引 言

聲學黑洞（Acoustic Black Hole，ABH）效應是指在通過合理控制面板厚度且遵循冪函數變化逐漸減小為零的過程中，面板內彎曲波傳播速度逐漸減小，在理想情況下，當面板厚度為0時，波速衰減為0而波幅趨于無窮的現象。聲學黑洞的概念及基本理論由 Pekeris［1］在 1946 年提出，他發現在靠近海岸線處海水深度逐漸減少，海水中聲波的相速度也會隨之逐漸衰減為0，因此不發生反射。隨后，Mirnov［2］在楔形結構中發現固體結構內部的彎曲波存在類似的現象。Krylov等［3-6］將聲學黑洞概念應用于梁、板殼結構的減振中，并在理論、數值與實驗3個層面對梁、平板內的聲學黑洞效應進行了系統性研究。現有研究表明，聲學黑洞區域的厚度變化若遵循冪函數衰減規律，且冪函數的指數不小于2，則彎曲波傳播至聲學黑洞區域時，由于結構厚度減少，波速會逐漸減小，波長變短。當聲學黑洞區域接近厚度為0的位置時，累計相位趨于無窮大，彎曲波被永遠局限在聲學黑洞區域內。聲學黑洞結構通過控制厚度變化來達到聚集結構彎曲波的效果，在船舶、航天器和車輛等結構的振動能量控制、結構減振降噪等方面有潛在應用價值。

目前，在聲學黑洞研究中，數值仿真方法的應用最為廣泛。黃薇等［7］使用有限元軟件建立二維聲學黑洞模型，研究彎曲波在聲學黑洞區域的時域傳播過程，結合有限元數值結果與振動功率流的結果，分析彎曲波能量聚集過程。Conlon等［8］將多個二維聲學黑洞結構以周期性規律布置在薄板結構中，結合均勻板的響應特征，計算并綜合分析該薄板結構的振動和聲輻射特性。Jia等［9］將二維聲學黑洞板與動力吸振器相結合，在板的聲學黑洞區域連接一個彈簧質量系統，分析整個板的振動響應特征。上述數值仿真模型均采用體單元進行離散。

對于二維聲學黑洞板，其厚度遠小于長、寬方向的尺度。在使用體單元進行離散時，為保證單元在3個方向的尺度相差不是太大，需要在結構的長、寬方向上劃分大量單元。因此，使用體單元進行數值模擬存在單元數量多、計算效率低的缺點。而二維聲學黑洞區域板厚度與另外2個方向的尺度相比屬于薄板的范疇，從力學特性角度分析，合理選擇劃分網格的尺度，使用板殼單元離散得到的計算結果也應是可靠的。

因此，本文擬對內嵌二維聲學黑洞薄板采用板殼單元模擬聲學黑洞效應的方法進行深入研究，并與體單元離散建模的計算結果進行對比，驗證使用板殼單元模擬聲學黑洞效應的可靠性。最后討論聲學黑洞區域厚度階梯變化尺度以及冪律對其振動性能的影響。

1 聲學黑洞基本理論

二維聲學黑洞結構示意圖如圖1所示，其中聲學黑洞區域的半徑由rABH表示。二維聲學黑洞區域xOz截面的厚度遵循冪函數式：

式中：h(x)為距中心點x處聲學黑洞結構（板）的厚度；ε為常數；冪律m為正有理數，被稱為黑洞效應指數因子。Mironov［2］已證明，當結構的厚度變化滿足冪函數曲線且指數不小于2時，就能滿足結構聲學黑洞的基本要求，將傳導至聲學黑洞區域的彎曲波全吸收。

圖1 二維聲學黑洞結構示意圖Fig.1 The structure of two-dimensional acoustic black hole

彎曲波在二維聲學黑洞結構中傳播的控制方程為［10］

式中：A(x，y)為振幅；φ(x，y)為相位；kp為波數。將式（3）代入式（2），若使等式成立，則等式右側的實部和虛部必須為0。由實部等于0并舍棄關于 A(x，y)和 φ(x，y)的高階導數項，即可得到

式中，k(x，y)為與位置有關的波數。

二維聲學黑洞是由一維聲學黑洞的截面h(x)=εxm（m≥2）以 x=0點為中心旋轉1周形成的，因此，一維聲學黑洞的特性可以一定程度上反映二維的情況。對于xOz截面，式（4）可寫為

根據式（5），當 x→0時，彎曲波波數將趨于正無窮，這意味著彎曲波波速將趨于0，波幅則趨于無限大，振動將被局限在聲學黑洞中心區域。因此，理想的聲學黑洞在理論上可以100%吸收板內彎曲波，取得顯著的減振降噪效果。

在實際加工制造過程中，板厚無法嚴格遵循冪函數連續變化至0，總會在接近黑洞區域中心存在一個截斷厚度。當板厚小于截斷厚度時不再繼續衰減，而是維持在常量h0。這導致聲學黑洞區域無法“吞噬”全部彎曲波，而會對入射波產生一定反射。雖然截斷厚度不可避免，但如果將阻尼材料附加于聲學黑洞區域，就能有效降低黑洞區域的彎曲波反射率［11］。

2 結構模型

基于文獻［7］中的二維聲學黑洞板算例，設計了3種四邊簡支矩形板模型。

模型1：四邊簡支均勻厚度矩形薄板，板長a=600 mm，寬 b=400 mm，板厚 h=5 mm，如圖 2所示。板的材料為鋼，密度為7 850 kg/m3，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，結構阻尼系數為0.02。

圖2 四邊簡支均勻厚度矩形薄板Fig.2 The simply supported rectangular uniform thin plate

模型2：在模型1基礎上，板心處開出半徑r=100 mm的圓孔，如圖3所示。

圖3 中心處開孔的均勻厚度矩形薄板Fig.3 The rectangular uniform thin plate with a hole in the center

圖4 中心處變厚度的二維聲學黑洞板Fig.4 The two-dimensional ABH plate with variable thickness in the center

在點（-260 mm，0，0）處施加1 N的正弦激勵力，激勵頻率為 1～8 000 Hz，頻率步長為 10 Hz。選取圖2～圖4中所示的4個振級評價點，輸出各點的振動速度級并進行對比。其中振動速度級的參考值為10-9m/s。評價點1～4的坐標分別為（160 mm，0，0）、（230 mm，0，0）、（154.445 mm，102.014 mm，0）和（230 mm，160 mm，0）。

3 內嵌二維聲學黑洞薄板振動特性的數值模擬

3.1 基于體單元建模方法的聲學黑洞效應數值模擬

采用體單元對圖4所示的聲學黑洞板（模型3）進行離散，得到如圖5所示的有限元模型。該模型共有86 000個單元，108 105個節點。網格劃分時，黑洞區域體單元長度為2 mm，沿板厚度方向劃分4層體單元。四邊簡支邊界條件施加在板厚度方向的中間面塊體節點處。在激勵點一側選取評價點5，坐標為（-230 mm，0，0），比較載荷作用端同側的評價點5與黑洞另一側評價點1～4的振動速度級，以此判斷聲學黑洞是否能吸收彎曲波，進而減小振動響應。

圖5 體單元離散的二維聲學黑洞板有限元模型Fig.5 The finite element model of two-dimensional ABH plate with solid elements

使用MSC/Patran有限元軟件對聲學黑洞板進行頻響分析，激勵力頻率范圍為1～8 000 Hz，頻率步長為10 Hz，計算5個評價點的振動速度級，結果如圖6所示。

圖6 5個評價點振動速度級對比結果Fig.6 Comparison of vibration speed level between five evaluation points

由圖6可見，5個評價點的振動速度級在低頻段相差不大，這說明低頻時聲學黑洞效應并不明顯。在大部分高頻段，評價點1～4的振速小于評價點5的振速，這說明彎曲波在經過黑洞后，由于結構的聲學黑洞效應，導致板右側的振動減小。算例中的聲學黑洞不是理想黑洞，在黑洞中心處存在截斷（中心等厚度區域），不可能吸收所有的彎曲波，但是根據Krylov等［11］的研究，在黑洞中心截斷區域表面敷設少量阻尼會有很好的吸收效果。

3.2 基于板殼單元建模方法的黑洞效應數值模擬

根據彈性力學和有限元法關于板殼力學的特性理論，在計算效率和計算精度2個方面，采用板殼單元離散聲學黑洞板計算應該優于等量單元數情況下采用體單元離散板結構后的相關計算。本文采用板殼單元離散聲學黑洞板，并討論其與采用體單元離散聲學黑洞板的計算結果的等效性。首先介紹有限元模型的網格劃分方式，然后對結構模態以及在1～8 000 Hz單位激勵下板的頻率響應進行對比。

3.2.1 有限元模型

對4種有限元模型進行討論：

1）有限元模型（a），采用板殼單元模擬模型1所示的均勻厚度薄板（共有21 500個單元、21 621個節點）；

2）有限元模型（b），采用板殼單元模擬模型2所示中心處開孔的均勻厚度薄板（共有6 000個單元、6 220個節點）；

3）有限元模型（c），采用板殼單元（單元長度為2 mm）模擬模型3所示聲學黑洞板（共有21 500個單元、21 621個節點）；

4）有限元模型（d），采用體單元（單元長度為2 mm）模擬模型3所示聲學黑洞板（共有86 000個單元、108 105個節點）。

有限元模型（a）和（c）如圖7所示，兩者的區別僅在于板厚度參數的設置不同。對于有限元模型（c），黑洞區域有限元模型被離散成階梯厚度板，單元寬度為2 mm，厚度依照冪律變化。有限元模型（b）如圖8所示。有限元模型（d）如圖5所示。

圖7 有限元模型（a）和（c）Fig.7 Finite element model（a）and（c）

圖8 有限元模型（b）Fig.8 Finite element model（b）

3.2.2 模態分析

根據四邊簡支矩形薄板固有頻率的解析解公式，均勻厚度薄板前5階固有頻率為

式中：i和j分別為薄板在長度和寬度方向上的半波數。

使用MSC/Patran有限元軟件對上述4種模型結構進行模態計算，其前5階固有頻率如表1所示。板殼單元離散的聲學黑洞板的前5階振型圖如圖9所示，體單元離散的聲學黑洞板的前5階振型圖如圖10所示。

由表1可見，薄板前5階固有頻率的解析解和數值解相吻合，誤差小于1%；此外，聲學黑洞板的固有頻率介于薄板與開孔板兩者之間或與兩者接近。

表1 4種模型的前5階固有頻率Table 1 First five order natural frequencies of four models

圖9 板殼單元離散的聲學黑洞板前5階振型圖Fig.9 The first five modes of ABH plate with shell elements

圖10 體單元離散的聲學黑洞板前5階振型圖Fig.10 The first five modes of ABH plate with solid elements

對比使用板殼單元和體單元模擬聲學黑洞板的固有頻率計算結果，可以看到，兩者非常接近，板殼單元離散聲學黑洞板的固有頻率計算結果普遍小于同階次體單元離散的計算結果，相對誤差為5%～9%。由圖9和圖10可以看出，2種模擬方法的前5階振型圖基本相同。至于（3，1）階振型的情況，本文關注的是結構的整體模態，體單元建模振型圖的中心區域與板殼單元的不同，是因為此時鋼板的整體模態圖形顯示受到了局部模態圖形顯示比例尺度的影響。總之，計算結果驗證了板殼單元建模在模態計算方面的合理性，且計算誤差較小。

3.2.3 頻率響應分析

施加前文所述激勵力進行頻響分析，激勵力頻率范圍為1～8 000 Hz，頻率步長為10 Hz。對有限元模型（a），（c）和（d）進行頻響計算，計算結果如圖11所示。

由圖11可見，采用板殼單元和體單元模擬聲學黑洞板，在低頻段，板殼單元和體單元離散的2種模型評價點的計算結果較吻合；在高頻段，因固有頻率存在一定差異，兩者響應計算結果的峰值位置有一定差異，但峰值十分接近。這說明采用板殼單元模擬聲學黑洞板的計算結果也是精確可靠的。

圖11還反映了聲學黑洞板的減振性能。采用兩種方式建模的聲學黑洞板與薄板（模型（a））相比，三者在低頻段的振動速度級基本吻合，這說明聲學黑洞板在低頻段減振效果不明顯。對于高頻段，可以看到聲學黑洞板的減振效果很明顯，與文獻［10］的研究結果相同，說明采用板殼單元模擬聲學黑洞板時，其頻響計算結果也體現了黑洞效應。

4 黑洞區域厚度階梯變化尺度對聲學黑洞板振動性能的影響

4.1 黑洞區域厚度階梯變化尺度對模態特性的影響

對黑洞區域離散時，板厚度階梯變化尺度分別取5，10和16 mm進行建模，分析黑洞區域厚度階梯變化尺度對聲學黑洞板振動性能的影響。

聲學黑洞區域板厚分布不均勻，滿足冪律變化規律，厚度在板中心處逐步變薄。因此，模態分析時在黑洞區域會出現局部模態，在某些特定頻率，黑洞中心區域會發生共振，吸收能量。圖12給出了厚度階梯變化尺度為2 mm時黑洞區域的一階局部模態。

圖12 厚度階梯變化尺度為2 mm時黑洞區域一階局部模態振型Fig.12 The first order local mode with 2 mm step change scale

研究發現，厚度階梯變化尺度的改變會導致黑洞區域局部共振頻率發生變化。厚度階梯變化尺度分別為2，5，10和16 mm的一階局部模態對應的固有頻率如表2所示。

表2 不同厚度階梯變化尺度一階局部模態對應的固有頻率Table 2 Natural frequencies of first order local mode with different step change scales

由表2可見，厚度階梯變化尺度對局部模態對應的固有頻率產生較大影響，且隨著厚度階梯變化尺度的增大，局部模態對應的固有頻率會大幅降低。在實際應用中，局部模態可以起到吸收振動能量的作用，因此合理調整厚度階梯變化尺度，可以將聲學黑洞板的局部模態對應的固有頻率調整到預期減振頻率。

4.2 黑洞區域厚度階梯變化尺度對頻率響應的影響

施加前文所述激勵力，對黑洞區域厚度階梯變化尺度分別為2，5，10和16 mm的聲學黑洞板進行頻響分析，計算結果如圖13所示。

圖13 不同厚度階梯變化尺度情況下4個評價點的振動速度級Fig.13 Vibration velocity level of four evaluation points in the case of different step change scales

分析圖13可知，低頻時不同厚度階梯變化尺度聲學黑洞板的速度響應吻合較好，與無聲學黑洞薄板振速相比，沒有明顯的減振效果。高頻時不同厚度階梯變化尺度的聲學黑洞板均具有聲學黑洞效應，有明顯的減振效果，且其減振頻率范圍不同。由此說明，合理調整厚度階梯變化尺度可以對目標頻段進行減振設計。

5 冪律變化對聲學黑洞板振動性能的影響

5.1 冪律變化對聲學黑洞板模態特性的影響

在冪律m=3，4的情況下，黑洞區域厚度階梯變化尺度取2 mm，對板殼單元和體單元離散聲學黑洞板進行模態分析，并與m=2聲學黑洞板的計算結果進行比較。冪律變化對聲學黑洞板整體模態特性的影響如表3所示。

由表3可以看出，冪律變化對聲學黑洞板整體固有頻率的影響很小，無論采用板殼單元還是體單元離散聲學黑洞板，固有頻率的計算結果基本一致。在冪律相同的情況下，使用體單元離散的聲學黑洞板的整體固有頻率要高于板殼單元離散的情況。

冪律變化對黑洞區域局部模態特性的影響如表4所示。其中，m=2時，板殼單元離散模型的前3階局部模態振型如圖14所示，對于m=3，4的情況，其前3階局部模態振型與m=2的情況類似，在此不再贅述，僅列出具體的固有頻率值。

以上計算結果表明，當冪律越大時，由于聲學黑洞板黑洞區域厚度變化較為劇烈，黑洞中心區域的板厚相比鄰近區域更薄，導致黑洞區域的局部共振模態在頻率很低的情況下就會出現。由表4可見，m=4時，一階局部模態在37.04 Hz出現；m=3時，一階局部模態在168.69 Hz出現。對于高冪律的情況，與m=2相比，低頻的局部模態十分密集。模態計算結果還表明，采用板殼單元和體單元模擬局部模態的結果存在一定差異，板殼單元模擬的局部模態結果要低于體單元模擬的情況。

表3 冪律變化對聲學黑洞板前5階整體固有頻率的影響Table 3 Influence of power law variation on the first five order natural frequencies of ABH plate

圖14 板殼單元離散模型的前3階局部模態振型圖（m=2）Fig.14 The first three order local mode shapes with shell elements（m=2）

5.2 冪律變化對頻率響應的影響

對冪律m=2，3，4的聲學黑洞板分別進行頻響分析，網格劃分時黑洞區域厚度階梯變化尺度為2 mm，計算結果如圖15所示。

圖15所示的頻響分析結果表明，低頻段時三者相差不大，黑洞效應不明顯。在高頻段，不同冪律聲學黑洞板的減振頻段不同，例如m=4的聲學黑洞板在3 000～4 000 Hz頻段的減振效果優于m=2的聲學黑洞板。

6 結 論

針對內嵌二維聲學黑洞薄板，本文對采用板殼單元模擬聲學黑洞效應的計算方法進行數值實驗計算，并與體單元的模擬結果進行了對比，驗證板殼單元模擬方法的有效性。探討了聲學黑洞板厚度階梯變化尺度以及冪律對其振動性能的影響，為聲學黑洞板的設計與實際應用提供指導。研究表明：

1）采用板殼單元建模方法，聲學黑洞板整體模態以及頻率響應計算結果與體單元建模方法的基本相同，模態計算結果誤差小于10%。板殼單元建模大大減少了模型單元數量，提高了計算效率。這證明了采用板殼單元模擬聲學黑洞板的合理性和有效性。

2）聲學黑洞區域的厚度階梯變化尺度以及冪律的變化可以調節黑洞區域局部模態對應的固有頻率，影響具體頻段的減振效果。在實際應用中，可以利用該特點對目標頻段進行減振設計。