形式三角矩陣環上（F，F）-Gorenstein投射模

何東林，李煜彥

（隴南師范高等專科學校數信學院，甘肅 隴南 742500）

Gorenstein 同調理論是相對同調代數的重要內容.1969年Auslander 和Bridger[1]討論了雙邊Noether 環上有限生成模的G-維數，1995年Enochs 和Jenda[2]給出任意環上Gorenstein 投射模的概念，由于Gorenstein 投射模有許多與投射模類似的性質，引起了很多作者的關注和研究.特別地，Pan 等人[3]將其推廣到（X，Y）-Gorenstein 投射模.易知（P，P）-Gorenstein 投射模就是Gorenstein 投射模，其中P 表示投射模類.形式三角矩陣環作為環論中一類重要的非交換環，在環模理論和代數表示論中扮演著重要的角色.2011年Enochs 等[4]研究了形式三角矩陣環上的平坦覆蓋與極小Quillen 分解.2014年Eshraghi等[5]進一步討論了形式三角矩陣環上Gorenstein 投射模.自然而然地，可考慮形式三角矩陣環上的（F，F）-Gorenstein 投射模的性質和等價刻畫，其中F 表示平坦模類.

其中α1:X→U 左R-模同態，α2:Y→V 為左S-模同態.為了方便，文中的左Γ-模均用三元組的形式.對應地，左 Γ-模同態均用二元組[α1，α2]的形式.同態[α1，α2]作用于元素均為右側作用，即同態的合成為右側合成，即對任意同態[α1，α2]與[β1，β2]的合成記為左 Γ-模中的零模簡記為0，其余未涉及的概念和記號參見文獻[7-8].

1 定義和引理

定義1[3]設A 為任意結合環，X 和 Y 均為左 A-模類且P?X.稱RM 模是（X，Y）-Gorenstein 投射模，如果存在正合列

其中Xi∈X，M?Ker（X-1→X-2）且對任意Y∈Y，該序列在函子HomR（-，Y）下正合.

（1）δ 在函子HomR（-，Y）下正合；

（2）對所有i∈Z，短正合列0→Kerfi→Xi→Kerfi-1→0 在函子HomR（-，Y）下正合.

證明 由Hom 函子的性質易證.

引理2[4]是左Γ-模，則以下條件等價：

（2）φ :M?RX →Y 是單同態，X 是平坦左 R-模且余核 Cokerφ 是平坦左 S-模.

（1）Ker([α1，α2])=其中（對任意m∈M，x∈Kerα1）.進而[α1，α2]是單同態當且僅當 α1，α2均為單同態.

（2）Im([α1，α2])=其中u∈Imα1）.進而[α1，α2]是滿同態當且僅當 α1，α2均為滿同態.

即（1M?α1）φ=φα2.因為對任意 m∈M，x∈Kerα1，有

可見（m?x）φα2=0，（m?x）φ=Kerα2.不妨令

注意到下圖可交換

（2）證明過程與（1）對偶.

為了方便，下文中均假設ε 是左Γ-模復形，ε 及與其相關的導出復形具體形式如下：

引理4 復形ε 為正合復形當且僅當εR和εS均為正合復形.

2 主要結論

定理1 設εR為正合復形，且εR在M?R-下仍正合.則以下條件等價：

（1）對任意FR∈RF，εR在函子HomR（-，FR）下仍正合；

（2）對任意FR∈RF 和i∈Z，正合列下正合；

證明由εR為正合復形且εR在M?R-下正合易知，導出復形也是正合復形.根據引理 1 和引理 3 可得（1）?（2）且（3）?（4）.只須證明（2）?（3）.

可交換，即（1M?h1）η=h2，所以

（3）?（2）對任意 FR∈RF 和 i∈Z，由引理 2 知是左Γ-平坦模.對任意模同態考慮左Γ-模同態由（3）知存在同態使得

定理2 設εS為正合復形，且 M?RF?SF⊥.則以下條件等價：

（1）對任意FS∈SF，εS在函子HomR（-，FR）下仍正合；

（2）對任意FS∈SF 和i∈Z，短正合列在HomS（-，FS）下正合；

證明 由εS為正合復形易知，導出復形是正合復形.由引理1 和引理3 得（1）?（2）且（3）?（4）.只須證明（2）?（3）.

[g1，g2]就是滿足要求的同態.因此正合列在函子HomR（-，F）下仍正合.

（3）?（2）對任意 FS∈SF 和 i∈Z，由引理 2 知是左Γ-平坦模.要證短正合列在函子 HomS（-，FS）下仍正合，只須證對任意左 S-模同態總存在同態使得注意到為左Γ-模同態，由（3）知存在同態使得可見不妨令則 g 就是滿足要求的同態.因此在HomS（-，FS）下正合.

（2）對任意QR∈RF 和QS∈SF，有εR在函子HomR（-，QR）下正合且Coker ε 在HomS（-，QS）下正合.

證明 由ε 為正合復形和引理4 易知，εR和εS為正合復形.又由εR在M?R-下正合知，M?RεR也是正合復形.因為由引理 2 可知且 φi為單同態.根據復形正合列 0→M?RεR→εS→Coker ε→0 得，Coker ε 也是正合復形.考慮復形短正合列

由定理3 易得如下結論.

推論2 設εR和εS均為正合復形，下正合且M ?RF?SF⊥.則以下說法成立：

（1）如果 U 是（F，F）-Gorenstein 投射左 R-模，那么是（F，F）-Gorenstein 投射左Γ-模.

（2）如果 V 是（F，F）-Gorenstein 投射左 S-模，那么是（F，F）-Gorenstein 投射左 Γ-模.

定理4 設εR和εS均為正合復形，下正合且則以下條件等價：

（2）X 是（F，F）-Gorenstein 投射左 R-模，Cokerφ 是（F，F）-Gorenstein 投射左 S-模且 φ是單同態.

3 總結

利用同調代數的方法，研究了形式三角矩陣環Γ 上的（F，F）-Gorenstein 投射模.結果表明由模RX 和SY 以及左S-同態φ:M?RX→Y 組成的Γ-模是（F，F）-Gorenstein 投射模，當且僅當RX 和SCokerφ 均是（F，F）-Gorenstein 投射模且 φ 為單同態.從而補充了形式三角矩陣環上模的基礎理論.