思想立意 發展數學核心素養①

林新建

(福建省漳州第一中學 363000)

在過去的教學活動中，教師可能更關心如何教，但基于數學核心素養的教學，更多地需要關心學生如何學，需要知道學生的認知水平和認知過程.

一個理想的教學過程大概可以描述如下：把握數學知識的本質，把握學生認知的過程；創設合適的教學情境，提出合適的數學問題；啟發學生思考，鼓勵學生與他人交流；讓學生在掌握知識技能的同時，理解數學知識的本質；感悟數學的思想，形成和發展數學核心素養.

這里的關鍵是“感悟數學的思想，形成和發展數學核心素養”，本文從一道試題解答的探尋與啟示入手，就“思想立意”在“感悟數學思想，形成和發展數學核心素養”上的作用與途徑作一探析，以饗讀者.

1 探尋與啟示

例1(2011年高考新課標卷Ⅰ理科16題)

解析本題是三角形求解問題，解決問題的通法是“知三求三”，即已知三邊求三角，或已知兩邊一角求另一邊兩角，或已知一邊兩角求另兩邊一角.

但直觀題目只給出一邊一角，顯然條件少了，無法直接運用通法“知三求三”加以解決，怎么辦？

此時，若能立意于函數思想，則不難發現這是最值求解問題，需要引入變量，構造出待求最值關于這個變量的函數，問題可輕松獲得解決.

為此，不妨設∠A=θ，則∠C=120°-θ.

進而得AB+2BC=2sin(120°-θ)+4sinθ

評析由于變量的引入，我們湊足了三個量，從而可以運用通法“知三求三”將問題輕松予以解決.在這里，思想的立意是問題獲得解決的關鍵，正是緣于函數思想的立意，我們自然地引入了變量，構造出待求最值關于這個變量的函數，使得問題輕松獲得解決.

為什么有許多學生解決不了一些并不復雜甚至是簡單的數學問題呢？除了極少數學生不知道相應的數學知識外，絕大部分學生不是不會方法，而是由于沒有站在思想的高度來思考和引領方法，或者是因為思想不明確而想不起來用什么方法來處理問題.

因此，指導學生立意于思想，讓他們在“潤物細無聲”中逐步領悟數學思想，并用其作為指導來引領問題的解決就顯得尤為重要了.

2 思想立意：基于“四基”的數學教學活動

傳統數學教育的“雙基”是指基礎知識和基本技能，要求基礎知識扎實，基本技能熟練.2001年開始的課程改革，在傳統的“雙基”這個一維目標的基礎上提出三維目標，這就是：知識技能、過程方法、情感態度價值觀，這里所說的情感態度價值觀就是現在核心素養所說的態度或者必備品格.

但是，三維目標中所說的“過程方法”沒有成為目標，這是因為在描述“過程方法”時使用的行為動詞是“經歷”、“體驗”、“探索”，并沒有說明通過這些“過程”讓學生獲得什么.為此，在修訂數學課程標準時，把“過程”目標表述為：通過學生參與其中的數學教學活動過程，讓學生感悟數學的基本思想，積累數學思維和實踐的基本經驗.

這就把傳統數學教育的“雙基”發展為“四基”，并且強調：“四基”的提出是在傳統的“雙基”的前提下，加上了基本思想和基本活動經驗，目的是通過數學的學習，學生不僅把數學作為一種技術和手段，還要學會思考，逐步具有數學抽象的能力和邏輯推理的能力.

例2(2014高考課標全國卷Ⅰ第8題)

解析本題是一道考查基礎知識與基本方法的好題，依據對公式的靈活使用，可得到幾種常規解法，這里僅舉一例.

sinαcosβ-cosαsinβ=cosα，

但若教學僅止步于此，可以看到，這樣的教學活動無法讓學生理解數學知識的本質，更不可能感悟數學的基本思想，形成和發展數學的核心素養.為此必須創設思想立意的活動，引領學生立意于思想解決問題.

在這里，“特殊與一般思想”的立意是問題獲得輕松解決的關鍵.正是由于“特殊與一般思想”的立意，我們“依據邏輯規則從特殊到一般與一般到特殊地進行推理”，將問題輕松予以解決，在這個過程中，邏輯推理等能力得到了發展.

在這里，“有限與無限思想”的立意是問題獲得輕松解決的關鍵.正是由于“有限與無限思想”的立意，我們“從事物的具體背景中抽象出了一般規律”，并依據規律將問題輕松予以解決，在這個過程中，數學抽象等能力得到了發展.

可見，“思想立意”能讓學生感悟知識所蘊含的數學基本思想，積累數學思維和實踐的經驗，同時提升和發展邏輯推理與數學抽象等能力，是基于“四基”的數學教學活動.

3 思想立意：數學核心素養的發展要領

由于數學核心素養是“四基”的繼承和發展，所以“四基”就是發展學生數學核心素養的有效載體，數學教學中應當引領學生立意于思想解決問題，在問題解決的過程中培養和發展數學核心素養.

3.1 立意“特殊與一般思想”，發展數學抽象、邏輯推理核心素養

通常在理解題目階段，需要對題目中的隱含條件和信息進行發掘，將抽象變具體，將隱含變清晰.

而如何將“抽象變具體、將隱含變清晰”呢？這就需要立意“特殊與一般、有限與無限”等思想，才能“從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構”，進而“從一般到特殊和特殊到一般地予以推理”，這是數學抽象和邏輯推理的前提.

例3(2010年高考新課標卷Ⅰ理科11題)

A．(1,10) B．(5,6)

C．(10,12) D．(20,24)

例4(2013年高考新課標卷Ⅰ理科11題)

A．(-∞,0] B．(-∞,1]

C．[-2,1] D．[-2,0]

解析本題按常規方法求解也較為繁瑣，若能立意于特殊與一般思想，同樣能從問題的具體背景中抽象出一般規律：“|f(x)|≥ax”對于變量x在R中的任意取值都成立，則可將變量特殊化予以求解，如取x=-1，得a≥-3，排除選項A、B；再取x=1，得a≤ln2，排除選項C，故正確選項為D.

評析可以看出，由于特殊與一般思想的立意，我們“從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構”，進而對問題“從一般到特殊和特殊到一般地予以推理”，從而將問題輕松予以解決.在這個抽象和推理的過程中，“數學抽象、邏輯推理”等核心素養得到了發展.

3.2 立意“有限與無限思想”，發展邏輯推理、直觀想象核心素養

如何引領學生思考“按照怎樣的線索、用什么方法去研究問題、解決問題？”這需要立意“有限與無限、數形結合”等思想，才能“感知事物的形態變化與運動規律”，進而“依據邏輯規則推出一個新的命題”，這是邏輯推理、直觀想象的基礎.

如上例3，若能立意于有限與無限思想，則能從問題的具體背景中感知出事物的形態與變化：b、c隨著a的變化而變化，a、b的變化具有無限性特征，它們可無限趨近于1，則可將變量極限化予以求解：令a→1，則f(a)→0，從而由f(b)=f(c)→0知b→1，c→12，abc→12，驗證選項即知正確答案為C.

例5(2015年高考新課標卷Ⅰ理科16題)

在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是________.

解析本題直接求解難度較大，若能立意于有限與無限思想，則能從問題的具體背景中感知出事物的形態與變化：動點D的變化具有無限性的特征，它可無限趨近于點A，也可無限趨近于點C，則可將問題極限化予以求解：

令D→A，則∠B=∠C=75°，∠A=30°，

令D→C，∠A=∠B=75°，∠C=30°，

評析可以看出，由于有限與無限思想的立意，我們“感知出事物的形態變化與運動規律”，進而對問題“從一般到特殊和特殊到一般地予以推理”，將問題輕松地予以求解.在這個直觀和推理的過程中，“邏輯推理、直觀想象”等核心素養得到了發展.

3.3 立意“函數與方程思想”，發展數學建模核心素養

如何引領學生思考“面對一個新的研究對象，從哪些角度發現和提出值得研究的問題？”這需要立意“函數與方程、化歸與轉化”等思想，以便“發現模型、構建模型，進而借助模型解決問題”，這是數學建模、數據分析的關鍵.

如上例5，若能立意于函數思想，則能從數學的視角發現這是最值與取值范圍問題，應構建出關于目標函數的函數模型，問題不難獲解.

為此，不妨設∠BAC=θ，則∠BCA=105°-θ，

由θ<75°及105°-θ<75°知30°<θ<75°.

從而知

例6(2010年高考新課標卷Ⅰ文科16題)

在△ABC中，D為BC邊上一點，BC=3BD，

解析本題是三角形求解問題，無論在哪個三角形中都因條件不足無法直接運用通法“知三求三”予以求解.

若能立意于方程思想，則能從數學的視角發現這是變量求解問題，應構建出關于這個變量的方程模型，問題不難獲解.

為此，可設BD=x，則DC=2x.

在△ADC中，由余弦定理得

化簡得b2=2+4x2-4x.

在△ADB中，由余弦定理得

化簡得c2=2+x2+2x.

所以2+4x2-4x=2(2+x2+2x)，

評析可以看出，由于函數與方程思想的立意，我們“從數學的視角發現問題、提出問題、分析問題”，進而“構建模型、求解結論”，將問題輕松予以求解.在這個抽象和建模的過程中，“數學建模、數學抽象”等核心素養得到了發展.

4 結束語：“立意”恒久，“素養”終成

經驗之中有規律，是我們認識問題的一般過程和方法，也闡明了一個簡單但很深刻的教學原理：經驗是具體的，規律則是抽象的.規律不是從天而降的，而是從具體經驗中經過不斷歸納、概括才能得到的.

如何才能培養學生“從經驗中發現規律”的能力呢？這需要培養“思想立意”的意識與習慣，養成“從一般規律的高度考察具體事例”的意識和“透過現象看本質”的習慣.

這是觀念問題，是思維習慣問題，也是思想方法問題.這是一個長期的、潛移默化的過程，是逐漸養成的一種思維習慣，這個習慣日積月累就形成了數學素養.