高三年級學生邏輯推理能力與數學學業成績的關系研究

端木彥 孔德鵬 黃智華

(南京航空航天大學附屬高級中學 210007)

1 問題的提出

推理，是思維的基本形式之一，是由一個或幾個已知的判斷(前提)推出新判斷(結論)的過程．邏輯推理，分為演繹推理與合情推理兩類，合情推理又包括類比和歸納．所謂演繹推理，就是從一般性的前提出發，通過推導即“演繹”，得出具體陳述或個別結論的過程，突出從一般到特殊的推理．關于演繹推理，還存在以下幾種定義[1]：①演繹推理是從一般到特殊的推理；②它是前提蘊涵結論的推理；③它是前提和結論之間具有必然聯系的推理．④演繹推理就是前提與結論之間具有充分條件或充分必要條件聯系的必然性推理．所謂合情推理，就是一種比較自然的、合乎情理的，似乎為真的推理，它是根據已有的數學事實和正確的數學結論，或以個人數學經驗(數學實驗或實踐)和數學直觀進行推測而得到某些結果的一種推理，常表現為憑直觀和聯想、直觀或直覺等非邏輯思維形式，通過觀察、實驗、歸納、類比，特殊和一般等方法直接獲得某種數學結論[2]．

《普通高中數學課程標準(2017版)》把邏輯推理定為6大數學核心素養之一，足見其重要性．對學生數學推理能力的研究，課題組黃智華、渠東劍老師將其總結為以下三類：對比分析研究；對數學推理的認知、心理研究；推理能力及其培養的研究[3]．他們以南京市6所高中為調研對象，獲得了一些結論：①高中學生的邏輯推理處于中等水平，高中學生的類比推理水平處于低級狀態；②邏輯推理在不同年級間無顯著性差異，而假言推理、歸納推理和類比推理存在顯著性差異；③高一與高二、高一與高三假言推理能力存在有顯著性差異，高二與高三假言推理能力無顯著性差異；類比推理能力在三個年級之間都有顯著性差異；歸納能力在三個年級之間無顯著差異；④男生的邏輯推理及其各維度測驗的平均分均比女生高，且在邏輯推理上男女之間存在著顯著差異．男女生在演繹推理上沒有顯著差異；在假言推理，命題演算和類比推理上，男女生都存在顯著差異[3]．

關于邏輯推理能力與學業成績之間是否存在聯系，通過查閱相關文獻發現已有一些研究成果．田中等對4～7歲兒童研究的結論是，推理能力的認知成績的快速提升期是7歲—7歲5個月(初入學)[4].張軍翎得出不同學業成績中小學生的邏輯推理能力存在不平衡性差異：與優秀生相比，中等生的邏輯推理能力明顯落后；與中等生相比，困難生的邏輯推理能力顯著偏低；邏輯推理能力對學業成績具有較高的預測性[5]．張潮對中小學五個年級的674名學生的研究得出：小學四年級是邏輯推理能力發展的一個值得關注的非常時期，不同學業成績(優中差)的中小學生邏輯推理能力存在顯著差異，邏輯推理能力與數學成績相關顯著，對中小學生的學業成績具有較高的預測性[6]．曾超的結論是：①高二理科生的數學推理能力好于高二文科生；②高二男生的數學推理能力整體上優于高二女生；③高二學生的合情推理能力強于演繹推理能力；④高二學生在平面幾何、解析幾何、空間幾何三大問題的推理能力上表現較弱[7]．郭俊楠的結論是：①高三年級的學生數學推理發展水平存在差異性，理科生比文科生強，男生比女生強；②合情推理與演繹推理能力發展不均衡，合情推理能力明顯比演繹推理能力要強；③高三年級學生對于合情推理和演繹推理的區分能力欠缺[8]．

從研究對象上來看，現有的研究大都分布于幼兒園、小學、初中和高中各個年級，能夠較好地反映學生推理能力變化的規律性、發展性和整體性．但是，研究的不足是研究對象年齡跨度較大，并且有的結論過于久遠(距今有10年以上)，研究缺乏集中性、適時性和時代性．既然邏輯推理是核心素養，那么當下高中三年級(準高考生)的邏輯推理能力如何，與數學學業水平的關系怎樣？本研究正是本著這樣的初衷，以邏輯推理能力與高三學生的數學學業成績的相關性為目標進行研究，從而為培養邏輯推理能力促進考生數學學業成績進步提供實證依據．

2 研究方法

2.1 對推理能力水平的分析

我們研究了國內外已有的推理能力測試問卷、公務員考試真題等，結合課本內容編制試題．為了保證調查結果的科學性和客觀性，我們盡可能回避與高考內容直接相關的選題．同時，因臨近高考，為免過多占用學生時間，我們調整了題量和難度，最終測試10道題，包括6道選擇題、3道填空題和1道解答題．其中類比推理2題、歸納推理4題、演繹推理4題．作為分值最高的一道測試演繹推理能力的解答題，兼含分類討論、數形結合等數學思想方法的考查，故答案形式不限，按作答要素得分．

數據采用SPSS15.0 for windows進行處理和分析，先對調查問卷作了信度檢驗，對測試數據的同質性信度進行分析，內部一致性系數即α系數為0.576，表明測試卷具有較高的信度．然后采用相關分析、回歸分析和獨立樣本T檢驗對高三年級學生邏輯推理能力和數學學業成績進行分析和檢驗．

2.2 抽樣測試與訪談

在2018年5月對南京市區某四星級高中高三年級學生進行了測試，總體樣本157人．

為了保證測試的有效性，我們規定了“用時相同”、“獨立完成”、“注明性別、文理選科”的測試要求．同時選取被試者在高三學年內參加的南京市四次統考成績的平均值作為對應的學業成績．

測試結束后，隨機抽取若干名被試，由測試人進行個別訪談，并記錄學生作答時的思路和想法．

3 測試統計與抽樣訪談結果

3.1 高三年級邏輯推理能力與數學學業成績的相關分析

表1 邏輯推理能力與數學成績的相關性

**.在.01 水平(雙側)上顯著相關

由表1可以看出：高三學生的推理分數與學習成績之間的相關系數是0.267，相關系數大于0.05，且在0.01水平上呈顯著相關．說明高三學生的邏輯推理與學業成績之間有著密切的關系．

3.2 高三年級邏輯推理能力與數學學業成績的回歸分析

以高三學生的推理成績作為自變量，各階段數學成績的均值作為因變量作回歸分析，結果如表2：

表2 推理能力與數學成績的回歸分析

a.預測變量: (常量), 推理分數

Anovab

a.預測變量: (常量), 推理分數
b.因變量: 成績均值

系數a

a.因變量: 成績均值

由表2可以看出：

(1)在“模型匯總”中，R是推理成績與成績均值的相關系數，R方是因變量均分的變異中被回歸方程解釋的比例，即高三學生的數學成績有7.1%是由推理能力引起的．

(2)在“方差分析表檢驗模型”中，p=0.001<0.05，表明回歸顯著，回歸方程具有良好的代表性．

(3)“回歸系數及檢驗表”反映了回歸系數和各系數的顯著性檢驗，p=0.000，p=0.001，表明推理能力對學生數學成績的影響顯著．

回歸模型的方程為：y=91.379+0.285x．

這個結果表明，高三學生的邏輯推理水平對數學學業成績有預測作用，邏輯推理能力對學業成績有直接的影響作用．

3.3 文理科邏輯推理能力的獨立樣本T檢驗

觀察表3“方差方程的Levene檢驗”中，Sig=0.679>0.05，表示方差沒有差異，即方差相等，此時選擇假設方差相等一行的數據作為檢驗結果，即觀察“均值方程的t檢驗”Sig的值，而此時Sig=0.131>0.05，這表示文科和理科的學生在邏輯推理能力上沒有顯著性差異．

表3 文理科邏輯推理能力的獨立樣本檢驗

3.4 男女生的獨立樣本T檢驗

由表4可以看出，“方差方程的Levene檢驗”中，Sig=0.741>0.05，表示方差沒有差異，即方差相等，此時選擇假設方差相等一行的數據作為檢驗結果，即觀察“均值方程的t 檢驗”Sig的值，而此時Sig=0.000<0.05，這表示男生和女生在邏輯推理能力上存在顯著差異．

表4 男女生的獨立樣本檢驗

表5 男女生在三個維度上的獨立樣本t檢驗

3.5 高三年級推理高分組和推理低分組的數學學習成績獨立樣本T檢驗

計算高三年級推理成績的均值和標準差，得到均值為31.8981，標準差為9.78499．按照學生的推理得分分組，高于均分加標準差的為高分組(A組)，低于均分減標準差的為低分組(B組)，然后將兩組的數學學習成績作T檢驗，得到下面表6．

表6 高分組和低分組成績獨立樣本檢驗

觀察“方差方程的Levene檢驗”中，Sig=0.548>0.05，表示方差沒有差異，即方差相等，此時選擇假設方差相等一行的數據作為檢驗結果，即觀察“均值方程的t 檢驗”Sig的值，而此時Sig=0.001<0.01，這表示高分組和低分組的學生在數學學習成績上有顯著性差異．

3.6 抽樣訪談結果

共抽取高分組10人和低分組10人(其中文科9人，理科11人，男生12人，女生8人)，進行個別訪談，逐題請學生說明作答理由．

高分組都表現出典型的邏輯推理水平，錯誤歸因中“粗心”出現占比較高．比如在回答20183的“分裂”中最大的數時，高分組絕大多數都已得出20182+2017的正確答案，但在繼續計算其最簡結果時產生錯誤．相對地，低分組的作答理由多為“列舉、數出”或是“猜的”，錯誤歸因中，認為自己“概念模糊”的人數較多．例如，“等差數列”中的“和運算”應該與“等比數列”中的何種運算進行運算結構類比？齒輪的“逆時針”旋轉究竟是哪個方向？“復數”與“負數”究竟是什么關系？等等．

也有一些錯誤比較特別．

學生A(低分組，文科，女生)

問：22018的個位數字為什么選擇了6？(考查歸納推理，正確答案是4)

答：我記得28的個位數字是6．

問：為什么認為22018與28的個位數字是一樣的？(應由周期性發現其個位數字與22一致)

答：我用了類比推理．

可見，樣本對推理是有些感受的，但是拘于表面相似性識別聯想，未進行實質分析．她認為自己運用了類比推理，殊不知實際還是歸納推理，只不過缺少了特殊到一般的歸納過程，而是憑感覺猜想周期．猜想是尚未辨明真假的數學敘述，它的正確與否需要演繹推理加以證明，而這恰是高分組與低分組被試在解題思路和科學精神上的一個明顯差異．

學生B(高分組，理科，女生)

問：為什么在完成第10題時，將原先的分類想法都杠去了？(題為“過一點作一條直線，如何平分平面內的三角形？”)

答：我當時覺得點的位置不確定，就先把所有可能性都寫出來了．

問：你原本分了點為頂點、點在邊上、點在形內、點在形外四種情況．

答：對，但是我在解決“點在形內”時，發現還要二次分類討論，覺得不對了．

本題是基于分類討論思想的演繹推理題．其實無論點在形內、形上、形外，本質只分為兩大類：若點在某邊中線所在直線上，則該直線即為所求；若點不在任意一邊中線所在直線上，則應根據面積公式作出滿足相應線段比例關系的直線．在高中數學學習中，演繹推理更多的表現為學生在解決問題時的一種思考方法，隨著演繹推理能力的提升，學生能夠更加熟練地進行透視本質的科學思維，或是創造性地解決問題．可以說演繹推理是學生進行深度思考時的心理學基礎．

學生C(高分組，理科，男生)

問：保持長方體容器的一邊固定于地面上，再將容器傾斜，為什么你認為水面四邊形的面積不改變？

答：我當時把礦泉水瓶子擺了一下，覺得水面橢圓的面積就是固定的．

問：只是形狀保持為橢圓吧，一旦改變傾斜角度，面積也會改變．

答：啊？我沒看到這個條件．(題中有條件“隨著傾斜度的不同”)

樣本在解決問題時已經自覺使用了由抽象到具體的分析方法，表面看來，犯的是“粗心”的錯誤，與推理能力無關．但是對題中反復出現的“隨著”、“當”、“始終”、“定值”等等詞語的加工轉化能力缺失，可能影響到推理能力的測評結果，也可以認為這表現出某種語義形式方面推理能力的欠缺．

從訪談結果看，所有對象均具備一定的推理能力，其中男生歸納推理能力較強于女生，類比推理能力無明顯差異．演繹推理能力在文理科無明顯差異，但男生略高于女生．演繹推理在高分組和低分組差異最為明顯，與學業成績相關度較高．

4 分析與討論

4.1 合情推理能力

通過進一步對男女生在三個維度上進行獨立樣本t檢驗(表5)，我們發現，歸納維度在0.01水平存在顯著差異，說明高三學生中男生較女生更擅于運用歸納推理處理問題．歸納推理與被試的知識經驗有著密切的關系．已有的許多研究表明：當人們缺乏歸納推理任務中所需要的知識時，通常會根據客體、事件等之間的相似性來進行歸納推理；一旦人們獲得了相關的知識，知識在歸納推理中的作用就會凸顯出來．研究提示：教學中教師可以適當對女生作針對性引導，幫助女生形成歸納推理思維習慣，提升推理能力．

分析顯示：高三學生類比推理能力不存在性別顯著差異．結合訪談發現，文理科差異也不具有顯著性意義．同時，訪談中也發現，低分組被試受限于信息貯存量及信息加工技術，習慣于語詞聯想法獲取結果．高分組被試受益于認知策略，可以推斷出因果、并列關系，整體/部分、包含關系，類比對象間相互作用維度等要素后獲取正確結果．

高中數學教材中的定理，往往通過合情推理引出，再由演繹推理進行論證．相較于初中教材設計，更符合學生的認知特點，也符合從特殊到一般的認知規律．“探索是數學教學的生命線”，在問題解決的教學中，教師也不妨多借由歸納推理和類比推理探索解決問題的思路和方向，繼而借助演繹推理論證猜想．

結合以上分析，對于合情推理教學提出如下思考．教學中適度鼓勵學生采用通過合情推理獲得初步結果后再行證明的思維方式．指導學生通過與條件或結論相似的題型進行形式與實質的類比，進行解題思路的遷移．同時教師應關注學生進行合情推理的寬度和精準度．

4.2 演繹推理能力

我國學者李丹、方富熹和胡竹菁等人和國外學者伍德沃斯、斯滕伯格和德索托等人對演繹推理做出的研究發現，經過幾次飛躍，演繹推理能力在高中階段已經趨于成熟．演繹推理能力不僅與推理形式和規則有關，也與學生的知識程度密切相關．

表5顯示，男女生演繹維度在0.05水平有顯著差異．通過訪談，我們還發現，高分組與低分組在演繹推理能力上的差異主要表現在：1.對材料迅速而準確的抽象概況能力；2.用簡捷的結構進行思維的能力；3.在邏輯推理過程中的自省能力．

以上分析為演繹推理教學提供了一些啟示．加強數學活動過程教學，注重學生思維過程中的暫停和后續，引導學生關注每個邏輯段的邏輯聯系，有意識的進行相關聯想．在材料的選擇上，要將符號語言與文字、圖形材料等表現形式結合起來進行推理訓練．

5 結論

本次研究得到以下結論：

(1)高三年級學生邏輯推理能力與數學學業成績之間存在密切聯系；邏輯推理水平對數學學業成績有預測作用，邏輯推理能力對學業成績有直接的影響作用.

(2)文科和理科的學生在邏輯推理能力上不存在顯著性差異；男生和女生在邏輯推理能力上存在顯著性差異.

(3)邏輯推理能力的高分組和低分組的學生在數學學習成績上存在顯著性差異.

(致謝：本研究在喻平教授團隊的支持下完成，特別感謝韓鈺穎和倪霞美兩位研究生在數據處理方面所做的工作)