數學教學如何突出數學本質

石志群

(江蘇省泰州市教研室 225300)

數學教學要突出學科本質是所有數學教育工作者的共識，為什么要突出學科本質？如何突出數學的學科本質呢？這是值得我們思考和研究的基本問題.本文是筆者對這個問題的個人認識，只是一孔之見，不當之處，敬請指正.

1 一個案例

“橢圓的基本性質”是高中數學的基本內容，也是各種公開課經常選擇的教學內容.從筆者所了解的情況看，由于對上述兩個問題的認識不到位，導致出現了教學定位的偏差，從而導致教學路徑的反向：大多數教師引導學生根據已有經驗(研究函數性質的經驗)，先確定研究方向：定義域、值域、變化趨勢、對稱性等，再通過圖形觀察猜想相關性質，最后用橢圓的方程加以證明(或驗證).

筆者認為，“橢圓的基本性質”一課的教學定位應該是：根據橢圓的方程研究橢圓的性質？基于這樣的認識，這節課剛開始時就不應該畫出橢圓的圖形，而是從橢圓的方程進入新的學習過程：

1.問題情境：我們已經用解析法研究了直線、圓的幾何性質，初步了解了解析幾何的基本思想：用代數方法研究幾何問題(板書：幾何代數).它包含兩個方面：將幾何對象代數化(板書：曲線方程)，即將曲線用方程表示；通過曲線方程研究曲線的幾何性質(板書：曲線方程).最近，我們學習了橢圓的定義，并求出了橢圓的標準方程(板書：如何通過橢圓的標準方程來研究其幾何性質呢？

2．數學建構

教師：因為曲線的幾何性質是由曲線上的點所具有的特性決定的，所以，解析幾何的思想就是將曲線上的點所具有的特性轉化為對方程的解的特性進行研究.

(板書：

……

從上例可以看出，教學的定位是進行教學路徑選擇的基本依據，而教學路徑的確定又是正確設計教學過程的前提，而這一切均取決于教學內容的數學本質.違背了教學內容的學科本質，就不可能有效實現數學教學的價值.哪怕看上去是那么的“遵循”了常規與習慣.

2 數學教學如何突出數學本質

本質，本意是指本身的形體，本來的形體，引申為事物本身所固有的根本的屬性.從哲學角度看，本質是事物存在的根據，是某類事物區別于其它事物的基本特質.通過事物的本質可以知道了這個事物在整個事件中的作用和運作規律.因此，“數學本質”就是指數學內容本身所固有的根本屬性，是本數學內容區別于其它學科內容的基本特質.從價值功能的角度看，數學內容的數學本質決定了該內容在解決相應的數學問題時其運用方法、規律及作用.根據上述分析，筆者認為，數學教學突出數學本質就是要突出地體現數學內容在以下幾個方面的特質.

2.1 突出數學本質就要充分揭示數學內涵

數學內涵是指一個數學概念所反映的數學對象的本質屬性的總和，也就是數學概念的核心內容，因此，內涵是本質的，數學內涵一定反映數學本質.

傳統的數學教材是先給出奇偶函數的定義，再研究它們的性質(圖象對稱性)，現行教材為了突出提出問題的過程，加強探究性，普遍是先有對稱性，再提出研究課題.至于是否“欣賞”自然界、藝術作品中的對稱圖形，筆者認為不是很重要的問題，而數學內容的邏輯關系倒需要引起重視：是從對稱圖形上發現f(-x)與f(x)的關系，還是研究因為具有這樣的關系才導致圖形的對稱性？這是函數奇偶性的內涵的關鍵之所在！

在這個課題中，我們需要明確的是：為了刻畫圖象的對稱性，我們引入了函數的奇偶性的概念，而函數奇偶性的概念作為知識的整體由兩部分構成：滿足這樣的條件的函數叫奇(偶)函數(概念)；奇(偶)函數的圖象關于原點(y軸)對稱(性質).如果不能明確這個邏輯關系，就不可能正確認識函數奇偶性的內涵，從而使對知識的數學本質產生誤解甚至錯亂.

數學教學中此類問題不在少數，比如，講“函數的單調性”時，明明是從單調增函數的圖象“發現”其滿足“對區間上任意的x1

邏輯順序是數學概念內涵的非常重要的方面，教學中要準確地揭示其“數學本質”.

2.2 突出數學本質就要全面審視數學體系

數學教學內容的數學本質通常寓于數學知識的結構體系之中，只有從知識體系的整體架構上進行考察，才能準確把握其數學本質.

“平面的基本性質”是研究平面性質的嗎？從標題上看有些像，但看到具體內容的“標記”就會發現這個理解是錯誤的，因為它們分別被標以“公理1”、“公理2”、……，公理是規定的，在數學知識結構體系中顯然不屬于“性質”的范疇.如果對教學內容的數學本質搞偏了，教學定位就會出錯，教學路徑與教學過程也就不可能對路，這就是為什么我們讓學生探索平面的性質時，學生根本無法操作(除非直接看教材)的原因所在.那么，“平面的基本性質”的數學本質是什么呢？無論是歐幾里德的《幾何原本》，還是希爾伯特的《幾何基礎》，這些公理都是用來定義點、直線、平面等幾何元素及其之間關系的，也就是說，滿足了這些公理的數學對象就叫做點、直線、平面(歐氏幾何).不同的公理體系可以定義不同的幾何類別(歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何……)，不同類別幾何中的點、直線、平面的意義是不一樣的，這種區別就是因為公理(或部分公理)的不同而決定的.

我們學習的歐氏幾何中的點、直線、平面雖然沒有數學化的標準定義，但其描述性的定義還是有的，如點沒有大小，直線沒有粗細、筆直的、可以無限延長，平面沒有厚薄、平、可以無限延伸.因此，這里的公理的功能就是用來刻畫歐幾里德幾何中何為點、線、面，而刻畫的方法就是用它們之間的關系進行，于是從點與面、線與面、面與面三個角度進行刻畫就自然地確定了，它們分別對應于公理3、公理1和公理2.

有了這樣的認識，這部分內容的教學定位就得以確定：不是研究平面的性質，而是尋找刻畫平面的平、沒有厚薄、無限延伸等特點的“公理”，教學路徑就是分別從點與面、線與面、面與面的關系進行刻畫.教學過程也就自然地清晰了，比如，“公理1”(如果一條直線上有兩個點在一個平面內，那么這條直線上的所有的點都在這個平面內.)的教學可設計如下：

首先，通過寧靜的水面、標準的乒乓球臺的表面、鏡面等形成平面的初步“意象”，概括出平面的3個特性(特征)；

其次，提出學習任務：如何通過已經學習過的點、直線、平面之間的關系，建構刻畫平面的這3個基本特性的數學模型？并引導學生明確三個路徑：直線與平面、平面與平面、點與平面；

第三，運用學生的已有知識基礎(初中幾何的學習使學生已經知道了：直線沒有粗細、筆直的、無限延長(沒有端點或終點))探索，如何用直線與平面的關系刻畫平面的3個特征.如果需要，可以用木匠檢測桌面是否“平”的方法進行啟發，讓學生自己抽象、概括出公理1的內容；

第四，反思：“公理1”怎樣刻畫了平面的3個基本特性？(“直線上所有點都在平面內”，由直線的無限延長的特性得到平面的無限延伸的特性；由直線的“直”說明了平面的“平”.)

對公理2、公理3都可以采用上述流程實施教學過程.如公理2“如果兩個平面有一個公共點，那么這兩個平面相交于過這點的一條直線”，由“相交于一條直線”可以推出“無限延伸”、“平”、“沒有厚薄”3 個特性.

2.3 突出數學本質就要深入分析數學思想

數學學科由很多不同分支構成，這些數學分支除了具有數學的一些共同的思想外，不同的數學分支又有其獨特的基本思想方法，這種思想方法的獨特性決定了它們在培養學生數學素養、數學觀念方面的不同作用.數學教學要突出教學內容作為數學的學科分支所具有的獨特的基本思想，比如，解析幾何教學就要突出“用代數工具研究幾何圖形性質”的基本思想，因為我們上的是解析幾何課.上文中的“橢圓的基本性質”一課充分說明了這一點.

能夠發現x有怎樣的特性？(實數的特性就是其取值范圍的限制)這個特性的幾何意義是什么？(反映到圖形上，有怎樣的性質？)

……

也就是說，要圍繞解析幾何的基本思想，始終從方程出發，發現代數上的限定、關系、特性、規律，再進行幾何解釋，得到曲線(圖形)所具有幾何性質.這才是真正意義上的解析幾何課.

當然，從單個坐標到點的坐標、從坐標到方程，這種從簡單到復雜的研究路徑也是數學思維的常見方式，需要在教學中加以滲透.

2.4 突出數學本質就要注重凸顯內在關聯

數學本質通常體現在數學知識的內在關系之中，凸顯數學知識內容之間的關聯，就能揭示出教學內容的數學本質.

在一次省級優課評比活動中，課題是“三角函數誘導公式”，某教師這樣導入新課：如何求sin390°的值？對于手握現代技術的學生而言，這絕對不是個難題，也不需要所謂的誘導公式；從數學價值和其對學生數學素養的發展看，這種實用性的問題會降低教學內容的教育價值；從數學知識的內在聯系、數學的整體結構的規律看，這種孤立的問題無法促使學生從整體上、結構上認識數學；……總之，這是一個意義不大的“問題”.

我們可以這樣提出本節課的主問題“我們剛剛建構了刻畫周期現象的數學模型(或者：我們知道，三角函數是刻畫周期現象的數學模型)，那么，它是怎樣來刻畫周期現象的呢？它有著怎樣的性質呢？”這是從知識之間的整體結構上提出問題的，是對我們前期數學建構的成果的進一步確認，也是數學研究中必須要經歷的步驟：我們所建構的數學模型是否達到了當初的設想？這樣的數學模型具有哪些性質？

誘導公式1揭示的是三角函數確實是刻畫周期現象的數學模型，借助單位圓這個原型，從點的周期性運動，到角的周期性運動，再到三角函數的周期性變化，就形成了內在關聯的整體，三角函數刻畫周期現象的本質就顯得非常明了了.當然，kπ+α(kZ)與α的正切函數之間的關系與公式1有著類似的特點.

其它的幾個誘導公式都是分別從單位圓上點的不同的對稱關系，揭示了這些對稱關系的幾何表示(具有對稱關系時對應的角)與代數表示(終邊過這些點的角的三角函數)的關系，因此，誘導公式實質是將終邊對稱的圖形關系“翻譯”成三角函數之間的代數關系.

歸結起來，所有的誘導公式都是對我們選擇的作為研究周期現象的數學原型：單位圓的基本性質的代數化研究(單位圓的幾何特征的代數表征).這樣，三角函數誘導公式的知識結構框架就建立了，知識的內在關聯就明確了，所以，其數學本質也自然就得到揭示.

上述分析說明，三角函數誘導公式既是刻畫周期性現象的數學模型這一工作的自然延續(與任意角三角函數概念的聯系)，又是對研究的原型(單位圓)與建構的模型的關系的揭示，整個過程是由數學研究的“基本套路”決定的.

明確了上述問題，本節課的教學定位、教學路徑及教學過程就一目了然了.

2.5 突出數學本質就要努力挖掘知識背景

數學內容的產生都是基于一定的現實或理論背景的，即知識的生長點(種子)，是知識系統之根(種子生根于土壤，才能形成生命這樹).生命之樹源自種子，生于根基，因此，種子與根基自然地就決定了生命的根本屬性，從數學來看，就是數學本質.數學教學需要揭示內容的背景，只有這樣，才能揭示必要性、合理性，才能讓學生認識到其本源所在，本質所指.

最近看到章建躍先生的一本書[注]章建躍.數學教育隨想錄[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017，6，章先生對目前各地中考試卷中關于二次函數綜合試題的評價非常中肯，這些胡編亂造的所謂“能力”題，完全背離了函數的數學本質，其對教學的導向非常有害.

盡管數學中有很多人為編造的函數(如著名的“狄里克雷函數”)，但在函數概念形成之初，它是基于描述或刻畫一個變化過程中的兩個變化狀態之間的關系的需求的，通過將狀態的數量化，得到兩個變量之間關系的數學模型，即函數模型.即使是數學中的一些著名的、人為編造的函數，都是數學家們基于一定的目的，用以完善數學知識結構的產物.因此，數學教學就應該充分地揭示函數的這一背景，以通過背景揭示函數概念的數學本質.

為此，函數概念的教學不應該從幾個具體函數例子(如解析式給出的、表給出的及圖象給出的)，讓學生研究它們的共同特征(學生很難知道為什么要研究它們的共同特征，也不具備概括、提煉共同特征的能力)，而應該給一個具體的背景性的應用性問題，如：如何知道水庫里的蓄水量？水庫工作人員是根據什么知道水庫蓄水量的？借助水庫里的標示水位的桿子啟發學生：只要知道了水位，就可以知道蓄水量，然后提出問題：為什么知道了水位就能確定蓄水量呢？這里的蓄水量與水位有著怎樣的關系呢？

通過這個問題的研究，學生就能夠弄清函數概念的本質：單值對應，而且對要求具有“單值對應”特征的原因有了充分的認識.

當然，現實的情況是，怎么教還取決于怎么考，所以，章先生批評甚至可以說是批判的考試命題的問題同樣影響著數學教學對數學本質的追求.從目前看，在這方面情況并沒有好轉，并有愈演愈烈之勢.這是很令人擔憂的.

以上討論了數學教學中突出數學本質的問題，還很不全面，甚至可能有的觀點很值得商榷.但筆者以為，數學教學必須堅持突出數學本質，因為我們是在教數學，是在發展學生的數學素養，并通過其達成立德樹人的根本目標.