針對衛星動中通伺服系統辨識的輸入信號設計*

宋欽良，賈維敏，袁 丁，江弘杰

(火箭軍工程大學， 西安 710025)

0 引言

衛星動中通系統是一種廣泛應用于現代戰爭通信、自然災害應急通信、治安管理通信等的寬帶移動通信系統。衛星動中通系統除擁有傳統的固定式衛星通信的優點外，還可以在載體運動過程中實時與衛星進行通信。衛星動中通伺服系統正是支持其在運動中時刻與衛星對準的關鍵系統之一[1]。

隨著衛星動中通技術的廣泛應用，為適用不同領域的需求，使得動中通天線口徑大小不同，從而導致了伺服系統的負載不同。而伺服系統的參數整定效率嚴重制約了動中通整機系統的研發和調試效率，因此提高動中通伺服系統的通用性是非常迫切的。

在衛星動中通伺服系統中引入系統辨識，一方面可以提高動中通系統的研發效率，大幅度降低調試時間；另一方面，基于系統辨識結果，可以獲得更好的控制參數，從而提高控制效果[2]。由此可見，對伺服系統進行辨識在提高系統的通用性和控制性能等方面具有重要的意義。

1 動中通伺服系統設計方案

針對衛星動中通伺服系統功能的設計需求，本方案主要以STM32F407嵌入式系統為核心，實現信息交互、系統辨識以及對整個控制器的控制功能；通過電流傳感器和角速度傳感器采集相關信息，并存儲在EEPROM中，作為系統辨識的直接依據；使用LM5018實現降壓功能，對外界輸入的介于20 V到75 V之間的電壓都能直接降至15 V，并進一步降壓至5 V，為整個系統提供穩定的電源。本方案硬件結構如圖1所示。

2 最小二乘法系統辨識的原理

系統辨識的本質是通過對系統輸入和輸出信號的分析，獲得能夠在最大程度上反應系統特性的數學模型。在系統辨識和參數估計領域，最小二乘法已經是一種基本的重要估計方法，其既可以應用于離線辨識也可以應用于在線辨識;且利用最小二乘法原理擬定的辨識算法在實施上比較簡單，適合應用在嵌入式系統中[3]。

圖1 系統硬件結構圖

對于一個含有噪聲的單輸入單輸出系統，其差分方程可以表示為:

y(k)=ψT(k)θ0+e(k)

(1)

為了采用最小二乘法進行參數估計，利用式(1)構建如下模型:

Y(N)=ψ(N)θ+ε(N,θ)

(2)

式中：

Y(N)=[y(n+i)y(n+i+1) …y(N+i)]

(3)

ψ(N)=[ψT(n+i)ψT(n+i+1) …ψT(N+i)]T

(4)

θ=[a1…anb1…bn]T

(5)

(6)

(7)

通過對式(7)求解，可獲得系數矩陣的結果為:

(8)

另外，利用最小二乘法進行系統辨識所需的數據相對較少，只需保證N-n+1>2n即可實現系統參數的辨識，其中n為被辨識系統的階數。在此前提下，有效數據越多，其辨識結果越精確。

3 衛星動中通伺服系統辨識輸入信號的選擇

在使用最小二乘法辨識時，通常選用偽隨機M序列作為輸入信號，單純從算法效果的角度來分析，辨識結果能很好的反映真實系統的基本特性。但對于衛星動中通伺服系統來講，由于伺服系統所驅動執行機構(直流力矩電機)的性能參數差異較大，特別體現在電機的死區方面和減速齒輪之間的齒隙問題，使用M序列作為系統的輸入時，對于不同的電機需要進行特別的分析討論，否則，極有可能使得采集到的大多數數據落在電機轉動的非線性區間中，對辨識結構造成難以估計的錯誤。

出于工程實踐的需要，在衛星動中通伺服系統中，我們希望進行系統辨識時所設計的輸入信號盡可能簡單且易于產生。然而由于最小二乘法算法具有一定的特殊性，直接使用某一固定電平(即常值序列)作為輸入信號時，該算法無法獲得數值解，因此需要通過分析最小二乘法對輸入信號的要求，設計出簡單且合理的輸入信號。

3.1 最小二乘法對系統輸入信號的要求

[yu]

(9)

(10)

根據正定矩陣的性質，要求ψTψ正定，則必須保證uTu正定。這個條件稱為n階持續激勵條件，很明顯，當{u(k)}為常值序列時，uTu為奇異陣，不滿足持續激勵的條件[4]。

3.2 階躍信號用作為最小二乘法輸入時的限制條件

實質上，我們更希望使用階躍信號作為系統的輸入信號。一方面，階躍信號便于產生，僅需確定階躍點和信號幅度就可以完全確定階躍信號的全部數據；另一方面，只要階躍信號的幅值不超過伺服系統中直流電機的額定工作范圍，電機始終工作在一個逐漸加速至穩定運行的過程中，采集到的數據可靠性更高。

對于階躍信號通常可以表示為:

(11)

衛星動中通伺服系統為典型的二階系統，對于二階系統，n=2，令i=1，可以得到:

(12)

將f代入可以得到：

(13)

當K=0或N-K-1=0時，f為常值序列，顯然不滿足持續激勵條件。當K≠0且N-K-1≠0時，有

(14)

很明顯，uTu正定。即階躍信號在不全為0或者全為1時，滿足作為二階系統的持續激勵條件，可以用作二階系統使用最小二乘法辨識時的輸入信號。

下面分析n(n>2)階系統，同樣取i=1可以得到：

(15)

將f代入可以得到：

(16)

進一步可以求得：

(17)

對于式(17)進行初等變換可以得到[5]：

(18)

顯然uTu正定。當然以上表示方式未包含矩陣中有全0行和全1行時的兩種特殊情況。對于這兩種特殊情況，必須另作討論。

當矩陣中存在全0行時，可以很容易的求得，uTu中必定存在全0行，從式(16)可以得到，此時恰好滿足條件N-K-n+1=0，即K=N-n+1，那么通過計算式(17)不難發現，此時的uTu最后一行和最后一列均全為零，不滿足uTu正定的條件；當矩陣中有且僅有一行全1行時，從式(16)可以得到，此時恰好滿足K-n+1=0，即K=n-1，此時uTu經初等變換后仍適用于式(18)，即滿足uTu正定的條件；當矩陣中有兩個全1行時，uTu可以表示為：

(19)

(20)

顯然uTu中有兩行完全一樣的數據，即uTu不滿足正定條件。同理可以證明，當矩陣中有n(n>2)行全1行時，uTu中將會含有n行完全相同的數據，即當矩陣中具有兩個或兩個以上的全1行時，uTu不滿足正定條件。

通過以上證明了解到，使用最小二乘法進行系統辨識時，可以使用滿足特定條件的階躍信號作為系統的激勵信號。這個特定條件可以描述為：

在對激勵信號進行采樣后，階躍信號中代表低電平的點數K與系統階數n以及用于系統辨識的點數N(N>3n-1)之間滿足n-2

4 辨識算法仿真與驗證

衛星動中通伺服系統通過執行機構保持天線的指向不變。系統中的平板陣列天線結構經過嚴格配比，屬于穩定平臺。執行機構為直流力矩電機。

4.1 系統模型

由于伺服系統的負載經過了嚴格配比，并設計有軸承系統和滑環系統，因此其數學模型中的負載是恒定不變的，其傳遞函數關系式可以簡化為[6]：

(21)

式中:Ta=La/R為電機的電磁時間常數；TM=(GD2R)/(375CeCTΦ2)為電機的機電時間常數；C′e=CeΦ60/2(π),Ce為電勢常數。

由理論分析得到系統的數學模型傳遞函數如式(21)所示，為了便于計算，進一步將系統的傳遞函數轉換為系統差分方程為[7]:

y(n)=a1y(n-1)+a2y(n-2)+b1u(n-1)

(22)

在上述差分方程中待辨識的參數矩陣為:

θ=[a1,a2,b1]T

(23)

4.2 模型參數辨識

系統采樣頻率為5 000 Hz，電源電壓24 V。系統輸入的階躍信號前0.008 s(對應當前采樣頻率為前40個點)為0，之后為占空比36%的脈寬調制信號，采樣時間為1 s。輸入信號的波形如圖2所示。對比前面得出的結論，此時N=5 000,n=2,K=40，很明顯，滿足n-2

使用衛星動中通伺服系統直接進行系統辨識，中間不需要外界干預，辨識結束后通過串口將辨識結果和為系統辨識采集的數據上傳至上位機，以便對辨識結果的精度進行分析。經辨識獲得的參數矩陣為θ=[1.409 8,-0.416 0,0.271 3]T。將辨識所得的差分方程模型轉換為傳遞函數:

(24)

4.3 辨識結果分析與驗證

通過系統辨識，我們得到了衛星動中通伺服系統的數學模型，但是模型是否能夠真實的反映出系統的特性還需要經過驗證。通常，模型驗證時會分別選擇階躍信號和正弦信號作為輸入，然后比對系統實際輸出和模型仿真輸出的響應曲線，如若二者非常接近，則說明辨識結構的數學模型較為真實地反映了被辨識系統的基本特性。

4.3.1 階躍信號的驗證

由于系統辨識時使用的輸入信號為階躍信號，因此不需要再做額外的實驗，可以直接比對系統輸出的原始數據曲線和模型仿真的輸出數據曲線，結果如圖3所示。

圖3 原系統與辨識模型的階躍響應對比

從圖3中可以看出原始數據由于采樣時量化過程存在的量化誤差和干擾，數據離散程度比較嚴重，但是數據幾乎都均勻地分散在仿真數據的上下兩側，這說明模型是可靠的，辨識結果是可信的。

4.3.2 正弦信號的驗證

給定輸入信號為正弦信號，周期為2 s，采樣頻率為1 250 Hz，采樣時間為8 s。模型的正弦響應仿真曲線和真實系統的正弦響應采樣數據如圖4所示，可以看到，原系統與辨識結果的數學模型仿真結果的響應曲線基本一致。

5 結束語

文中主要對在衛星動中通伺服系統辨識中，基于最小二乘算法采用的輸入信號設計進行了探討，得出了基于該算法使用階躍信號作為輸入所必須遵循的限定條件。并使用滿足該限定條件的階躍信號作為輸入，對衛星動中通伺服系統進行模型參數的辨識，得到了較為精確的辨識結果。最后用正弦信號對辨識模型進行驗證，證實了辨識結果是可信的。

圖4 原系統與辨識模型的正弦響應對比