積累活動經驗 探尋數學本真 培養學科素養①
——以一堂《常見向量問題的解決》②研討課為例

張 敏

(江蘇省太倉高級中學 215411)

1 引言

當前，高中數學課程標準將高中階段的數學核心素養確定為數學課改的核心問題，如何將基于核心素養的教育教學改革落到實處呢？筆者認為，在教學中應該揭示數學問題本質，探尋數學自身內涵，欣賞數學內在之美，使得培養學生數學核心素養的教學目標得以落實，為此，還需要廣大數學教師的積極參與與教學實踐．現結合一節研討課的教學設計和課堂教學活動，談談筆者的感受．

2 課堂實錄及說明

本節課使用了“導學案”將預復習前置．課堂上，氣氛活躍，效果極佳，學生的自主活動與交流占據了課堂較多的時間．下面針對這節課的三個教學片斷加以分析和反思.

2.1 教學片斷1

在進入課題之初，教師先用實物投影儀投出學生的導學案：

師：課前請同學們推薦幾道有關常見向量問題的試題，現在請你說說你所推薦的題，與其他同學分享，并請說出推薦理由.

(將學生推薦的題及解答用實物投影呈現，并請推薦這題的同學說說推薦理由.)

師：很好，此題將不同的向量用同一組基底統一起來，揭示出平面向量的核心問題，即基底思想，凸顯向量問題的本質.

生2：我推薦這道題的理由有二：其一，這是一道向量數量積的最值問題，也是?？嫉膬热?；其二，本題條件中△ABC是等腰三角形，而且底邊BC長度已知，這樣一來，就便于我們建系設點，用坐標來表示題中的向量了.取BC中點O建立如圖所示的平面直角坐標系，因為BC=2，所以B(-1，0),C(1，0)，

設A(0,b),P(x,0),(-1≤x≤1)，

師：(幾何畫板演示)很好！這道向量數量積的最值問題采用幾何畫板演示，非常直觀.數量積是高考重要考點之一，采取坐標化的方式可將向量的許多問題簡單化.

生3：本題主要考察向量的坐標運算，同時兼顧到三角函數的恒等變換，具有一定的綜合性.具體解答如下：

師：很好！這是一道很好的題目，能將向量問題與三角問題綜合一起，體現出數學的關聯.對于此道題，還有沒有其他的想法呢？

師：非常棒！這位同學能從幾何的角度看待向量問題，正是抓住了向量本身的幾何特性.思維一下子飛躍到另一個層面，值得推薦！

生5：我還有另一種解法.由于向量|a|=1,|b|=2，根據||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|的性質，易得：2-1=||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|=1+2=3，因此|a-b|的取值范圍是[1,3].

師：生3推薦的這道題非常棒，在大家的互相啟發下，能把一道看似平常的向量題通過不同的角度予以解答，通過此題充分展示出向量的本質，凸顯了數學的內在美.

設計意圖本環節是在梳理完所要復習的主要內容后的學生活動，體現了學生自我學習后的“再創造”.教育教學專家祁平曾說過：“再創造”是一個很有意義的教學方法.教學中，教師讓學生展現自己的原思維過程.這樣的“再創造”展現了數學研究是如何從失敗走向成功的過程，充分暴露了教師或學生思維中的曲折或錯誤的情景，并讓學生看到改正錯誤、調整方向的思維過程.這樣的“再創造”能使學生始終處于積極的狀態，師生之間的交流是心靈間的交流,學生的思維容量增加了[1].

2.2 教學片斷2

在進行課前熱身展示后，同學們也逐漸感受到解決向量常見問題的三條主要途徑即為：基底化、坐標化、幾何法.教師順勢用多媒體給出了如下問題.

(學生獨立思考，后小組討論，準備交流展示)

生7：我采取的是坐標化處理.因為感覺建系設點后，再解決向量問題比較方便、簡便.另外由于AD⊥AB，為此我選取以AB,AD為直角坐標系的x,y軸.具體解答過程如下：

這道題很好的展示了常見向量問題的解決策略，能很好地起到培養學生邏輯推理、數學運算數學核心素養的目的.有沒有同學遇到類似的向量問題？

所以x+y最大值為2.

師：這是一道很典型的例題，充分體現了向量關系坐標化的特征.那么還有別的建系方式嗎？別的思路呢？班級內迅速熱鬧起來，大家討論很熱烈！

再令x+y=t?y=t-x，

代入得到3x2-3tx+(t2-1)=0，

所以Δ=9t2-12(t2-1)≥0?t2≤4?t≤2.

設計意圖通過此環節的活動，教師想讓學生主動參與課堂的教學中來，通過學生的互動與交流，真實感受到向量關系的常見處理方式——坐標化，同時通過坐標化的方式讓向量關系可視化，直觀形象，也可以讓學生的思維躍上新的高度，從而讓學習在課堂上真實的發生.著名數學家克萊因曾說過：“數學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創作”.從新課程理念與數學的本質來看，如何發展學生的知識、如何發展學生的能力和如何發展學生的素質，對當前的數學教學有一定的指導意義[1].教學中，教師的“再創造”能讓學生收獲更大.教師要把握時機，站在學生的視角，與學生一起進行分析、歸納、抽象、論證，看看是如何進行判斷，繞過障礙，走向成功的.這是培養學生數學能力 、數學品質的樸素而又科學的方法.

2.3 教學片斷3

通過上面學生提供的好題，讓大家一起感受到基底化、坐標化解決向量常見問題的便利，教師再次選取了某位同學研究的一道題.

例已知a,b是單位向量，且a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是.

學生受到上面同學推薦的好題影響，紛紛采取了或基底化、或坐標化的處理，迅速地做出來了.但是也有一位學生采取了不同的方法.

生10：我覺得上面的兩種方法運算都太復雜，我采取了如下的方法處理：

此刻，班級同學自發的對這位同學投來贊許的目光！

師：在我們的經驗中，如果求圓上一動點到一定點的距離，就轉化為圓心到頂點的距離+(-)半徑即可得到范圍，這樣就將變量問題轉化為定量處理，自然就很輕松解決了.同時通過生10同學的講解，讓我們領略到幾何法在解決向量問題中的優越性.

設計意圖通過此環節的活動，讓我們看到了課堂上的學生不但會欣賞數學，更會評價數學了.課堂的評價要以學生的發展為導向，以師生的共同成長為目的.知識、美德、交往和發展是課堂評價要涉及的重要方面，評價它們的核心就是要體現人的存在，以人為本的價值取向.本環節，我們不但看到了學生對于“好題”的遴選標準，更看到了課堂的意義和價值就在于發展，從狹義上講是學生的發展，但從廣義上講也包括教師的發展.[2]教師的任務是如何指導學生的發展，學生的任務是在教師的指導下怎樣實現自我的發展，歸根結底是學生怎樣才能發展，所以“發展”成為課堂的價值所在.

3 教學回顧與感悟

回顧這節課的三個教學片段，均展示出一番精彩的學生活動，積累了基本活動經驗，探尋向量的內在本真，在解題中滲透數學基本思想方法，體現了思維教學的魅力.雖然是一堂向量的復習課，但給人的感覺是更加突出學生的思辨、探究能力，為使學生能更加貼近數學本真，設計學生的學習過程，借助一定的教學環境進行自我建構、自我成長、自我發展、自我提升，通過師生互動、生生互動等多種學習方式，突出了學生的主體性、參與性和課堂延展性，課堂活動自然達到預期的效果.事后想來，感受頗多.

3.1 積累活動經驗，奠定教學基礎

數學活動經驗是什么？數學教育專家和一線數學教師提出許多的看法.仲秀英教授認為：學生數學活動經驗可以理解為學生從經歷的數學活動中獲得的感受、體驗、領悟以及由此獲得的數學知識、技能、情感與觀念等內容組成的有機組合性經驗[3].而張奠宙先生等認為：數學活動經驗是在數學目標指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識[4].王新民等認為：“數學活動經驗是指學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識．”并把演繹活動經驗和歸納活動經驗稱為數學基本活動經驗[5]．

數學基本活動經驗有助于學生數學活動的探究、數學思想方法的領悟、數學素養的提升.積累充足的數學活動經驗是學好數學的重要基礎.課堂是教學的主陣地，教師是學生的引領人.在數學教學中促進并落實學生基本活動經驗的積累，教師應著眼以下方面：

在數學化過程中積累數學活動經驗.數學課的引入往往是通過情景化的方式，從中引出數學問題，可以讓學生感受數學由具體到抽象的過程，由此，學生不但可以得知數學產物的來歷，更可掌握數學的獨特思維和語言運用模式，體會數學與生活是密不可分的，從而積累數學經驗．本節課由于是復習課，所以引入采取三個實例，讓大家感受常見向量的問題解決有哪些途徑，使學生較快進入主題研究，從而提高課堂效率.

在問題解決過程中積累數學活動經驗.在問題解決過程中，學生要根據問題條件和已有知識，主動運用相關數學知識和方法來解釋或解決問題，尤其是遇到一個新的情境問題，該如何思考？有哪些策略可以選擇？此時數學活動經驗的提取和遷移得以體現．本節課中，在向量常見問題的解決過程中，選擇基底化、坐標化還是幾何法？三個教學片段的選取，恰好利用條件的特殊性，分別采取基底化、坐標化、幾何法的方法處理最為優化.其意圖就是使學生學會在問題解決中積累數學活動經驗，提升數學素養.

在反思的過程中積累數學活動經驗.弗賴登塔爾指出：“反思是重要的數學活動，它是數學活動的核心和動力”[6]．反思不僅可以幫助學生形成對知識和方法的整體性認識，同時反思的過程也是數學活動經驗內化的過程．“學生經歷或參與了數學活動并不是就能自動地獲得充足的數學活動經驗，它還需要學生主動地對活動過程進行反思、總結和交流，及時概括所獲得的經驗，使已得經驗條理化和系統化.”[3]本案例中，我們通過三個教學片段的欣賞，初步了解常見向量問題的解決策略，有助于大家對向量本質的進一步認識與思考.

3.2 探尋數學本真，追求優化創新

《普通高中課程標準(實驗)》指出：“形式化是數學的本質特征之一，在數學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但不能只限于形式化的表達，要強調對數學本質的認識，否則會將生動活潑的數學本質淹沒在形式化的海洋里.”因此，數學教學要整合內容，凸顯數學本質，滲透數學文化，弘揚理性精神，讓學生有充足的時間去思考、探究、感悟、評價、創造；數學教學切實做到在數學形式化的基礎上更加注重數學本質化的認識，形式化的表達要為揭示數學的本質服務；數學教育要充滿數學的研究“味道”.本節課就是在構建簡約的數學本真課堂中做出有益的嘗試與探索，課堂教學過程的簡約，摒棄浮躁、華而不實的課堂教學形式.數學課堂應該返璞歸真:運用簡單的教學模式、設計簡潔的教學情境、約定簡明的教學內容、使用簡練的教學語言，追求自然、真實、樸素的常態教學，使“常態”的課堂簡約而不簡單.本節課中通過三類不同的題型展示了常見向量問題的解決策略，通過三種不同形式深刻探尋到向量的本真：基底化、數量化、幾何化.

3.3 強化批判思維，提升數學素養

批判思維是指對自己或別人的觀點提出質疑、進行反思、經過驗證和不斷分析的過程.質疑者通過運用思維能力對自己或他人的思考施加壓力，進而提高思考的質量.而數學核心素養六大方面的達成都需要學生具備獨立思考和批判性思維的能力.為此，本節課圍繞此目標，重點做了以下幾方面工作：

一是鼓勵質疑，尊重個性.有心理學家研究證明，大部分的人會隨著年齡的增長與社會思維達成共性，這就是我國創新能力停滯不前的重要原因之一.學生的世界里充滿著好奇與質疑，他們會大膽猜想客觀規律，勇敢面對艱難挑戰.本節課中，通過學生推薦“好題”，教師積極鼓勵學生發出質疑之聲，運用批判性思維，讓學生釋放自己的天性.本案例中，常見向量問題的解決策略就是要鼓勵學生在質疑和批判中選擇恰當的處理問題的辦法.

二是多元思考，克服定勢.固定單一的課堂模式和認知過程已不能適應學生的數學學習，本案例中，向量的思考維度可以多樣化，教師鼓勵學生用不同的表現形式開展學習，或自我學習，或小組交流，或精彩展示，學生從各個角度各個方面思考數學問題，做到思考多元化，消除從前的固定單一的思維模式.

三是開展實驗，主動探究.開展實驗是指在整個教學過程中，教師引導學生把書本知識運用于實踐，同時學生親身體驗探究學習的教學環節.探究教學的核心價值是數學文化的重要體現，科學理解數學探究教學的核心價值，并形成課堂教學的一種文化，才能對歷史負責，才能有面向未來的數學教學.[7]本案例中，教師鼓勵學生在不同的思維中開展實驗研究，通過開展實驗，對學習的內容、形式和結果進行優劣、是非評判，所表現出來的嚴謹的、具體的、有科學可信度的思維，從而學生主動探索解決向量問題的能力會大大提高，同時也提升了數學素養.

4 結束語

國學大師王國維在《人間詞話》中說：“詩人對人生須入乎其內，又須出乎其外.入乎其內，故能寫之；出乎其外，故能觀之”.的確，一個數學概念，一種數學思想，都可以從內外兩種角度進行觀察.數學教學，多半使用某些情境引入，設置適合的課堂活動，積累基本活動經驗，講究邏輯嚴謹，以步步推進的方式尋求數學知識的產生過程.這就是“入乎其內”.另一方面，數學有其自身的體系，文化的淵源，歷史的足跡，美學的構建，整體的壯麗.這需要跳出來，然后“觀之”，才能觀察到數學的人文價值和理性精神，體驗到數學的本真，從而使得對數學的理解從直觀想象到內在邏輯推理.只要我們走在正確的課改道路上，在數學課堂上不斷積累基本活動經驗，探尋數學內在本質，感受數學魅力，提升數學核心素養，那么我們的實踐就會更有意義，更有高度，更有力量.