基于核心素養的國際數學課程教材改革動向及啟示①

郭玉峰

(北京師范大學數學科學學院 100875)

1 背景

核心素養是當前國內課程改革的一個新動向，基于核心素養的數學課程教材改革以及教學實踐正在積極開展.從國際視野了解基于核心素養的國際數學課程教材改革的最新動向，將對我國數學課程教材改革起到有益的促進和推動.

2017年6月16日-18日，北京師范大學數學科學學院和人民教育出版社課程教材研究所聯合主辦了首屆“中學數學課程與教材國際論壇”(InternationalResearchForumonMathematicsCurriculumandTeachingMaterialsinSecondarySchool,簡稱IFMCT-1).論壇旨在“推動中學數學課程教材改革，為研究和解決中學數學課程教材的實質問題提供交流、討論的平臺，以促進中學數學課程教材的可持續發展”.首屆論壇以“核心素養為統領的數學課程教材改革”為主題，設置“數學核心素養與高中數學課程目標”、“高中數學課程的結構與內容精選”、“教育信息化與高中數學課程建設”、“基于數學核心素養的高中教材理論”、“基于數學核心素養的高中教材案例”、“滿足數學英才教育需要的數學課程教材”等專題，邀請美國、荷蘭、德國及我國香港、臺灣地區的學者，與大陸數學教育研究者進行交流研討.在為期三天的論壇上，共有22位專家學者對當前數學核心素養的理論建構以及近十年不同國家和地區數學課程與教材發展的歷程、最新動向等做了專題報告.本文根據本次論壇的報告內容，側重從核心素養的角度對國際數學課程教材改革的最新動向進行梳理和研究，以期對我國當前數學課程教材改革有一定的啟發和借鑒意義.

2 基于核心素養的國際數學課程教材改革最新動向

以下分別介紹美國、荷蘭和德國最新數學課程的動向.

2.1 美國數學課程中的數學過程、數學實踐以及數學傾向(dispositions)

來自美國密西根大學的Edward A.Silver教授主要闡述了美國數學課程中關于非具體課程內容，包括數學過程、數學實踐以及數學傾向(或思維習慣)落實中存在的問題，并給出了實施建議.

美國的課程文件不僅包括具體的課程內容、技巧和概念，還包括數學過程、數學實踐和數學傾向(或思維習慣)等非具體內容的課程目標.自1989年到2010年的美國數學課程改革，如1989的《學校數學課程與評價標準》、2000年的《學校數學教育原則和標準》、2006年的《課程焦點》、2010年的《聚焦高中數學》、以及2010年的《美國州共同核心數學標準》，數學過程、數學實踐以及數學傾向(或思維習慣)等非具體內容的課程目標在不斷演變，且經常出現在各種數學課程文件中，被學科專家廣泛稱贊.然而，存在的一個問題是：在各種課程文件中經常出現的這些非具體內容的課程目標，在廣泛使用的主要數學教科書中卻很少體現.那么，如何通過教科書實現這些目標？教科書又能否實現這些目標呢？Silver教授認為，目前來看并沒有足夠的研究說明數學過程、數學實踐和數學傾向等課程目標的發展規律，也沒有針對教科書或課程資源中如何落實這些非具體內容的課程目標的深入研究.教科書中如何落實？在落實的同時如何保持課程的連貫性等，這些對教科書改革是有一定難度和挑戰性的問題.

在實施非具體內容的課程目標中，教師的作用很重要.課程標準面向的是大多數學生，但可能并不適用于每一個學生.為此，美國于2014年頒布《行動原則：數學適用于每一個學生》，其目的是搭建起課程標準與實踐的橋梁，以便更好地實施課程標準.這個行動原則主張有效的數學教學是確保所有的學生能夠學習數學的方式，而開展有效的數學教學實踐需要基于以下幾點：1.建立聚焦于數學的學習目標；2.實施促進推理和問題解決的任務；3.建立和運用數學表征之間的聯系；4.促進有意義的數學討論；5.提出有針對性的問題；6.在概念理解的基礎上,增強熟練度；7.支持數學學習中的創造性；8.引導學生思考.盡管這些指明了有效數學教學實踐的方向，但由于諸多客觀因素，美國全國數學教師協會(NCTM)只是關注有效教學的概念，而不是具體課程的教學支持，這是教學實踐中存在的一大問題.

2.2 荷蘭12—18歲學生的現實數學教育

現實數學教育我們并不陌生，來自荷蘭烏得勒支大學的Paul Drijvers教授從一個具體實例引入，進一步詮釋了荷蘭現實數學教育中關注經驗及過程性的特點.

“數學是一種人類的活動”，我們從現實世界建構內容，用數學的方法組織現象，這是弗賴登塔爾被廣泛認同的觀點.在這個數學化的過程中，有外顯的知識和經驗，也有很多不可見的知識和經驗，這些不可見的知識和經驗決定了我們能看到什么，這是需要大量積累的.如圖1所示的冰山模型，我們能看到的海平面上方的部分僅是冰山一角，還有很多我們看不見的地下部分.小學生計算得到5+2=7的結果，這是可以直接觀察到的結果，但他們可能會用手指計算，或用骰子計算，或畫一條數字線等，這些背后的東西是我們看不到的.數學教學應該提供學生積累經驗的時間，而不是盲目地加快教育進度，削減水平面以下的部分或跳過它.

圖1 冰山模型示意圖

現實數學教育理論與所謂的“顛倒教學法”背道而馳.后者將數學家的結果作為教學的起點，用快速、反向的方式直接呈現結果，繞開發現的過程，由此導致一種機械式的數學教學方法，即通過大量的重復性練習達到機械記憶.雖然這種為達到自動化而進行的練習是需要的，但有局限性，現實數學教育則是其替代物.現實數學教育遵循活動性原則、現實性原則、水平原則、融入性原則(intertwinement)、內部活動性原則、引導性原則,其特點表現為：學習的起點是有意義的情境；提供非形式化策略和不斷數學化的空間；不同內容分支的整合；互動；提供學生自主建構的空間(Treffers, 1987).現實數學教育中的“現實”一詞來源于荷蘭語“zich realiseren”，表示實現、認識到、 想象等,可以有不同理解，如教育實踐中的可能性；與現實生活(現實世界、幻想世界、數學世界)有關；對學生是有意義的.與現實數學教育相關的四個概念是: 有指導的再創造、教學現象、水平和豎直的數學化、數學模型.其中數學化可用圖2表示：

圖2 現實數學教育中的數學化

數學化有水平數學化和豎直數學化，課程設計者和數學家們可能關注的重心不同，有些課程更多關注水平數學化，但對垂直數學化關注不夠，這是一個損失.數學模型也有四種不同水平：情境化、指向性、一般化、形式化.課程設計中的很多問題是人為設計的，有時是不自然、不真實的，但課程實踐并不意味著一定以真實生活中的問題出現.現實數學教育中的“現實”不是真實的生活，但它是“體驗真實、有意義的，貼近學生的現實.

2.3 德國國家數學標準中的過程維度

來自德國的Gabriele教授介紹了德國的國家數學標準和能力目標.德國的國家數學標準是教育標準而不是教學大綱，是學生在本教學水平結束時應達到的知識和技能的描述，是要達到的能力目標，不是與內容相關的目標.而教學大綱是規范性描述，是學生將要學到的內容.

德國國家數學標準的框架分為三個維度：過程維度、內容維度、期望水平(難度).過程維度中涉及六大能力：推理與證明、數學問題解決、數學建模、運用數學表征、數學符號和形式以及技術的使用、數學交流.內容維度涉及數、測量、空間和形式、函數關系、數據和機會.期望水平是眾所周知的PISA中的分類，最低水平是再現，第二水平是建立聯系，第三水平是概括與反思.以下是過程維度中六種能力的不同期望水平.

(1)推理與證明能力

這個能力的三個不同期望水平分別是：最低水平是進行常規論證，如借助已知事實，基于計算基礎上的簡單判斷.第二水平是基于不止一步的推證，理解和發展論證.第三水平是借助不同標準(如廣度和一致性)運用、解釋和發展復雜論證.如果完成問題只需一步，則處于最低水平，一旦超出一步，則處于第二水平或第三水平.例如：

“三個連續自然數之和總能被3整除”.這個判斷是否正確？請給出至少兩種證明方法.

以第二水平為例，對應的5種不同解法可以是：1. 運用具體例子.如3、4、5，(4-1)+4+(4+1)=4+4+4=3·4，其結果能被3整除.2. 代數方法.設n是第一個自然數，則(n-1)+n+(n+1)=3n，其結果被3整除.3. 與內容相關的方法(涉及內容相關的概念理解、隱含的變量).三個數中必有一個數能被3整除，另外兩個數中一個余數是1，另一個是2，故余數1+2=3，這三個數的和可以被3整除.4. 迭代的方法(完全歸納法的前身).1+2+3=6，6能被3整除；2+3+4=9=6+3，也能被3整除，因此，和總是增加3并且還能被3整除.5. 可視化方法.把三個數字想象成點陣或階梯的模式，通過移動點或階梯形成三組相同高度的點陣或階梯.如圖3所示.

圖3 數字點陣或數字階梯

(2)數學問題解決能力

這個能力的三個不同期望水平分別是：最低水平是識別和選擇一個常規方法，如通過畫一條輔助線來解決一個簡單任務.第二水平是通過多步驟的策略方法解決問題.第三水平是通過區分不同解法，概括、反思等構建最優解題策略.

以最低水平為例.先看如圖4所示的計算陰影區域面積的問題，其中正方形邊長為a，圖中有兩個半圓和一條對角線.

處于最低水平的一個做法是，做一條如圖5所示的輔助線，計算新構造三角形的面積，用半圓的面積減去三角形的面積再除以2.

圖4 計算陰影區域面積

圖5 添加輔助線

(3)數學建模能力

這個能力的三個不同期望水平分別是：最低水平是使用熟悉的標準數學模型，直接實現現實世界與數學的轉換.第二水平是能夠對一個不清晰界定的現實世界問題進行多步驟建模，找出一個恰當的數學模型，認識到在原始現實世界中解釋結果的困難.第三水平是在一個復雜的現實世界中建立一個模型，定義假設、變量，限制條件，……檢查和評估不同的模型.

下面看一個第三水平的例子：

Stein先生住在距離盧森堡20公里的特里爾(一個非常小的國家，獨立的歐洲國家).他開著自己的大眾高爾夫去盧森堡加滿汽油，有一個加油站就在兩國的邊境.在盧森堡，汽油的價格僅為每升1.05歐元，而在特里爾汽油價格為每升1.30歐元.問：Stein先生是否值得去盧森堡給車加油？說出你的理由.

此問題的解決很明顯依賴于汽車油缸的大小以及耗油量.假設已經知道大眾高爾夫耗油不多，大約是8升/100公里，我們還需知道油缸容量.如果只考慮油費的差異，這個問題當然是有意義的，但再考慮時間成本，或考慮環境保護等，這個問題就復雜了.

(4)運用數學表征能力

這包括餅圖、直方圖、函數圖像等的表征.最低水平是使用標準數學表征.第二水平是對于給定的表征或變化的表征的解釋.第三水平是理解不熟知的數學表征，發展數學表征并做出評估.例如：下題反映了在同一個任務中通過不同的問題考察不同的水平.

分析過定點的不同一次函數圖像(如圖6).問題：①所有直線都有的共同特征？(最低水平)；②給出每個一次函數圖像的函數表達式.(第二水平)；③哪個函數的圖像與x軸平行?(最低水平).

圖6 過定點的不同一次函數的圖像

(5)數學符號、形式和技術使用能力

三個不同期望水平分別是，最低水平是直接使用公式和符號來解決數學任務，使用計算器等數學工具計算.第二水平是多步驟使用數學程序，在情境中使用變量、方程、函數并有意識的使用技術工具.第三水平是復雜程序，對解決方案過程的評估，對數學工具的可能性和局限性進行反思.

(6)數學交流能力

包括理解數學文本，進行數學的口頭表達和數學報告.最低水平是充分描述簡單的數學事實，能識別和選擇簡單數學文本中的信息和數據.第二水平是可以理解并多步驟地描述數學事實，能獨立識別和選取數學較長文本中的信息和數據.第三水平是能夠對一個復雜論證、復雜數學文本進行連貫的表達，對其中的事實和數據進行評估和比較.

3 基于核心素養的中國數學課程與教材改革及國際研究進展的啟發

來自中國臺灣勤益科技大學的劉柏宏教授和香港大學的莫雅慈副教授分別介紹了臺灣和香港的數學課程教材情況.

中國臺灣將自2019年起實施“十二年國民基本教育課程綱要”，數學課程綱要中提出數學除了是一種語言與一種規律科學之外，數學更是一種人文素養，這對數學教材以及教學都將是極大的挑戰.中國臺灣學生在PISA和TIMSS測試中有良好表現卻呈現M型化，其中一個原因是中國臺灣學生的數學學習興趣和數學成績往往不成正比.為此，高中數學課程中可以滲透數學的人文素養，提升學生的數學學習興趣.

中國香港目前正在施行2009年的高中數學課程，比較新課程施行前、后高中數學教科書中習題類型的變化，發現研究涉及的19,711道問題中的90%都是常規問題，教科書并沒有為發展學生數學思維提供足夠的努力.教師需要根據常規問題幫助學生創建非常規數學學習經驗.

此外，中國大陸共17位專家學者分別就數學核心素養下的數學課程與教材問題進行了報告和研討.東北師范大學史寧中教授“高中數學課程標準與數學教科書改革”的報告，從本世紀課程改革的變化、高中數學課程標準的修訂、對高中數學教科書的要求等三個方面，強調了目前高中數學課程標準修訂的兩大主要變化：調整課程結構與內容，突出數學核心素養.人民教育出版社章建躍編審“核心素養統領下的立體幾何課程教材的變革”的報告，從課程目標的發展、課程內容和課時的變化、對傳統處理方式的分析與反思、繼承基礎上的發展與創新、幾何課程改革的未來之路五個方面說明了立體幾何課程教材的變革.北京師范大學保繼光教授“高中數學教材(北師大版)的介紹”的報告，包括對數學核心素養的認識、北師版教材修訂的原則等.西南大學宋乃慶教授“挖掘課程教材中的數學文化、促進學生核心素養發展”的報告，包括數學文化在數學課程教材中的體現、數學文化促進學生數學核心素養發展的途徑等.北京航空航天大學李尚志教授“核心素養滲透數學課程教學”的報告，通過具體數學內容的教學，說明核心素養可以在具體數學內容的教學過程中進行滲透.南京師范大學喻平教授“基于核心素養的高中數學課程目標與學業評價”的報告，對基于核心素養的高中數學課程目標以及學業評價進行了解讀和構想.東北師范大學高夯教授“關于CAP課程的思考”的報告，包括大眾教育與精英教育、中國大學先修課程CAP以及微積分課程的實施情況等.人民教育出版社李海東編審“編寫融合信息技術的數學教材”的報告，含信息技術給數學教材帶來的變化、信息技術與數學教材融合的原則、信息技術與數學教材融合的模式等內容.內蒙古師范大學代欽教授“清末民國時期中學幾何作圖教科書”的報告，對清末民國時期教科書中的幾何作圖進行了介紹.華東師范大學吳穎康副教授“學校數學課程內容發展主線初探”，從學習進階的角度闡述了高中數學課程內容主線研究的初步成果以及未來構想.北京師范大學郭玉峰教授“數學核心素養在教材習題的表現研究：以‘函數’為例”，對四個不同版本高中數學教材“函數”習題所體現的數學核心素養類型及其水平進行了統計量化研究.華南師范大學何小亞教授“學生接受假設的認知困難與課程、教學對策”的報告，介紹了數學概念的建構、數學原理的獲得和數學證明的認知過程中學生接受假設的認知困難，并從數學教學和教材編寫角度提出了相應對策.江蘇省教育科學研究院李善良教授“教科書：從‘教’材到‘學’材——高中數學教科書編寫思考”的報告，對教科書做什么、是什么、怎么寫等進行了探討.北京師范大學曹一鳴教授“高中數學課程信息技術使用的國際比較和分析”的報告，編碼分析了不同國家數學課程標準中關于信息技術的使用情況.人民教育出版社副編審龍正武“我國中學數學中的向量內容”的報告，包含向量內容進入我國數學課堂的歷程、其他國家現行高中數學課標中向量內容的有關要求、目前中學向量教學中存在的問題以及教材修訂中應該注意的問題等.北京市海淀區教師進修學校張鶴教研員“從教學實踐需求看數學教材改革”的報告，對知識邏輯、思維邏輯以及教學活動中所承載的教學邏輯，借助具體案例進行了展示，提出數學教材改革要明確知識邏輯的確立，關注思維邏輯的呈現.深圳中學郭慧清老師“函數概念及其抽象過程”的報告，分析了函數概念的建立過程，以及如何在此過程中培養學生數學抽象、數學建模等核心素養的問題.

首屆“中學數學課程與教材國際論壇”，聚焦核心素養下的中學數學課程與教材改革的最新進展，反映了數學課程教材研究和改革的最新動態.而了解和借鑒國際相關問題的研究進展和經驗，可以更好的促進我國中學數學課程教材的發展與創新.

3.1 數學課程目標從“雙基”到“四基”再到“數學核心素養”，是時代發展的要求，與國際上數學課程的發展趨勢是一致的

從美國、荷蘭、德國數學課程與教材最新進展的報告看，我國高中數學課程目標的轉變與國際數學課程最新發展的趨勢有某些共通之處.主要表現在：

第一．數學課程目標關注思維品質、關鍵能力、情感態度價值觀.

我國最新高中數學課程標準中明確指出，數學學科核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現.“雙基”“四基”課程目標突出了不同時代發展數學課程關注的重心，實際而言，思維品質、關鍵能力、情感態度價值觀的課程目標是逐步發展和完善的.我國數學課程中數學核心素養的課程目標，更加突出了數學學科特征，表明我國數學課程目標的特色和特點.

美國數學課程強調數學過程，強調數學實踐以及數學傾向(或思維習慣)，荷蘭數學課程強調重視學生的數學學習過程以及強調學生在經歷中獲得經驗以便建構起數學理解，德國數學課程建立過程維度、內容維度、期望水平的三維架構，這些在一定程度上反映了不同國家數學課程對學生思維品質、能力以及情感態度價值觀的關注.以德國國家數學課程2001年給出的數學素養的定義為例：

數學素養是個人在不同情境下用公式表述、使用和解釋數學的能力.它包括數學推理能力和使用數學概念、過程、事實和工具來描述、解釋以及預測現象的能力.它有助于個體作為一個關心社會、善于思考的建設性公民來識別數學在世界中所起作用及做出有根據的數學判斷和決定.

這個定義參考了PISA關于數學素養的定義，是圍繞數學在人們生活中的廣泛應用，將數學知識和技能運用到實際的能力，而不是僅僅在學校課程中掌握數學知識和技能.此外，數學素養還意味著在各種情況下形成和解決數學問題的能力，以及這樣做的傾向，這往往依賴于個人特征，如自信和好奇心.可見，這個定義中一定程度包含了能力、自信和好奇等個性品質的成分.

第二，如何真正貫徹落實數學課程目標是各國數學課程教材改革關注的問題

國際上各國數學課程標準和教材大致10年左右要調整或重新修訂，而實踐是檢驗課程標準和教材落實情況的重要方面.

美國數學課程強調過程性，強調學生的自主建構，強調有效教學實踐等，這些在很大程度上依賴于教師.前面也提到，美國中學數學教材幾乎并沒有在數學過程、數學實踐和數學傾向(或思維習慣)方面有所體現，美國全國數學教師協會只是關注了有效教學的概念，而并沒有具體課程的教學支持.這是貫徹落實數學課程目標中存在的很大問題.荷蘭的現實數學教育突出說明了機械式的數學教育是顛倒教學法的，只追求冰山上的一角而不顧及或忽略冰下的活動不是真正的現實數學教育.德國數學課程從內容維度、過程維度、不同期望水平搭建的課程框架，也反映德國數學課程關注課程的具體落實.

我國最新高中數學課程標準明確指出，數學學科核心素養是在數學學習過程中逐步形成的，數學學科核心素養的發展具有階段性和連續性，其達成是循序漸進的.數學課程目標的貫徹落實關鍵是教師因素，數學核心素養作為思維品質、關鍵能力、情感態度價值觀的綜合體現，其在教材及教學實踐中的落實更是長期的、需要深入研究和實踐的課題.

3.2 數學核心素養內涵、要素構成、水平劃分的框架結構需要切實可行

荷蘭現實數學教育的數學化包括水平數學化和豎直數學化，即從現實情境經水平數學化，建立數學模型，再經豎直數學化，構建數學的對象、結構和方法，此過程反過來也適用(圖2).我國六大數學核心素養中的數學抽象、數學推理、數學模型，一定程度反映了數學化的過程，其中數學抽象既包括水平數學化的過程，也包括豎直數學化的過程，說明了數學抽象逐級性的特點.此外，豎直數學化也涉及到數學推理，通過歸納推理和演繹推理等數學的推演，構建數學的對象、結構和方法.進一步地，借助數學內部的研究成果，解決現實問題.這個過程，在德國的數學課程中有類似的表現，即通過數學建模理解現實世界、通過推理和證明理解數學的內部世界、通過問題解決發展數學直覺，這在德國國家數學課程標準中的六個一般能力是有體現的.

需要指出的是，德國國家數學課程標準中過程維度的六個一般能力都有明確的水平層次劃分，并給出了具體的例子進行說明.同樣，我國六大數學核心素養的內涵、要素構成、層次水平劃分也給出了闡釋，并有具體案例說明層次水平，這無疑為六大數學核心素養在教學實踐中的落實提供了很好的理論支持和指導.盡管，這個框架結構還需要進一步的研究，層次水平的劃分的依據以及不同層次水平的界限尚欠明確等，但從國際視角看，數學核心素養課程目標是培養未來人才的需要，與當今國際數學課程的發展是一致的.未來我們需要進一步完善數學核心素養的框架結構，從理論和實踐的角度進行檢驗和論證，使得框架結構切實可行并真正指導教學實踐.

總之，國際數學課程改革和發展的經驗，可以有效促進我國中學數學課程教材的發展與創新.不同國家數學課程教材的不同視角，可以幫助我們看到世界數學課程教材改革和發展的方向及規律.基于數學核心素養的視角看不同國家的數學課程教材，對于我們更好地研究數學核心素養的課程目標以及落實這一課程目標也將起到積極的作用.我們在保持自身傳統和優勢的同時，立足國際視野，為建設世界一流中學數學課程和教材而努力.