歐拉法融合拉格朗日法高效模擬灌溉二維地表水運動規律

史 源，章少輝，白美健，李益農

歐拉法融合拉格朗日法高效模擬灌溉二維地表水運動規律

史 源，章少輝※，白美健，李益農

（中國水利水電科學研究院流域水循環模擬與調控國家重點實驗室，北京 100038）

大規?，F代化農業灌溉管理下，為實現快速高效地獲知灌溉水運動及其分布的目的，該文基于二維淺水方程組的歐拉-拉格朗日混合型表達形式，提出了一種高效簡潔的歐拉-拉格朗日混合解法。該解法的基本物理變量被嚴格地定義在歐拉型非結構化三角形有限體積單元格上，且變量在單元格之間呈現出階梯分布狀態，以精準地捕捉各類地表淺水波動并有效地保持質量守恒性；由于控制方程中不存在水運動的對流梯度項（或位置加速度項），僅通過拉格朗日跡線追蹤的形式獲得未知與已知時間步之間的變量關系，故與廣泛應用的歐拉解法相比，離散格式表達式極為簡潔易用；在地表水運動的干濕邊界處，地表水位梯度項被做了修正，以嚴格地保證各物理量之間的數值平衡，進而能高精度的模擬整個畦田內的地表水流推進/消退全過程。為驗證模型的模擬性能，選取一種高效的歐拉解法（非迭代型全隱式標量耗散有限體積法）求解二維淺水方程組做為對比模型，基于3個典型畦灌試驗的實測數據，從模擬精度、質量守恒性和計算效率3個方面，對比分析了2種數值解法的性能。結果表明，2種解法在模擬精度方面相差無幾，且歐拉-拉格朗日混合解法比歐拉解法具有更好的質量守恒性；在計算效率方面，歐拉-拉格朗日混合解法比歐拉解法的效率提高了約5.3倍。故該文提出的二維淺水方程組的歐拉-拉格朗日混合解法，更適用于二維灌溉地表水運動的模擬分析。

灌溉；非線性方程；數值分析；歐拉解法；拉格朗日解法；二維；淺水方程組

0 引 言

地面灌溉在中國農業灌溉中應用極為廣泛[1-2]。采用數值模擬方法開展灌溉條件下地表水運動模擬與分析，是提高灌溉系統性能的重要手段[3-4]。在大規模集約化農業種植下，地面灌溉往往呈現出典型的二維特征，此時通常采用二維零慣量方程組或二維地表淺水（或全水動力學）方程組描述灌溉地表水流運動過程[5-12]。零慣量方程組忽略了非線性極強的對流梯度項（或位置加速度項），故易求解，但在復雜地形變化情景下，會出現不可預測的誤差、并增大了參數的敏感性[13-14]。故近年來，隨著計算技術與數值分析的發展，多采用完整的二維淺水方程組描述灌溉地表水運動過程[4]。

針對二維地表淺水方程組，學者們多采用針對Riemann問題的顯式Roe算子有限體積法求解[10-12]。但該解法穩定性限制極為嚴格，且空間離散格式復雜而不易掌握，故出現了混合數值解法[15-17]。相對于顯式Roe算子有限體積法，混合數值解法雖然提高了時空離散步長的取值范圍，但仍屬于有條件穩定。為此，（迭代或非迭代型）全隱式標量耗散型有限體積法應運而生[4,17-19]，具有無條件穩定的顯著特征，使得時間步長可依據具體的實例選取，應用更具靈活性。這些已有解法都屬于歐拉解法范疇。地表淺水方程組中對流梯度項（或位置加速度項）的存在導致了極為復雜的非線性特征[20-21]，無論如何構造和發展數值解法，歐拉解法都無法繞開這個非線性極強的對流梯度項[22-25]，這使得任何歐拉解法的空間離散格式都比較復雜，而不易被使用者掌握。

求解地表淺水方程組的另一類解法屬于拉格朗日解法范疇[25]。最著名的拉格朗日算法當屬光滑粒子流體動力學解法（smoothed particle hydrodynamics，SPH）[26-27]，其優點在于通過引入水流軌跡追蹤來消除非線性極強的對流梯度項，故空間離散格式簡潔易懂，且極易模擬出強非線性的波浪激濺等大變形水運動過程，這是歐拉空間區域，且需考慮粒子之間的相互作用，故初始與邊界條件難以設置，效率亦比歐拉法顯著降低，粒子之間不確定的相互作用也導致拉格朗日解法具有更嚴格的穩定性條件。另一種常見的拉格朗日解法被稱作粒子-單元格解法（particle-in-cell，PIC）[28]，在該解法中，由于任意空間單元格中的粒子數會隨時間變化，同樣存在著SPH類似的問題[29]。

綜上，歐拉解法具備優良的物理守恒性，但數學結構復雜導致不易被掌握和應用，這源于其非線性極強的對流梯度項。而拉格朗日解法以其獨特的軌跡追蹤優勢有效地消去了該項，但海量空間粒子的引入大大降低了計算效率、增大了初始與邊界條件設置的難度。為此，本文針對地面灌溉水流問題，綜合歐拉和拉格朗日解法之優勢，提出歐拉-拉格朗日混合解法，在保持精度的條件下實現高效快速地模擬分析二維地面灌溉水運動及其分布的目的，并選用一種高效的歐拉解法（非迭代型全隱式標量耗散型有限體積法）做為對比算法，借助3個典型畦灌試驗實測結果，從模擬精度、質量守恒性和計算效率3個方面，對比分析該歐拉-拉格朗日型混合解法的模擬性能。

1 模型建立

1.1 控制方程組

通常采用二維淺水方程組描述灌溉地表水運動過程，其守恒形式表達如下[4]：