淺談《線性代數》的課堂教學

李嬋

摘要：本文從教學目標出發，分析教學內容與教學方法，結合教學形式，闡述《線性代數》的課堂教學。

關鍵詞 教學方法 抽象 理論

代數與分析是數學的兩大分支，較分析而言，代數更抽象，因此學生初接觸時會感到吃力、困難。線性代數是高等代數的一個分支，是大學數學的重要基礎課之一，在社會科學、自然科學中有廣泛的應用。通過該課程的學習，學生為后續專業課程的學習打下基礎，同時逐步培養學生分析問題、解決問題的能力。如何教好且讓學生學好該課程是大學數學教學中一個重要的問題。本文從教學目標、教學內容與教學方法和教學形式三方面簡單闡述培養學生對線性代數的興趣，使線性代數的教學過程具體化、生動化，學生的學習過程自主化、有趣化，進而提高課堂的教學效率。

1教學目標

明確開設一門課程的目的以及教授一門課程的目標是教學的前提。線性代數是大學數學的一門重要的基礎課，通常在大學的第一學期就開始學習，課程所涉及的主要內容從理論上講是后續相關專業課程及學生自我數學素養培養的必要基礎。如行列式、矩陣、線性方程組、向量等是大部分工科專業課程的基礎，關系到學生對專業知識的理解、掌握及應用;同時學生在學習過程中可以了解到一部分數學發展史和一些數學家的逸聞趣事，提高自身的數學修養。從應用上講，該課程服務于信息、金融、工程等領域，在學習理論知識的同時，培養學生利用數學知識分析、解決實際問題的能力。例如在大數據時代，處理大型數據，收集有價值的信息，矩陣是必不可少的工具，培養學生建立數學模型、將矩陣理論知識應用到相應問題的能力等。以此為教學目標，合理安排教學內容，采取恰當的教學方法，通過該課程的學習，以期培養學生學習的興趣，使學生在學習過程中，掌握知識點蘊含的數學思想與數學方法，以及應用所學知識解決實際問題的能力。

2教學內容與教學方法：由具體到抽象、由實際到理論

每一個數學知識點幾乎都包括三部分：定義、引理、定理。學生首先接觸到的是定義，由以往的教學經驗發現，很多學生反映線性代數中大部分概念比較抽象、生硬，沒有直觀的理解，容易造成憑空創造出來的印象。不像分析的一些概念，比如函數的連續性有非常直觀的幾何圖形。因而對于線性代數中的定義學生經常提出這樣的困惑“為什么要引入這個概念，有什么意義”，這是在課堂教學中時常遇到的問題，回答好這個問題是教好某一知識點的第一步。事實上，不僅是線性代數中的基本概念，數學中很多基本概念的產生都有自然的背景，蘊含著很多精彩有趣的思想。但是由于種種原因，這些內容在學科的發展中慢慢淡化，教材中更是很少提及，著作者將大量的篇幅、精力用在了理論內容陳述的嚴密性與邏輯性上，忽略了問題原有的樂趣，造成現在的讀者，尤其是學生在閱讀時的困擾與疑慮。在教學中，教師應依據內容選取合適的教學方法，適當引入相關的知識為學生“答疑解惑”。對于比較抽象的內容，可以采取由具體到抽象、由實際到理論的教學方法，在條件允許的情況下，可以用通俗易懂的文字介紹知識產生的背景或者舉證一些簡單的引例，吸引學生的興趣，引導學生思考知識點所蘊含的數學思想與數學方法。

對于一些晦澀難懂的內容，可以從具體到抽象，由簡單到復雜。如行列式的定義，可以從中學熟知的利用消元法解二元一次方程組講起，寫出解的形式，說明二階行列式是二形式的另一種記法（同時可指出二階行列式代表取定正方向時平行四邊形的面積，利于學生理解交換行列式兩行行列式值變號的性質），指出二階行列式的值實際可按第一行展開，然后引入三階行列式（代表三維空間中取定正方向時平行六面體的體積），是三形式的一種記法，其值也可以按第一行展開，進而思考n階行列式。讓學生主動參與新知識的提出，加深對知識點的理解，發現數學之美。又如特征值和特征向量。從簡單的例子出發，將二階方陣乘以二維向量所表示的幾何意義明確的展示出來，讓學生發現二階方陣乘以一個向量相當于將原來的向量做了伸縮、旋轉變換。然后作用在某一類特殊的非零向量，發現該類向量只發生了伸縮并沒有發生旋轉（對稱除外），并且對應此類向量伸縮的倍數是固定的，引導學生思考是不是每個矩陣都有類似的一類向量，且對應著一個固定的伸縮倍數，該類向量即為特征向量（特征向量不唯一），對應的伸縮倍數即是特征值。這樣就引出特征值和特征向量的定義，學生易于理解、接受。

另外，數學中很多知識點是為解決實際問題而發展出來的，或者說有很多實際的應用。在教學中采取由實際到理論的方法，介紹引例，增加知識點的趣味性與實用性。這里我們列舉兩個知識點。求解線性方程組是線性代數的一個重要內容，是科學研究和工程應用中最重要和最普遍的一個問題。大量工程應用中都涉及到線性方程組的求解，一個很常見的例子是城市交通流量問題，為提高人民的生活質量，促進經濟的發展，解決交通擁堵是政府關注的一個重要問題。解決該問題的一個基礎性工作就是統計與控制各條道路的交通流量，使各道路的交通流量達到平衡，那么問題就轉化為求解線性方程組。同時，線性方程組在物理學中也有廣泛的應用，比如在一些理想假設下，描述電磁學的麥克斯韋方程組以及描述波粒二象性的薛定諤方程組都是線性方程組。以這些為引例，可以傳達給學生，學習線性代數不止是為了考試掙學分，還可以與我們的生活息息相關，以及應用在自然科學的問題上，吸引學生自發的主動探索如何求解線性方程組。此時引入Gauss-Jordan消元法，初等變換法等解線性方程組，學生就比較容易接受。又如矩陣的基本運算。矩陣的線性運算（加法、減法、數乘）與通常的數字加減本質無異，容易理解。相比線性運算，矩陣的乘法與逆運算不太直觀，教師在教學過程中可以舉一些有趣的例子從側面吸引學生。比如密碼問題，將原文作為一個矩陣乘以另一個矩陣（加密矩陣） 就得到密文，要破譯此密文，就要知道加密矩陣的逆矩陣，在這個過程中將矩陣的乘法和取逆引入，增加學習的樂趣。對于矩陣乘法定義的意義，認識到矩陣與方程組之間的本質聯系：矩陣的引入可以為線性方程組提供一個簡單的形式，在此基礎上就可以很輕松的導出矩陣與矩陣之間的乘法定義。矩陣乘法還有很多實際應用的例子，比如計算某公司各種貨物在各個季度的銷售總額，用矩陣相乘簡單明了，事半功倍。這樣學生就不會覺得矩陣運算是一些枯燥無味的數字做機械的運算，鼓勵學生課下利用矩陣乘法將一條消息加密之后傳送出去，同時思考身邊有哪些事情可以用到這些知識點，提高學生解決實際問題的能力。

3教學形式

傳統的板書模式，由于書寫速度慢、板書量大，老師把大量的精力花在板書設計與書寫上，在有限的時間內很難介紹精彩的背景與有趣的實際應用，教學模式單一、枯燥，學生注意力不易集中，容易困倦、開小差，教學效果一般。事實上，可以結合網絡、多媒體豐富教學內容，通過適當加入動畫模式，吸引學生的注意力，增加與學生的互動，提高學生的課堂的參與度。另外多媒體教學可再現講過的內容，方便學生回看知識點，提高工作效率。對于比較重要，但證明又相對簡單的定理，可以以板書的形式逐步推導，再用PPT重現，使學生加深對此定理的印象。對于篇幅較大且過程冗余的內容，如矩陣的基本運算、求行列式、解線性方程組等，使用PPT講解，可以整體呈現，簡潔明了，易于理解。同時，將課堂上講解的內容上傳至網絡教學平臺，方便學生在網絡上預習、回看和復習知識點。此外，可創建班級微信群、QQ群供學生答疑交流，不懂的知識點，不會的題目，一些有趣的數學故事，可以在群里分享，鼓勵大家各抒己見，集思廣益，老師做最后的把關，將比較有意思的問題及解決方法在課堂上講解，這樣增加了學生學習的自主能動性，也可以更深刻的理解知識點，做到知其然并且知其所以然。在教學之余，向學生介紹一些數學軟件的應用，如Matlab，Mathematica， Maple等，鼓勵學生利用數學軟件解決一些簡單的實際問題，通過分析問題，建立對應的數學模型，利用數學知識、計算機編程等解決問題，增加學生學習的樂趣，增強學生動手與思考的能力。這些都可以有效的輔助教學，培養學習興趣，提高教學效率。

在線性代數的教學過程中，從教學目標出發，通過對不同的教學內容提出適當的教學方法，傳統的教學模式與多媒體、網絡相結合，在此過程中培養學生學習的興趣，使教學過程具體化、生動化，學習過程自主化、有趣化，同時鍛煉學生的抽象思維能力與做科研的潛力。引導學生主動的發現問題，提出問題，思考問題，分析問題，解決問題，領略知識點發展的過程，感受學習的樂趣，寓教于樂，寓學于樂，最終希望學生掌握教材的主要內容、應用知識解決實際問題的能力，理解知識點背后所蘊藏的數學思想與數學方法。

參考文獻

[1] 李尚志.線性代數教學改革漫談[J].教育與現代化，2004（01）：30-33.