指數化投資的風險和收益分析：以Put Write指數為例

●李江穎

期權交易已成為許多投資人投資的衍生金融產品之一。與股票交易模式不同，運用期權杠桿以求取得以小搏大的收益或者利用期權作為避險工具已成為熱門投資策略。就芝加哥期權交易所的策略產品而言，包括CBOE S&P 500 Iron（BFLY），CBOE S&P 500 Buy Write Index（BXM），CBOE S&P 500 30-delta Buy Write Index （BXMD），CBOE S&P 500 Covered Combo Index （CMBO），CBOE S&P 500 Iron C ondor Index （CNDR），CBOE S&P 500 Put Write Index（PUT）等等，它們都是通過現貨或貨幣市場持有資產與期權搭配的投資組合策略，大多數有比S&P 500指數本身更高的超額收益。

在芝加哥期權交易所的期權策略商品的研究報告中（Performance Analysis of CBOE S&P 500 Options-Selling Index），介紹了六種運用擔任看漲期權或看跌期權買賣方所組合出來的策略組合。Put Write指數比其他五種期權組合策略的表現都要高，也就是說有較高的風險調整之后的收益。本文聚焦于CBOE S&P 500 Put WriteIndex（PUT）產品，通過自行重組該策略，并將風險分為三個方面來分析：被動權益風險、波動賣方風險與動態權益風險，通過這三項的拆分來分析Put Write指數的風險和收益之間的關系，研究這種期權策略在拆分不同風險因素下的收益貢獻關系。

一、文獻綜述

（一）Put Write指數交易策略的研究

Put Write指數交易策略的做法，是賣出一個以S&P 500作為標的資產且到期期限為一個月的價平看跌期權，并同時買進三個月的短期美國國庫券。此產品由于擔任看跌期權的賣方，當股票市場穩定且沒有衰退時，可以保留全額的權利金；而在到期日當現貨指數比執行價格低時，看跌期權賣方的最大損失即為執行價格與當時標的現貨指數的差。

換而言之，當股票市場表現好時，則Put Write指數策略的收益至多僅為收到權利金的部分；當股票市場表現差時，此策略的投資人則承擔了權益市場中的下方風險。不過由于此策略中擔任了期權的賣方角色，故相較于純粹投資在股票市場的表現，可以多收到波動風險溢價而表現較好。此Put Write指數策略，實際產品的設計為完全質押的方法，也就是表示當看跌期權賣出的執行價格為多少，就投入多少在買進三個月短期國庫券上。

（二）期權與標的資產策略組合的研究

通常在含有期權與標的資產的策略組合中，把風險暴露拆分為兩項，一是權益風險溢價，二是波動風險溢價。例如：Israelov 和 Nielsen（2014）即探討了保護性看漲期權策略，分別在權益買方與波動賣方下的兩項風險暴露的關系。考慮到策略中含有期權，而期權每天改變的delta值也會影響到整個策略組合風險。在波動風險內還包含另一個風險暴露項：即動態權益風險，即市場擇時的風險暴露拆分出來。通過此項的運用，利用現貨指數隨著delta變動而作動態調整，分析每個不同的風險因素對收益的貢獻程度。

（三）期權策略組合收益的比較研究

過去的文獻比較了許多期權策略組合與S&P 500或其他現貨基準本身表現的關系。Ungar和Moran（2009）說明了Put Write指數策略在1986年至2008年期間，有著比S&P 500高的年華收益，同時也有比它低的波動，而且在熊市期間的表現也相同。Bondarenko（2016）進而比較在2015年發行的CBOE S&P 500 One-Week Put Write Index（WPUT）能夠比Put Write指數有更高的超額收益。Bakshi和Kapadia（2003）發現了作為期權買方的策略組合中，利用delta避險所得到的收益顯著低于零，相對而言，即表示了期權賣方可以得到波動風險溢價，且在價平期權中最為顯著。而Israelov和Nielsen（2014）則指出當隱含波動度與實現波動度有較大差異時，與Put Write同為期權賣方策略的保護性看漲期權是個好的交易策略，因為它除了能夠享有權益風險溢價外，還能得到作為看漲期權賣方下比較大的波動風險溢價。

（四）風險暴露因素的研究

除了常見的單純以權益風險和波動風險兩種風險暴露因素作為期權策略組合的收益分析之外，Figelman（2008）將歷史績效都比標的資產高的保護性看漲期權拆分為三種風險因素，分別為：無風險收益、權益風險溢價和看漲期權的波動風險溢價，做其策略組合的收益研究，并發現在隱含波動率比實現波動度差異越大時，波動風險溢價越能彌補負的風險溢價，尤其以到期日較短的保護性看漲期權更為明顯。Israelov和Nielsen（2015）則是將期權策略組合中的波動風險暴露項又拆分出動態權益風險暴露項，發現動態權益風險暴露項不論在價平或是2%的價外的保護性看漲期權中，都是其主要的風險來源，并對于想要得到越高的波動風險溢價的投資人給予賣出更多期權的建議。

二、研究方法

透過Put Write指數背后的組成成分，自行重組該策略組合，并根據被動權益風險暴露、波動賣方風險暴露、動態權益風險暴露，以收益的方式，探討各項風險因素對整個Put Write指數策略所帶來的貢獻程度以及影響。

（一）風險暴露組成

芝加哥期權交易所的Put Write指數產品，可以理解為一個評價看跌期權的賣方（-P）與短期美國國庫券買方（+X）的策略組合。首先，將此策略的風險單純分成權益風險和波動風險的兩個層面。通過策略組合的要素，將Put Write指數拆解成以下形式：-P+Xe-rT=(-Δp×S+Xe-rT)+(Δp×S-P)。

此處P代表看跌期權的權利金，X代表看跌期權的執行價格，Δp為該期權的delta值，S則為S&P 500指數值，r代表無風險利率，T代表距離到期日的天數。

而由于Put Write指數策略的做法為賣出一價平看跌期權，故此處的公式

本文的Put Write指數策略中，由于是價平的期權，所以該項表示有50%的被動權益配置；而公式（1）中的第二項則表示含有期權長期的波動賣方配置。然而，在此項波動賣方配置中，可以發現該項公式里包含了看跌期權，由于期權的delta每天都會變動，所以這項波動賣方風險其實隱含著第三種風險暴露，也就是隨著時間變動而動的動態權益風險項。它還表示，當看跌期權在價外的狀態下，標的資產價格和策略收益會呈現負相關；當看跌期權在價內時，標的資產價格和策略收益呈現正相關。

在知道原本第二項波動賣方的風險暴露項還隱含著第二個動態權益風險暴露項之后，將原本兩個風險組成因素重新整理，轉換成Put Write指數（PUT）真正所包含的三種風險組成因素，表示如下公式：

PUT=－P+Xe-rT=(0-Initial put delta)×Equity→被動權益風險－(Put-Put delta×Equity)＋Xe-rT→波動賣方風險＋(Initial put delta－Put delta)×Equity→動態權益風險

被動權益風險暴露代表著在該策略下所具有的權益風險溢價的關系，而動態權益風險暴露則隱含著市場擇時的概念。兩者雖同為買賣標的資產所衍生的權益風險項，但前者可以視為長期投資的被動策略性配置，而后者則可以看成短線進出的主動策略性配置。在有效市場下，代表市場擇時的動態權益風險項的預期收益應該為零。

波動賣方風險代表著在該策略中，作為期權賣方所具有的波動風險溢價的關系。在探討期權背后的波動風險時，也可以拆分為與gamma有關的波動風險暴露項和與vega有關的波動風險暴露項。當期權越接近價平或是越接近到期日時，gamma值會越大。同樣的，價外或價內的期權受波動性的影響較小，故vega較低；而價平或是距離到期日越遠的時候，vega值會越大。雖然對于波動風險可以拆分成上述的細項，然而由于這類二階的風險，在實務上進行避險相對困難，且必須引入更多的非線性產品，會增加分析上的復雜度，故本文只就整體的波動賣方風險暴露進行討論。

（二）風險暴露收益

為了能夠有效地研究三種風險暴露項分別對Put Write指數策略所造成的影響，本文用Put Write指數產品的組成成分，去自行重組跟它相仿的一個策略組合。此策略組合內包含了賣出到期期限為一個月、標的資產為S&P 500指數的價平看跌期權，并在每個月到期的看跌期權合約結束時繼續同樣的操作。另外，同時持有價值為該合約執行價的美國三個月國庫券，以確保看跌期權在到期時，被執行的事件發生的情況下，投資者有錢可以買回標的資產。故可以將此策略組合的超額收益表示為：

而Put Write指數的三種風險因素所造成的超額收益分別表示如下：

其中，rpe,t代表被動權益風險暴露帶來的超額收益，rsv,t代表波動賣方風險暴露帶來的超額收益，rae,t代表動態權益風險暴露帶來的超額收益；rcash代表美國三個月期的短期國庫券利率；spxt代表S&P 500指數；divt代表股利；putt代表看跌期權的價格；X代表價平合約的執行價；△p,t代表看跌期權的delta值；△port,t則代表整個重組的策略組合下的delta值，其表達式如下：

而代表的是整個樣本范圍下，在每一次合約的起始日，賣掉價平看跌期權時點的delta平均值，且每一次新建立的看跌期權部分都建立在該日的結算價。而這里公式里的delta值都是運用Black-Scholes期權定價公式所推出。

在前面所提到的超額收益，為芝加哥期權交易所中Put Write指數產品所對應的三種風險因素的計算方式。然而，以同樣的概念也可以推到其他含有期權的投資組合策略中。

三、實證分析

（一）相關數據

本文使用S&P 500指數期權、S&P 500指數以及美國三個月期國庫券的數據來進行Put Write指數策略收益的計算以及相關的實證分析。另外，通過S&P 500指數期貨來進行風險控制過后的Put Write指數收益和風險之間的關系討論。S&P 500指數期權為芝加哥期權交易所建立，本文只選取到期期限為一個月期的S&P 500價平看跌期權的每日數據，而且去除了到期期限為一周的周期權以保持數據分析的純粹性。數據來源于OptionMetrics，樣本數據年度取自2005年12月23日至2015年12月18日。而美國三個月期國庫券利率的數據由FREDEconomicData取得。S&P 500指數期貨為芝加哥商業交易所（CME）所建立，本文采用的期貨數據來源由Investing.com取得。

（二）實證結果

1、Put Write指數。首先，就 CBOE Put Write指數產品本身和S&P 500做累積收益的比較，結果如圖1所示，自2005年底至2015年底的區間內，Put Write指數與S&P 500累積收益有相似的走勢，而Put Write指數有比S&P 500更高的累積收益。而在同樣的樣本期間內，經過描述性統計分析，S&P 500的平均年化收益為6.75%，Put Write指數則為7.42%；而就年化的波動率而言，S&P 500的年化波動率為20.76%，Put Write指數則為14.53%。由此可知，這個策略組合有較高的收益和較低的波動率，也表示著在這段期間內，Put Write指數有著比S&P 500更高的夏普比率。

圖1 CBOEPut Write指數和S&P 500累積收益比較（2005.12至2015.12）

2、風險因素的超額收益分析。表1是在完整樣本期間下的描述性統計，在每天進行動態調整的情況下，三個風險因素都對于整個重組的價平Put Write指數策略組合有正的超額收益貢獻。而就波動度而言，被動權益風險項有著8.93%的年化波動率，而波動賣方風險項有4.47%的年化波動率。

動態權益項為一個影響風險暴露的重要因素，由波動率可以發現，動態權益的波動率僅約為被動權益一半的大小；但其風險貢獻程度和波動賣方項的風險貢獻程度相當。且通過假設檢驗的計算，在動態權益的風險暴露項在此樣本期間所具有的1.95%的超額收益以及5.16%的波動率之下，其t檢驗為4.17，表示在95%的可信度下，動態權益的風險暴露項能夠帶給整個價平Put Write指數策略組合顯著異于0的超額收益。

在樣本期間內，被動權益風險暴露項的夏普比率為0.32，動態權益風險暴露項和被動權益風險暴露項相比之下，可以發現動態權益項的超額收益約為被動權益項的七成筆記，但波動率卻只有被動權益項的一半左右，動態權益項的夏普比率接近0.4，是三個風險暴露因素下最高的。討論alpha時，發現不論對于波動賣方風險暴露項或是動態權益風險暴露項而言，兩者對于S&P 500本身當基準的超額收益都是大于0的，顯示了在多做了動態調整之后，兩個風險因素都能帶來比標的指數更高的收益。

另外，由表1的上方beta為0.31，下方beta為0.93的情況，發現價平Put Write指數策略組合有著不對稱的beta關系。當S&P 500下降時，此策略對于該標的指數的變動關系為下降。

表1價平Put Write指數策略：風險組成因素的年化收益關系

風險貢獻程度計算方法為各個風險因素和整個價平Put Write指數策略的共變異數除以整個價平Put Write指數策略的波動率平方。而在表2中則呈現了在完整樣本期間下，三種風險因素的相關程度的關系，通過這個相關系數矩陣，我們可以計算整個Put Write指數策略中，各個風險暴露因素的風險貢獻程度。

表2價平Put Write指數策略：相關系數矩陣

通過三種風險因素來解析Put Write指數，整個樣本期間各個風險因素所造成的超額收益的走勢關系。圖2顯示了除了在處于金融危機的2008年期間，動態權益項所帶來的超額收益較其他兩項因素來得高之外，其余時間主要是由被動權益風險暴露項的超額收益主宰其他兩項風險因素。為了探討在不同時間的市場表現對個別風險暴露因素的影響，在此將整個樣本期間分成兩個子期間予以討論。兩個子期間分別為：2006年初至2011年底和2012年初至2015年底。前者包含了金融危機時期，市場較不穩定的時間區段；后者則是市場表現相對回穩的時間區段。

圖2價平Put Write指數策略的累積超額收益

由表3發現動態權益項在第一個子期間所實現的夏普比率為最高，而在第二個子期間反而是由波動賣方項實現最高的夏普比率。因為在第一個子期間內，整個市場表現較不穩定，在金融危機時，S&P 500處于下降時段居多，故此時的波動賣方風險暴露項帶來的超額收益較低；而經由動態調整的動作所帶來的動態權益風險暴露項的超額收益，由于做法屬于追漲殺跌，所以它能在這段子期間內獲得最高的夏普比率。而第二個子期間，因為緩漲的原因，動態權益風險暴露項帶來的超額收益則比波動賣方小。

表3價平Put Write指數策略：各風險組成因素在子期間的年化收益

3、權益風險。從各個風險因素的超額收益的實證結果發現，動態權益風險暴露項以及被動權益風險暴露項為主要的風險貢獻來源，本處專注于這項權益風險。而期權收益的凸性性質，也就是期權的gamma會影響到動態權益風險暴露項，表示著當gamma值越大則delta的變動越不穩定，則需更地動態調整標的資產部位；而gamma值越小，避險調整部位則不必太過頻繁。換言之，gamma值即是當標的資產價格變動所引起期權delta變動的衡量指標。在本節中，所衡量的權益風險暴露是在每天的動態調整下所得到的值，暫時不考慮gamma值而去改變動態調整的頻率。

通過五個合約比較Put Write指數策略組合的權益風險暴露和S&P 500自每個合約起始日的收益之間的關系。由圖中可以發現，在賣出看跌期權的當天，其權益風險暴露大多都處于稍低于0.5的水準，也就是表示在Put Write指數策略組合中，看跌期權平均而言賣在稍微價外的水準。當指數上漲時，看跌期權的delta取絕對值是下降的，顯示了成為價外的可能性上升。而當指數下跌時，看跌期權的delta取絕對值是上升的，顯示了成為價內的可能性上升。

就整個Put Write指數策略組合而言，它的權益風險暴露和S&P 500指數關系呈現負相關。當市場表現衰退時，會使該投資組合的權益風險暴露越大；當市場處于上漲時，會使該投資組合的權益風險暴露越小。而當看跌期權越接近到期日時，看S&P 500為上漲或下跌，則整個投資組合的權益風險暴露則分別會接近0或1。

近期五個一個月期的合約的權益風險暴露與S&P 500自每個合約起始日的收益的關系大致呈現負相關，于是再通過延伸至整個樣本期間，來確認兩者之間的關系。在整個樣本期間，Put Write指數的權益風險暴露和S&P 500指數自每個合約起始日的收益的散布關系。而結果的呈現和預期相同，Put Write指數的權益風險暴露的范圍由0到1，且與S&P 500指數收益呈現負相關。

為了觀察整個Put Write指數策略的權益風險暴露隨著到期日接近的變化趨勢，如圖3所示，分析了Put Write指數策略的權益風險暴露和距離當次合約賣出看跌期權時點的交易天數的分配關系。可以發現，當賣出看跌期權的時刻，因為期權為價平的關系，整個投資組合的delta多分布在0.5左右。隨著時間的推移，越遠離當次合約賣出看跌期權的時點，則Put Write指數策略的delta分配則越來越分散，直到該次合約到期時，其delta多分布在0或1。

圖3價平Put Write指數策略的權益風險暴露范圍（2005.12-2015.12）

Put Write指數的權益風險暴露分別在距離該次合約賣出看跌期權分別為0、6、12、18個交易天數的分配狀況。可以發現，在進行重新賣出看跌期權的合約時點時，整個Put Write指數策略組合的權益風險暴露的大小分布很集中，因為該時點為賣出價平的看跌期權，且選取執行價的方法是以最接近該日S&P 500指數大小而定。而當距離該次合約賣出看跌期權時點越遠，則整個Put Write指數策略的權益風險暴露的大小分布則越來越分散，直到較接近該次合約到期日時，其權益風險暴露則會越往0或1靠近。

4、風險管理后的Put Write指數。由前述結果，發現動態權益風險暴露項雖然可以帶給策略組合顯著異于零的超額收益，但此項風險暴露同時造成了策略組合的一個主要的風險來源。通過一些產品，例如：指數型股票基金或是期貨，都可以用來避險。運用S&P 500指數期貨，構建一個風險管理下的Put Write指數策略組合，對Put Write指數策略做避險。而經過期貨避險后，風險管理后的風險和收益來源只剩下單純的被動權益項和波動賣方下的風險暴露因素。

通過使用Black-Scholes模型的公式，每天都可以求得整個Put Write指數策略的動態權益風險暴露下的delta值，而得到此暴露值之后，整個風險管理的方式就是運用S&P 500指數期貨將此動態權益風險暴露予以避險。舉例而言，在2014年12月26日，Put Write指數策略中的期權部分為賣出一個執行價為2070且于2015年1月17日到期的看跌期權，利用Black-Scholes模型所求得當日的策略組合的delta值為0.36，而因為在一個新的賣出看跌期權合約日時的價平策略組合delta值應為0.5，所以在這天需要用凈資產價值的14%建立期貨的部分達成避險的動作。

表4呈現了利用期貨避險的風險管理收益和原來CBOES&P 500 Put WriteIndex（PUT）的真實收益的比較。由表中可以發現，避險掉動態權益風險暴露項，成功地使得Put Write指數策略也存在著不對稱的beta關系，以PUT這一欄為例，它的上方beta為0.28，而下方beta為0.95，遠高于S&P 50處在上漲情況的beta值。

另外，由避險PUT這一欄可以發現，風險管理過后的Put Write指數策略成功地將處于不同市場狀況下的Put Write指數策略和S&P 500的牽動關系更拉近并集中，上方beta變高為0.34，且下方beta變低為0.87，剩下造成不對稱性beta的原因為波動賣方風險暴露所引起。

表4風險管理前后的真實Put Write指數和S&P 500的年化收益關系

PUT欄代表CBOES&P 500 Put WriteIndex（PUT）的真實收益；避險PUT欄代表CBOES&P 500 Put WriteIndex（PUT）的真實收益和運用重組構建而成的價平Put Write指數策略的動態權益風險暴露值所推得的期貨避險收益的加總。接著，將完整的樣本期間拆分為兩期，來探討在不同的市場狀況下，避險動作對于整個Put Write指數策略的影響效果。兩個子期間分別為：2006年初至2011年底和2012年初至2015年底。

由表5可以發現，不論在哪一個子期間，風險管理過后的避險PUT所帶來的超額收益都比沒有經過避險的Put Write指數策略要低，而避險過后的波動率都是下降的。在第一個子期間，因為處在市場衰落的金融危機時期，原先不經過避險，使用動態權益的方法，可以獲得殺跌的較大超額收益，但經過避險之后，避險的方法卻把動態權益風險暴露項的收益削弱了所以可以看到在2006年初至2011年底，風險管理過后的PUT的夏普比率比不使用避險的Put Write指數策略要低，由0.379下降至0.309。然而，在第二個子期間，市場走勢處于上揚的情況，Put Write指數策略背后的概念即為看多，而期貨的做法為消除動態權益風險暴露項，所以它的避險手段可以視為看空，故波動率也會下降。在上漲的時期，因為動態權益風險暴露項所帶來的超額收益較少，而風險管理過后的波動率下降得較多，所以避險PUT的夏普比率比沒經過避險的Put Write指數策略要更高，由1.118上漲至1.124。

通過避險手段能夠有效地降低整個策略組合的波動率，所以對于更希望逃避風險的投資者而言，給予了利用避險手段以降低動態權益風險暴露的時機和方法。在不同的市場情況下，也會有不同的效果。

表5風險管理前后的真實Put Write指數在子期間的年化收益關系

本文將以往的文獻以兩種風險因素來拆分期權策略組合產品的風險暴露的方法，改為以三種風險因素重新解構期權策略組合產品的風險暴露，同時也能較完整地說明策略組合背后風險和收益的特性。一是實證結果說明了由期權背后所涵蓋的動態權益風險暴露項確實能夠顯著地為整個策略組合帶來超額收益，尤其在市場衰退的情況下，隨著delta進行動態調整的策略，與其他兩項風險因素相比，動態權益風險暴露項所帶來的超額收益貢獻最多，也有最高的夏普比率。二是，因為動態權益風險暴露項為主要的風險來源，通過期貨避險方法，經過風險管理后可以有效降低整個策略組合的波動度，尤其是在市場走勢表現較好的時期，通過風險控制后的策略組合能夠畢原來未經避險的策略組合有更高的夏普比率。

整體而言，考慮到期權的delta值會每天變化的緣故，再通過每天調整現貨部分的做法，其動態權益風險暴露項能夠為Put Write指數策略帶來超額收益，那么我們可以將這一概念廣泛地運用在其他含有作為期權交易方的期權投資策略組合。同時在未來研究建議中，通過考慮gamma值、更改動態調整部位的頻率或避險的頻率和手段，使得在利用三種風險因素的拆解方法下，找出能夠對整個策略投資組合帶來最佳貢獻的方法。■