具有整周回轉能力的3T1R并聯機構運動學分析

暢博彥 李曉寧 金國光 張 轉 楊 帥

(1.天津工業大學機械工程學院， 天津 300387； 2.天津市現代機電裝備技術重點實驗室， 天津 300387)

0 引言

3T1R型并聯機器人在高速抓放、產品分揀、零件裝配等工藝過程中，尤其在需要調整工件姿態的場合下，具有廣泛的應用前景。最初的3T1R并聯機構是以Delta機器人為基礎，通過在其動平臺上添加一個獨立的轉動副而得到。隨著數學工具的發展，相繼提出了H4、I4、Par4、Heli4等類型的3T1R并聯機構[1-6]。趙鐵石等[7]提出了4-TRT型3T1R并聯機構；黃田等[8]提出了Cross-IV型四自由度3T1R并聯機構；劉辛軍等[9]提出了X4型四自由度3T1R并聯機構；沈惠平等[10-16]對國內外現有的2～6自由度并聯機構進行拓撲結構和運動解耦性分析，提出了并聯機構的4個運動解耦規律、4個運動解耦設計原理及其方法和2個降耦原理及其3種降耦方法，結合并聯機構拓撲結構設計理論，提出了多種3T1R并聯機構，并對其拓撲結構特征和運動特性進行了分析；楊廷力等[17-18]基于方位特征方程，詳述了3T1R并聯機構拓撲結構綜合的完整過程，并得到多種新型3T1R并聯機構；朱小蓉等[19-20]提出了一種無過約束并聯機構設計方法，并基于降耦原理設計了一種低耦合度的3T1R運動解耦并聯機構。但是，由于受到支鏈間的相互約束作用，大多數的3T1R并聯機構的轉動能力較小(小于90°)，不足以滿足實際工況的使用要求[21]。

實現3T1R并聯機構整周回轉運動的方法主要包括[21]：① 在動平臺上直接增加一個獨立的轉動副，這種方法增加了機構末端的轉動慣量和制造成本。② 利用齒輪放大機構動平臺的旋轉角，該方法使并聯機構的結構更加復雜，對可靠性有一定影響。③ 采用兩個軸線相同、但旋向相反的螺旋副，使動平臺具有整周回轉能力，該方法簡單有效，但需要保證制造、裝配和控制精度，以避免鎖死。

本文將平行四邊形機構與平行四邊形剪叉機構相結合，提出一種平面二維移動放縮單元，經模塊化組合和擴展后，構造一種新型平面二維移動放縮機構，并將該放縮機構作為支鏈應用于3T1R并聯機構的設計，對所得并聯機構的拓撲結構進行分析和降耦設計，得到耦合度為1的降耦機構。以降耦機構為研究對象，基于序單開鏈法建立機構的位置正反解方程，用于對機構的工作空間和轉動能力進行分析，以確定機構可實現整周回轉運動的工作空間范圍。

1 平面二維移動放縮支鏈

1.1 支鏈的組成原理

圖1所示的平面二維移動放縮支鏈由3種模塊，即底部模塊、中部模塊和頂部模塊，經轉動副順序連接而成，3種模塊均由二維移動放縮單元演變而來，演變過程如圖2所示。二維移動放縮單元以平行四邊形機構和平行四邊形剪叉機構為基礎構造而成，構造過程如圖3所示。由圖1可以看出，對于由n個模塊(n≥2)組成的二維移動放縮支鏈，其包括1個底部模塊、n-2個中部模塊和1個頂部模塊。

圖1 n層平面二維移動放縮支鏈簡圖Fig.1 Two-dimensional pantograph mechanism consisted of n-layer modules

圖2 3種模塊構造簡圖Fig.2 Construction diagrams of three kinds of module

1.2 支鏈的運動學分析

圖3 二維移動放縮單元Fig.3 Two-dimensional pantograph unit

以二維移動放縮單元為研究對象，以E0為原點，桿IB為x軸，建立固定坐標系Oxy如圖4所示，桿BC、IJ、FE1、CK′與x軸正向的夾角分別為θ11、θ12、θ13、θ14；桿E0G、IJ、E0H、BC的長度為l1，桿E0I、E0B的長度為l2，桿FG、FJ、DH、DC的長度為0.5l2，桿JK、FE1、CK′、DE1的長度為l3。

采用矢量代數法可建立機構的閉環矢量方程，針對閉環運動鏈E0GFE1E0，列寫閉環矢量方程

E0G+GF+FE1=E0E1

即

(1)

圖4 二維移動放縮單元運動建模Fig.4 Kinematic modeling of two-dimensional pantograph unit

針對閉環運動鏈E0HDE1E0，列寫閉環矢量方程

E0H+HD+DE1=E0E1

即

(2)

聯立式(1)、(2)，可將θ13、θ14分別表示為θ11和θ12的函數

(3)

因此，在已知θ11和θ12時，可求得E1點坐標為

(4)

對于由n個模塊(n≥2)組成的平面二維移動放縮支鏈，根據機構的中心對稱性，可得

(5)

由于E0=(0,0)，代入式(5)可得

(6)

由此可知，對于n層平面二維運動放縮機構，第n層中E2n點可將E1點處的運動軌跡放大2n倍。如圖5所示，對于3層平面二維運動放縮機構，第3層中E6點可將E1點處的運動軌跡放大6倍。

圖5 3層平面二維移動放縮機構Fig.5 Two-dimensional pantograph mechanism consisted of 3-layer modules

2 3T1R并聯機構及其拓撲特性分析

2.1 機構設計

本文提出的3T1R并聯機構由動平臺1、靜平臺0通過4條結構相同的平面二維移動放縮支鏈連接而成，如圖6、7所示，其中，各支鏈與動平臺1相連的4個轉動副R10、R20、R30、R40的軸線與動平臺平面垂直；各支鏈與靜平臺0相連的轉動副R11、R21、R31、R41為驅動副，其軸線共面且R11‖R31⊥R21‖R41。

圖6 3T1R并聯機構三維模型Fig.6 3D modeling of 3T1R PM

圖7 3T1R原始機構Fig.7 Original 3T1R PM

2.2 機構的拓撲特性分析

2.2.1機構的方位特征集和自由度

選定動平臺1上任意一點O′為基點。確定支鏈末端構件的方位特征集為

第Ⅰ、Ⅱ支鏈組成第1回路，其第1個獨立回路位移方程數ξL1為

第Ⅰ、Ⅱ支鏈組成的第1子并聯機構的自由度和方位特征集為

由第1子并聯機構及第Ⅲ支鏈組成第2個回路，其第2個獨立回路位移方程數ξL2為

第1子并聯機構及第Ⅲ支鏈組成的第2子并聯機構的自由度和方位特征集為

由第2子并聯機構及第Ⅳ支鏈組成第3個回路，其第3個獨立回路位移方程數ξL3為

機構自由度為

機構動平臺的方位特征集為

機構的過約束度Nov為

因此，取靜平臺0上的4個轉動副R11、R21、R31、R41為驅動副時，動平臺1具有3個移動和1個繞其法線方向上的轉動輸出。

2.2.2機構的耦合度計算

第1個回路的約束度Δ1為

第2個回路的約束度Δ2為

第3個回路的約束度Δ3為

耦合度k為

由于該機構的耦合度k=2，機構位置正解比較復雜，但可通過降耦設計，在保持機構的基本功能(方位特征集和自由度)不變的前提下，使機構的正向運動學和逆向運動學方便求解。

3 3T1R降耦機構的設計

根據第2.2節中對該機構進行拓撲特性分析時，發現第1回路的方位特征集和自由度與整個機構的方位特征集、自由度相同，即Mpa(1-2)=Mpa(1-4)、F(1-2)=F(1-4)，因此當機構只包含支鏈Ⅰ和支鏈Ⅱ時，可得到降耦機構如圖8所示。

圖8 3T1R并聯機構的降耦設計Fig.8 Coupling-reducing design of 3T1R PM

3.1 降耦機構的POC集和自由度

選定動平臺1上任意一點O′為基點。確定支鏈末端構件的方位特征集

第Ⅰ、Ⅱ支鏈組成唯一回路，其回路位移方程數ξL1為

機構自由度為

機構動平臺的方位特征集為

機構的過約束度Nov為

因此，取轉動副R12、R14、R22、R24為驅動副時，動平臺1具有3個移動和1個繞其法線方向上的轉動輸出。

3.2 降耦機構的耦合度計算

回路的約束度Δ1為

耦合度k為

由此可知，通過減少支鏈的數目，并改變其驅動副，實現了機構的基本功能(方位特征集和自由度)不變，但機構的耦合度降低為1，此時，機構的位置正解可由基于序SOC的一維搜索法求得[14]。

4 降耦機構的位置分析

4.1 位置正解

4.1.1坐標系建立及符號標注

機構位置分析求解模型如圖9所示，靜平臺為邊長為2a的正方形，動平臺為邊長為b的正方形，4個驅動分別為R12、R14、R22、R24。靜坐標系OXYZ建立在靜平臺的中心點O處，X軸和Y軸分別與R21、R11軸線平行，Z軸由右手法則確定；而動坐標系puvw位于動平臺的中心點p，pR10為u軸、pR20為v軸，w軸由右手法則確定。機構的主要結構參數為：在各支鏈中， R14、R12、R24、R22的轉角θ11、θ12、θ21、θ22為輸入角，α1、α2為支鏈Ⅰ、Ⅱ的轉角，E6點到動平臺的直線距離為l4，動平臺繞w軸方向的轉角為姿態角γ，如圖10所示。

圖9 3T1R并聯機構的位置分析模型Fig.9 Model of position analysis in 3T1R coupling-reducing PM

圖10 姿態角γ的測量Fig.10 Measurement of angle γ

該機構的位置正解可描述為：已知輸入角θ11、θ12、θ21、θ22，求動平臺中心的位置坐標p(x,y,z)及姿態角γ。

4.1.2SOC上各運動副位置求解

由SOC中的分支鏈，可求得轉動副R10的位置坐標，再由矢量方程Op=OR10-pR10求得p點的坐標為

(7)

同理，由SOC的另一分支鏈，求得轉動副R20的位置坐標，再由矢量方程Op=OR20-pR20求得p點的坐標為

(8)

由式(7)和式(8)可得

(9)

(10)

6C1+l4=6C2+l4

(11)

其中A1=l1sinθ11cosα1+l3sinθ14cosα1

A2=-l1cosθ21-0.5l2-l3cosθ24
B1=l1cosθ11+0.5l2+l3cosθ14
B2=l1sinθ21cosα2+l3sinθ24cosα2
C1=l1sinθ11sinα1+l3sinθ14sinα1
C2=l1sinθ21sinα2+l3sinθ24sinα2

由式(11)可得

(12)

由式(9)和式(10)聯立并消去γ后可得

A2+B2=b2

(13)

其中

A=a+6A1-6A2

B=6B1-a-6B2

由此可建立目標函數

(14)

4.2 位置反解

該機構的位置反解可描述為：已知動平臺中心的位置p(x,y,z)及姿態角γ，求輸入轉角θ11、θ12、θ21、θ22。

4.2.1輸入角θ11和θ12求解

由式(7)中x、z坐標，可知

6sinα1(l1sinθ11+l3sinθ14)=z-l4

(15)

(16)

將式(15)和式(16)聯立可求得

由式(7)中y、z坐標，可得

6l1cosθ14=P1-6l1cosθ11

(17)

(18)

將式(17)和式(18)聯立消去θ14，有

P3sinθ11+P4cosθ11+P5=0

(19)

令

可得方程式(19)的解為

(20)

將式(17)和式(18)聯立消去θ11，有

P6sinθ14+P7cosθ14+P8=0

(21)

令

可得方程式(21)的解為

(22)

根據式(20)、式(22)和式(3)可求解得到輸入角θ11、θ12。

4.2.2輸入角θ21和θ22求解

由式(8)中y、z坐標，可知

6sinα2(l1sinθ21+l3sinθ24)=z-l4

(23)

(24)

將式(23)和式(24)聯立可求得

由式(8)中x、z坐標，可得

-6l3cosθ24=Q1+6l1cosθ21

(25)

(26)

將式(25)和式(26)聯立消去θ24，有

Q3sinθ21+Q4cosθ21+Q5=0

(27)

令

可得方程式(27)的解為

(28)

將式(25)和式(26)聯立消去θ21，有

Q6sinθ24+Q7cosθ24+Q8=0

(29)

令

可得方程式(29)的解為

(30)

根據式(28)、(30)和式(3)可求解得到輸入角θ21、θ22。

4.3 位置正反解實例驗算

4.3.1正解算例

表1 機構位姿正解數值Tab.1 Numerical forward solutions of PM

4.3.2反解算例

將表1中位置正解結果代入式(20)、(22)、(28)、(30)和式(3)，得到的位置反解結果為θ11=15.240 6°，θ12=94.91 0°，θ21=31.035°，θ22=131.03°。與給定的4個輸入角一致，從而驗證了所建機構正反解模型的正確性。

5 降耦機構的工作空間和轉動能力分析

5.1 工作空間分析

工作空間是衡量并聯機器人性能的一個重要指標，本文采用極限邊界搜索法對該3T1R降耦機構進行工作空間分析。首先設定其工作空間的搜索范圍，基于導出的位置反解公式，求解出該搜索范圍內每一點所對應的桿長和運動副轉角，篩選出所有滿足桿長約束和運動副轉角約束條件的點，若其中的任一值超出了其允許值，則對應的點在工作空間外，表示機構達不到此時的位置，反之，即可判斷該點是在工作空間內，這些符合條件的點組成的三維立體圖，即為該機構能夠達到的工作空間。

機構的結構參數已在4.3節給出。為了找到空間內所有滿足要求的點，首先確定其三維搜索范圍：0≤Z≤4 m、0≤θ≤2π、0≤ρ≤5 m(θ、ρ分別為柱坐標系中搜索角度和搜素半徑)；約束條件為θ11、θ12、θ21、θ22存在實數解；通過Matlab數值分析，取沿Z方向的步長ΔZ=0.1 m，搜索半徑步長Δρ=0.1 m，旋轉角步長Δθ=π/36，姿態角γ在0°～360°之間變化。可求得機構的工作空間三維立體圖如圖11所示，X-Y的截面圖如圖12所示。

圖11 降耦機構的三維工作空間Fig.11 Three-dimensional workspace of coupling-reducing PM

從圖11、12可以看出，該3T1R機構的工作空間連續，隨著Z的增加，機構的工作空間X-Y的截面積逐漸減小，但圖形更加規則。

圖12 工作空間的X-Y截面圖Fig.12 X-Y cross-sectional views of workspace

5.2 轉動能力分析

動平臺的轉動能力即為末端執行器在工作區域內的轉角范圍，是衡量并聯機構輸出轉動靈活性能的一個重要指標。在分析其轉動能力時同樣采用極限邊界搜索法，基于導出的位置反解公式，通過固定高度Z處的X-Y截面來分析該機構動平臺的轉動能力[14]。通過改變搜索半徑ρ以及搜索角θ，分別計算動平臺在此X-Y截面內轉角的最大值γmax和最小值γmin，用于評價機構在該截面上的轉動能力。由此，在得到降耦機構工作空間的基礎上，可進一步研究其在不同X-Y截面上的轉動能力，即動平臺在不同高度情況下，輸出轉角的最大值γmax和最小值γmin的分布規律，如圖13所示。

由圖13可以看出，動平臺轉動能力即輸出轉角的最大值γmax和最小值γmin的分布規律，在某些高度條件下，可分別達到180°和-180°。由此可得，當機構動平臺中心位置p為工作空間內某一特定點時，若對應的動平臺輸出轉角最大值γmax=180°，且輸出轉角最小值γmin=-180°，則稱動平臺在該點處具有整周回轉能力，滿足上述條件的點的集合即為機構具有整周回轉能力的工作空間。

在對降耦機構進行轉動能力分析的基礎上，可進一步篩選得到不同高度下機構具有整周回轉能力的工作空間，如表2所示。圖14為動平臺中心位置p(x,y,z)=(0.812 m,1.016 m,2 m)時，對應其整周回轉過程的示意圖。

由表2可以看出，當Z∈[0，3.4 m]時機構均具有整周回轉能力，其中Z∈[0，1.4 m)時，機構具有整周回轉能力的工作空間的截面是復連通點集，定義為Ⅰ型工作空間；Z∈[1.4 m，3.4 m]時，機構具有整周回轉能力的工作空間的截面是單連通點集，定義為Ⅱ型工作空間。在Ⅱ型工作空間內，動平臺的運動軌跡規劃和姿態調整靈活簡便。

為了更直觀地評價機構在不同X-Y截面上工作空間的大小，需要求解對應的截面積。但是若截面形狀是不規則圖形，其面積就無法使用常規的幾何圖形面積計算公式進行求解，因此采用蒙特卡洛方法來計算工作空間內不同高度Z下X-Y截面的面積。在上文所述邊界搜索法中，其最大搜索邊界是半徑為5 m的圓，因此選取邊長為10 m的正方形為邊界，可使機構工作空間面積均在該正方形內；當搜索點符合均勻分布時，落入工作面積內部的點的數量，與工作面積所占正方形面積的比例成正比。

假設在面積為S的正方形內搜索點數為N，落入待求工作空間面積內部的點數為n，則該工作面積s可表示為

(31)

由式(31)可求得，在Z取不同值時機構的工作空間的截面積和機構具有整周回轉能力的工作空間的截面積，如圖15所示。可以看出，機構的工作空間的截面積隨著Z的增大而減小，當Z取值為3.7 m時，工作空間的截面積為0，即動平臺沿Z軸方向移動的最大高度為3.7 m。此外，機構具有整周回轉能力的工作空間的截面積隨著Z的增大先增大后減小，且當Z取值為1.4 m時達到最大，為17.336 m2，當Z取值為3.5 m時，機構不具備整周回轉能力。

圖13 不同高度條件下降耦機構的轉動能力Fig.13 Rotational capacity of coupling-reducing PM at different heights

圖14 動平臺中心位置p(x,y,z)=(0.812 m,1.016 m,2 m)時的整周回轉過程示意圖Fig.14 Rotational capacity of moving platform with its geometric center p(x,y,z)=(0.812 m,1.016 m,2 m)

圖15 X-Y截面積變化曲線Fig.15 Changing curves of X-Y cross-sectional area

6 結論

(1)提出了一種二維移動放縮單元，經模塊化組合與擴展后，構造了一種新型平面二維移動放縮機構，將該放縮機構作為支鏈，設計得到一種新型4支鏈3T1R并聯機構，分析了該并聯機構的拓撲結構特性，求得機構的耦合度為2，位置正解求解比較復雜。

(2)對4支鏈3T1R并聯機構進行降耦設計，在保證基本功能(方位特征集和自由度)不變的情況下，將機構耦合度降為1，使其位置正解求解得到簡化。

(3)采用基于序單開鏈法的位置正解求解原理，建立了降耦機構的正解方程，采用一維搜索法求得其數值解，并通過數值解驗證了正反解方程的正確性。

(4)基于機構的位置反解公式，分析了降耦機構的工作空間和轉動能力，結果表明：該并聯機構的工作空間大，且具有連續性；動平臺轉動能力強，且在一定工作空間范圍內具有整周回轉能力；在轉動能力分析的基礎上，篩選得到了不同高度下機構具有整周回轉能力的工作空間，將其分為Ⅰ型工作空間和Ⅱ型工作空間，在Ⅱ型工作空間內，動平臺的運動軌跡規劃和姿態調整靈活、簡便。

(5)基于蒙特卡洛方法研究了工作空間截面積隨Z的變化規律，結果表明：機構的工作空間的截面積隨著Z的增大而減小，動平臺沿Z軸方向移動的最大高度為3.7 m。機構具有整周回轉能力的工作空間的截面積隨著Z的增大先增大后減小，且當Z取值為1.4 m時達到最大，當Z取值為3.5 m時，機構不具備整周回轉能力。該方法對不同結構參數的同類型機構均適用。