非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器結構設計與特性分析

高世橋 閆 麗 金 磊 張希洋 張廣義

(1.北京理工大學爆炸科學與技術國家重點實驗室， 北京 100081;2.中國科學院寧波材料技術與工程研究所， 寧波 315201)

0 引言

隨著微機電技術的發展，微小型、低功耗電子元器件的供電問題得到了廣泛關注。振動能廣泛存在于自然環境中，具有綠色、無污染、能量密度高等優點，收集振動能并為低功耗電子元器件供能成為研究熱點[1-4]。壓電俘能器作為一種振動能采集器，具有結構簡單、無污染、無電磁干擾、易于小型化等優點，其產生的能量可以滿足低功耗電子元器件的需求[5-7]。ROUNDY[8]將末端帶有質量塊的單懸臂梁式壓電俘能器應用在無線傳感網絡節點中。自然環境中的振動源多為100 Hz以下的低頻振動源[9-10]，而單懸臂梁式壓電俘能器固有頻率大多在100 Hz以上[11-12]，難以達到其諧振頻率點，且其帶寬窄，輸出性能較差。因此，降低壓電俘能器的固有頻率、拓寬壓電俘能器的帶寬成為研究重點。ZHANG等[13]設計了三角形、梯形、矩形3種形狀的懸臂梁結構，并進行了理論分析與試驗驗證。譚楊康等[14]對梯形懸臂梁進行了研究,并與矩形懸臂梁作了對比，結果表明，梯形壓電片上應力分布更加均勻。改變懸臂梁形狀可以在一定程度上降低固有頻率、增大開路電壓、提高輸出功率。另外，為拓寬俘能器帶寬，許多學者將非線性因素引入壓電俘能器中[15-16]。利用磁鐵的非接觸磁力引入非線性的方式，可以有效拓寬俘能器帶寬，改善輸出性能。針對雙端固支式壓電俘能器，筆者提出一種雙端固支矩形梁壓電俘能器[17]，并將其輸出性能與雙端固支梯形梁壓電俘能器進行對比分析。

為滿足壓電俘能器低頻、寬帶、高效的要求[18-19]，本文提出一種非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器，通過引入非接觸磁力，以降低俘能器諧振頻率，拓寬帶寬，并提高輸出功率。

1 結構設計與理論分析

線性雙端固支梯形梁壓電俘能器結構如圖1所示，由梯形壓電片、梯形基底梁和位于中間的作為質量塊使用的磁鐵(質量塊磁鐵)組成，質量塊磁鐵兩側對稱布置兩片梯形壓電片。從應力云圖(圖2)看出，應力主要集中在固支端和質量塊磁鐵兩側。質量塊磁鐵可以降低諧振頻率，提高振幅并增大壓電片應變。

圖1 線性雙端固支梯形梁壓電俘能器結構示意圖Fig.1 Linear double-end fixed trapezoidal beam PEH

壓電片上下兩表面鋪設電極，且使質量塊磁鐵一側兩梯形壓電片的下表面電極相連，上下表面電極可通過導線與負載相連，形成回路并對外供能。圖3是振型簡圖，質量塊磁鐵一側兩壓電片受力相反，將兩壓電片串聯可增加輸出電壓并提高輸出功率。在質量塊磁鐵的上下兩側對稱布置相同的固定磁鐵，由此引入非接觸磁力，利用磁鐵間的引力改變俘能器振動幅值，進而改變輸出性能，非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器結構如圖4所示。

圖2 應力云圖Fig.2 Stress nephogram

圖3 振型簡圖Fig.3 Mode of vibration diagram

圖4 非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器結構示意圖Fig.4 Nonlinear double-end fixed trapezoidal beam PEH

圖5 壓電俘能器等效電路圖Fig.5 Equivalent circuit of PEH

線性雙端固支梯形梁壓電俘能器由機械振動單元和壓電俘能單元組成，兩部分通過傳遞因子相互作用。壓電俘能器可等效為電流源和電容并聯[20]，如圖5所示。

壓電耦合狀態方程[21]為

(1)

(2)

式中me——等效質量

ce——等效阻尼系數

k——梯形梁等效剛度

t——時間

R——外接負載電阻

V(t)——負載兩端電壓

a(t)——外界激勵加速度

z(t)——俘能器位移

θ——機械振動單元與壓電俘能單元間的傳遞因子

C——雙端固支梯形梁質量塊磁鐵一側兩壓電片串聯電容

βp——壓電材料介電常數

ε——梯形梁截面變化率

δ——壓電片厚度

L——質量塊一側基底梁總長度

a0——基底梁寬度

磁鐵間磁力[22]為

(3)

式中μ0——磁導率

M1、M0——兩磁鐵磁化強度

在整個高速公路的養護和管理的過程中，成本的管理是貫穿在整個公路養護過程中的，根據當地的實際情況選擇合適的養護計劃、進行運行和養護成本的預測、監督成本的使用情況、工作人員根據計劃的實施情況提出相關的改進建議等都是工作人員需要重點考慮的。我國的高速公路養護和管理歷史并不長，因此需要向國外引進相關的經驗。國外在這方面的一個非常重要的發展經驗就是實現成本管理的制度化和規范化。

V1、V0——兩磁鐵體積

d——兩磁鐵之間的靜態距離

在外界激勵下，當俘能器質量塊磁鐵的某瞬時振幅為z(t)時，質量塊磁鐵與上、下固定磁鐵之間的作用力分別為Fm1、Fm2，則質量塊磁鐵受到的非線性磁力為

(4)

式中Mm、Mt、Mb——質量塊磁鐵和上、下固定磁鐵磁化強度

Vm、Vt、Vb——質量塊磁鐵和上、下固定磁鐵體積

為避免梁的塑性變形，應使質量塊磁鐵受到的非線性磁力小于梁的彈性恢復力。

當俘能器上下兩固定磁鐵相同，且與質量塊磁鐵的靜態距離分別相等時，將式(4)在俘能器的靜態位置處泰勒展開并忽略三階以上的高階項，得到

Fm(z(t))=k1z+k3z3

(5)

(6)

(7)

式中k1——非接觸磁力引起的線性剛度

則非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器耦合狀態方程為

(8)

2 仿真分析

2.1 線性和非線性壓電俘能器數值仿真

在建立耦合狀態方程的基礎上，利用Matlab/Simulink對線性和非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器進行數值仿真，建立的線性仿真模型(圖6)和引入非接觸磁力后的非線性仿真模型(圖7)的相關設計參數如表1所示。通過數值仿真對比線性及非線性兩種情況下俘能器的輸出性能，分析非接觸磁力對俘能器輸出性能的影響。

對線性及非線性兩種情況進行Matlab/Simulink仿真分析，輸出功率隨頻率變化曲線如圖8所示。線性壓電俘能器諧振頻率為93 Hz，諧振時輸出功率為0.175 mW；非線性壓電俘能器諧振頻率為82 Hz，諧振時輸出功率為0.187 mW。引入的非接觸磁力使壓電俘能器等效剛度降低，諧振頻率比線性時小，更易在低頻環境中達到諧振狀態。非線性壓電俘能器諧振時輸出功率比線性提高了6.8%，輸出性能明顯優于線性壓電俘能器。

2.2 非線性壓電俘能器輸出性能影響參數

分析固定磁鐵與質量塊磁鐵間距d、外接負載電阻R、外界激勵加速度a3個參數對俘能器輸出性能的影響。

圖6 線性雙端固支梯形梁壓電俘能器仿真模型Fig.6 Simulation model of linear double-end fixed trapezoidal beam PEH

外界激勵加速度為2 m/s2，固定磁鐵與質量塊磁鐵間距d為18、15、12 mm時，輸出功率隨頻率變化曲線如圖9所示。磁鐵間距18 mm時，諧振頻率為83 Hz，最大輸出功率為0.186 mW；磁鐵間距15 mm時，諧振頻率為82 Hz，最大輸出功率為0.178 mW；磁鐵間距12 mm時，諧振頻率為82 Hz，最大輸出功率為0.173 mW。隨著磁鐵間距的減小，俘能器諧振頻率略有下降，最大輸出功率降低。

圖7 非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器仿真模型Fig.7 Simulation model of nonlinear double-end fixed trapezoidal beam PEH

參數數值介電常數βp/(F·m-1)1.3×10-8等效電容C/F5.148×10-9傳遞因子θ/(N·V-1)0.002466彈性模量Yp/GPa66等效阻尼系數ce/(N·s·m-1)0.3等效質量me/kg0.02線性時等效剛度k/(N·m-1)6503.1剩磁(釹鐵硼)Br/Gs4200磁導率μ0/(H·m-1)4π×10-7

圖8 線性及非線性壓電俘能器輸出性能仿真對比Fig.8 Output performance comparison between linear and nonlinear PEH

圖9 不同磁鐵間距時輸出功率隨頻率的變化曲線Fig.9 Variation curves of output power with frequency at different spaces between magnets

在外界激勵加速度為4 m/s2、磁鐵間距15 mm條件下，外接負載電阻R對俘能器輸出性能的影響如圖10所示。在初始階段，隨著負載電阻的增加，輸出功率快速增加，直至輸出功率達到最大值；隨后輸出功率隨負載的增加緩慢下降。可以看出，最佳負載在200 kΩ左右。

圖10 輸出功率隨負載電阻的變化曲線Fig.10 Variation curve of output power with load

圖11 不同加速度時輸出功率隨頻率的變化曲線Fig.11 Variation curves of output power with frequency at different excitation accelerations

在固定磁鐵與質量塊磁鐵間距d為15 mm情況下，俘能器輸出功率隨頻率變化曲線如圖11所示，外界激勵加速度為2、3、4 m/s2時，最大輸出功率分別為0.185、0.412、0.711 mW。隨著加速度的增大，最大輸出功率顯著增加，俘能帶寬增大，諧振頻率降低。不同外界激勵加速度下輸出功率隨電阻變化曲線如圖12所示。不同加速度下，功率隨電阻的變化趨勢相同，同一電阻的輸出功率隨加速度的增大而增大，最佳負載下的輸出功率隨加速度增大而增大。

圖12 不同加速度時輸出功率隨電阻的變化曲線Fig.12 Variation curves of output power with load at different excitation accelerations

圖13 壓電俘能器樣機Fig.13 Prototype of PEH

圖14 試驗測試系統Fig.14 Test measuring system1.信號發生器 2.功率放大器 3.示波器 4.激振臺 5.動態信號分析儀

3 試驗與結果分析

針對線性及非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器設計了樣機并搭建了試驗測試系統，俘能器樣機及試驗測試系統分別如圖13、14所示。壓電俘能器結構模型使用PZT-5H作為壓電材料，使用鈹青銅作為基底梁材料，線性時使用強力磁鐵作為質量塊磁鐵，非線性時在質量塊磁鐵上下兩側布置相同的磁鐵，使質量塊磁鐵與上下兩相同磁鐵之間產生非接觸磁力，磁鐵均為圓柱型強力磁鐵。結構模型參數如表2所示。

試驗測試系統中，信號發生器生成簡諧信號，簡諧信號由功率放大器放大后傳遞給激振臺，激振臺帶動壓電俘能器振動，動態信號分析儀和示波器分別顯示外界激勵加速度信號及壓電俘能器輸出電壓。

3.1 線性與非線性壓電俘能器性能對比

在激勵加速度為2 m/s2時，線性及非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器的開路電壓隨頻率變化曲線如圖15所示，輸出功率隨頻率的變化曲線如圖16所示。此時非線性壓電俘能器中固定磁鐵與質量塊磁鐵間距為18 mm，固定磁鐵與質量塊磁鐵間的作用力為引力。測量結果顯示，線性壓電俘能器諧振頻率為90.8 Hz，最大峰峰值電壓為34.8 V，帶寬為2.5 Hz；非線性壓電俘能器諧振頻率為81.8 Hz，最大峰峰值電壓為33.6 V，帶寬為3 Hz。

表2 結構模型參數Tab.2 Structural model parameters mm

圖15 線性及非線性時開路電壓隨頻率的變化曲線Fig.15 Variation curves of voltage with frequency

圖16 線性及非線性時輸出功率隨頻率的變化曲線Fig.16 Variation curves of output power with frequency

非線性壓電俘能器諧振頻率降低了9 Hz，帶寬增加了0.5 Hz，帶寬拓寬了20%，輸出功率提高了7.5%，與數值仿真結果一致。

3.2 引力作用下非線性壓電俘能器性能測試

通過試驗測試研究引力作用下固定磁鐵與質量塊磁鐵間距d、外接負載電阻R、外界激勵加速度a3個參數對非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器輸出性能的影響。

不同固定磁鐵與質量塊磁鐵間距時非線性壓電俘能器的輸出性能如圖17、18所示。當間距d減小時，非線性壓電俘能器諧振頻率降低，開路電壓略有增大，輸出功率下降，與數值仿真結果一致。由于磁鐵間距的減小，非線性壓電俘能器等效剛度降低，諧振頻率下降。磁鐵間距是影響非線性壓電俘能器輸出性能的重要參數，在實際應用過程中需要綜合考慮諧振頻率與輸出功率，使俘能效果達到最優。

圖17 不同磁鐵間距時開路電壓隨頻率的變化曲線Fig.17 Variation curves of voltage with frequency at different spaces between magnets

圖18 不同磁鐵間距時輸出功率隨頻率的變化曲線Fig.18 Variation curves of output power with frequency at different spaces between magnets

保持外界激勵加速度a為4 m/s2、磁鐵間距d為15 mm，輸出功率隨負載電阻的變化曲線如圖19所示。由圖19可知，輸出功率先隨負載電阻的增大快速增加，當電阻為220 kΩ時輸出功率最大，隨后輸出功率隨負載電阻的增大而緩慢下降，變化趨勢與仿真結果相符合。

圖19 輸出功率隨負載電阻的變化曲線Fig.19 Variation curve of output power with load

圖20 不同加速度時輸出電壓隨頻率的變化曲線Fig.20 Variation curves of voltage with frequency at different excitation accelerations

圖21 不同加速度時輸出功率隨頻率的變化曲線Fig.21 Variation curves of output power with frequency at different excitation accelerations

外界激勵加速度分別為2、3、4 m/s23種情況下非線性壓電俘能器的輸出性能如圖20、21所示。由圖20、21可知，隨著外界激勵加速度的增大，非線性壓電俘能器諧振頻率降低，開路電壓、輸出功率都顯著提高，非線性效應隨加速度的增大而增強。

不同激勵加速度下輸出電壓隨電阻的變化曲線如圖22所示。由圖22可知，隨著外接負載電阻逐漸增大，負載兩端電壓增大。不同加速度時，外接負載輸出功率隨負載電阻變化曲線如圖23所示，當加速度2 m/s2時，最佳負載電阻為190 kΩ，對應的輸出功率為0.263 mW；當加速度3 m/s2時，最佳負載電阻為200 kΩ，對應輸出功率為0.532 mW；加速度4 m/s2時，最佳負載電阻為220 kΩ，對應的輸出功率為0.927 mW。由此可以看出，最佳負載電阻隨加速度的增大略有增大，最佳負載電阻對應的輸出功率有顯著提高。

圖22 不同加速度時輸出電壓隨電阻的變化曲線Fig.22 Variation curves of voltage with load at different excitation accelerations

圖23 不同加速度時輸出功率隨電阻的變化曲線Fig.23 Variation curves of output power with load at different excitation accelerations

4 結論

(1)建立了非線性雙端固支梯形梁壓電俘能器耦合狀態方程，利用Matlab/Simulink進行數值仿真，并試驗測試、對比分析了線性及非線性壓電俘能器輸出性能，結果表明：非接觸磁力的引入使非線性雙端固支梯形梁諧振頻率降低了9 Hz，帶寬拓寬了20%，輸出功率提高了7.5%。

(2)研究了引力作用下固定磁鐵與質量塊磁鐵間距、外接負載電阻、外界激勵加速度對輸出性能的影響。固定磁鐵與質量塊磁鐵間距減小時，非線性壓電俘能器等效剛度下降，使得諧振頻率降低，更容易達到諧振狀態，同時其輸出功率有所降低；外接負載電阻變化時，存在一個使輸出功率達到最大值的最佳負載電阻；隨著外接激勵加速度的增加，非線性壓電俘能器的輸出性能得到提高。