廣義正交模糊Maclaurin對稱平均算子及其應用*

王 軍，張潤彤+，朱曉敏

1.北京交通大學 經濟管理學院，北京 100044

2.北京交通大學 機械與電子控制工程學院，北京 100044

1 引言

多屬性決策是現代決策科學的一個重要分支。由于決策問題的復雜性，如何在復雜和不確定性環境下表示屬性值，是需要重點考慮的問題。Zadeh[1]提出的模糊集是一種描述不確定現象的有效工具。隨后，學者Atanassov[2]對模糊集理論進行了擴展，提出了直覺模糊集理論。由于直覺模糊集同時具備隸屬度和非隸屬度兩個維度，因而在描述不確定信息和現象時比經典模糊集更有效。由于直覺模糊集的這一特點，在過去的幾十年里直覺模糊集被廣泛應用在疾病診斷[3]、模式識別[4]、聚類分析[5]以及多屬性決策問題中[6-7]。直覺模糊集需要滿足的約束條件是隸屬度和非隸屬度之和小于或等于1。這樣的約束條件使得直覺模糊集的應用受到了很大的約束，因而限制了其使用范圍。因此，學者Yager[8]對直覺模糊集理論進行了擴充，提出了畢達哥拉斯模糊集理論。

畢達哥拉斯模糊集的約束條件是隸屬度和非隸屬的平方和不大于1。由此可見，畢達哥拉斯模糊集比直覺模糊集所能描述的范圍更廣。此后，許多學者將研究重點放在基于畢達哥拉斯模糊集的多屬性決策問題上。例如，文獻[9]提出了畢達哥拉斯模糊軟集的概念，并將這一模糊集應用到多屬性決策問題中。為了消除專家過高或者過低決策值給決策結果帶來負面的影響，文獻[10-11]提出了一些畢達哥拉斯模糊冪加權平均算子，并基于這些算子提出了一種解決多屬性決策問題的算法。文獻[12-13]考慮畢達哥拉斯模糊集中隸屬度和非隸屬度之間的交叉關系，提出了幾類畢達哥拉斯模糊交叉集成算子。為了捕獲畢達哥拉斯模糊數之間的相關關系，Liang等[14]提出了一些畢達哥拉斯模糊Bonferroni平均算子。Garg[15]提出了一種解決區間值畢達哥拉斯模糊多屬性決策問題的線性回歸方法。文獻[16]提出了一系列廣義畢達哥拉斯模糊Bonferroni平均算子。Li等[17]提出了一系列畢達哥拉斯模糊冪Muirhead平均算子。受到猶豫模糊集的啟發，Garg[18]提出了猶豫畢達哥拉斯模糊集，并將其應用在多屬性決策問題中。Xing等[19]基于Frank范數提出了一系列的畢達哥拉斯Choquet積分算子。Tang和Wei[20]研究了畢達哥拉斯二元語言集及其集結算子，并提出了一種新的多屬性決策方法。為了處理畢達哥拉斯隸屬度和非隸屬之間的交叉關系，并且能夠捕獲多個畢達哥拉斯模數之間的相關關系，Xu等[21]提出了同一系列畢達哥拉斯模糊交叉Muirhead平均算子。

然而，畢達哥拉斯模糊集在描述不確定性和模糊性時仍存在著局限。例如當某位專家分別用0.7和0.8代表其決策意見的隸屬度和非隸屬度時，由于0.72+0.82=1.13＞1，因此專家的決策意見（0.7，0.8）并不能用畢達哥拉斯模糊集表示。為解決這類問題，學者Yager[22]提出了廣義正交模糊集。廣義正交模糊集的約束條件是隸屬度和非隸屬度的q次方之和小于或者等于1(q≥1)。隨后文獻[23]提出了一系列廣義正交模糊加權算術平均和加權幾何平均算子。文獻[24]提出了一簇廣義正交模糊Bonferroni平均算子。Wei等[25]提出了一系列廣義正交Heronian平均算子。然而現有的廣義正交模糊集結算子只能考慮兩個變量之間的相關關系。為了捕獲多個輸入變量之間的相關關系，本文利用Maclaurin對稱平均算子[26]集結廣義正交模糊信息，提出一系列廣義正交模糊Maclaurin對稱平均算子，并將這些算子應用在多屬性決策問題中。

2 預備知識

2.1 廣義正交模糊集

定義1[22]設X為一個非空一般集合，則定義在X上的廣義正交模糊集A的表達式為：

其中，uA(x)和vA(x)分別表述元素x屬于集合X的隸屬度和非隸屬度，并且滿足 0≤uA(x)≤1，0≤vA(x)≤1以及 0≤uA(x)q+vA(x)q≤1(q≥1)。為了方便，記α=(u,v)為一個廣義正交模糊數。顯然，廣義正交模糊數的隸屬度空間比畢達哥拉斯和直覺模糊的隸屬度空間都大，如圖1所示。

Fig.1 Space of membership degree ranges of different fuzzy sets圖1 各模糊集的隸屬度空間范圍

定義2[23]設α1=(u1,v1)和α2=(u2,v2)為兩個廣義正交模糊數，并且λ為任意正數，則廣義正交模糊數的運算法則為：

定義3[23]設α=(u,v)為一個廣義正交模糊數，則α的得分函數定義為S(α)=uq-vq，α的精確函數定義為H(α)=uq+vq。對于任意兩個廣義正交模糊數α1=(u1,v1)和α2=(u2,v2)，則有：

（1）若S(α1)＞S(α2)，則α1＞α2。

（2）若S(α1)=S(α2)，則：

若H(α1)＞H(α2)，則α1＞α2；

若H(α1)=H(α2)，則α1=α2。

2.2 Maclaurin對稱平均算子

Maclaurin對稱平均算子是一種有效的信息集成算子，最初被廣泛應用在實數領域。近幾年來，Maclaurin對稱平均算子在模糊信息集成領域也得到了廣泛的應用。Maclaurin對稱平均算子的優勢是能夠反映多個輸入變量之間的相關關系。

定義4[26]設aj(j=1,2,…,n)為一系列非負實數，并且k=1,2,…,n，若：

則稱MSM(k)為Maclaurin對稱平均（Maclaurin symmetric mean，MSM）算子，其中 (i1,i2,…,ik)遍歷了(1,2,…,n)的所有k元組合，是二項式系數。

另外可以證明MSM算子滿足冪等性、單調性及有界性[26]。

3 廣義正交模糊集結算子

利用MSM算子集成廣義正交模糊信息，提出了一系列廣義正交模糊Maclaurin對稱平均算子。

3.1 廣義正交模糊Maclaurin對稱平均算子

定義5設αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數，并且k=1,2,…,n。若：

則稱q-ROFMSM(k)為廣義正交模糊Maclaurin對稱平均（q-rung orthopair fuzzy Maclaurin symmetric mean，q-ROFMSM）算子，其中(i1,i2,…,ik)遍歷了(1,2,…,n)的所有k元組合，Ckn是二項式系數。

定義5給出了MSM算子在廣義正交模糊環境下的數學表達式。通過定義5可以看到，MSM在廣義正交模糊環境下的數學表達形式與在實數環境下的數學表達形式是類似的。需要指出的是，在實數環境下的MSM算子遵循實數的運算法則，在廣義正交模糊環境下的MSM算子需要遵循廣義正交模糊集的運算法則（即定義2）。根據定義2和定義5可以得到如下定理。

定理1設αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數，并且k=1,2,…,n，則利用q-ROFMSM算子集結后的結果仍然是廣義正交模糊數，且：

證明首先證明等式（4）的正確性，再證明集結結果仍然為廣義正交模糊數。根據定義2，可以得到：

故算子的集結結果也是一個廣義正交模糊數。□

此外q-ROFMSM算子具有如下性質。

性質1（冪等性） 設αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數，若任意αi滿足αi=α=(u,v)，則有：

證明由于αi=α=(u,v)對于所有i都成立，根據定理1可得：

即等式成立，q-ROFMSM算子具有冪等性。

性質2（單調性） 令αi=(ui,vi)和βi=(si,ti)(i=1,2,…,n)為兩組廣義正交模糊數，若ui≤si，vi≥ti對于任意i都成立，則有：

由于ui≤si對于所有i都成立，則有：

即u≤s。同理可得v≤t。根據定義3，兩個廣義正交模糊數(u,v)和(s,t)之間的大小關系是(u,v)≤(s,t)，即：

性質3（有界性） 設αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數，則有：

其中：

此時q-ROFMSM算子退化為廣義正交模糊平均算子[23]。

情形2當k=2時，則有：

此時q-ROFMSM算子退化為廣義正交模糊Bonferroni平均算子[24]。

情形3當k=3時，則有：

此時q-ROFMSM算子退化為廣義正交模糊廣義Bonferroni平均算子。

情形4當k=n時，則有：

此時q-ROFMSM算子退化為廣義正交模糊幾何算子[23]。

情形5當q=1時，則有：

此時q-ROFMSM算子退化為直覺模糊Maclaurin對稱平均算子[27]。

情形6當q=2時，則有：

此時q-ROFMSM算子退化為畢達哥拉斯模糊Maclaurin對稱平均算子[28]。

3.2 廣義正交模糊加權Maclaurin對稱平均算子

考慮到在實際的決策問題中，輸入變量往往具有不同的重要程度，定義廣義正交模糊加權Maclaurin對稱平均（q-rung orthopair fuzzy weighted Maclaurin symmetric mean，q-ROFWMSM）算子。

則稱q-ROFWMSM(k)為q-ROFWMSM算子，其中(i1,i2,…,ik)遍歷了(1,2,…,n)的所有k元組合，Ckn是二項式系數。

定理2令αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數，并且k=1,2,…,n。則利用q-ROFWMSM算子集結的結果仍為廣義正交模糊數，并且：

定理2的證明過程與定理1的證明過程類似。此外q-ROFWMSM算子具有如下性質。

性質1（單調性） 令αi=(ui,vi)和βi=(si,ti)(i=1,2,…,n)為兩組廣義正交模糊數，若ui≤si，vi≥ti對于任意i都成立，則有：

性質2（有界性） 設αi=(ui,vi)(i=1,2,…,n)為一組廣義正交模糊數，則有：

其中：

上述兩個性質的證明過程與q-ROFMSM算子性質的證明過程類似，這里不再贅述。

4 基于廣義正交模糊Maclaurin對稱平均算子的多屬性決策方法

步驟1標準化決策矩陣。在實際的多屬性決策問題中，屬性往往包含兩種類型，即效益型屬性和成本型屬性。因此需要根據以下公式對原決策矩陣進行標準化。

其中，I1和I2分別表示效益型屬性和成本型屬性。

步驟2利用廣義正交模糊加權Maclaurin對稱平均（q-ROFWMSM）算子集結專家意見，即：

進而得到每個選項的綜合屬性值。

步驟3根據定義計算每個選項的綜合屬性值的得分函數并將候選項x={x1,x2,…,xm}降序排列。

步驟4根據排序結果選擇最優方案。

5 應用實例

為提高企業的競爭優勢，某公司決定開展一項新的業務[29]。經過初步的調研，企業領導層決定從5個可能方案中選擇一個最優的方案。這5個可能的方案記作{x1,x2,x3,x4,x5}。為了選擇最優選項，該企業組織專家對5個備選方案進行嚴格的評審。對所有備選方案的評審主要包括4個方面，即競爭優勢（G1）、發展潛力（G2）、環境友好性（G3）以及社會影響力（G4）。屬性的權值向量為w=(0.2,0.1,0.3,0.4)T。專家利用直覺模糊數對備選方案的屬性進行評價，進而得到一個如表1中的直覺模糊決策矩陣。

Table 1 Intuitionistic fuzzy decision matrix表1 直覺模糊決策矩陣

5.1 決策過程

步驟1由于所有的屬性均為效應型屬性，因此決策矩陣不需要標準化。

步驟2利用廣義正交模糊加權Maclaurin對稱平均算子集結決策矩陣（令k=2,q=3），可以得到候選方案的綜合屬性值。即：

步驟3計算綜合值的得分函數，可以得到：

方案的排序結果為x5?x1?x4?x2?x3。

步驟4根據排序結果可知最優方案為x5。

5.2 參數對排序結果和最優選項的影響

廣義正交模糊加權Maclaurin對稱平均算子中有兩個重要的參數k和q。顯然參數k和q在算子的集結結果和排序結果中扮演著重要角色。賦予參數不同值，則可以得到不同的得分函數和排序結果。在廣義正交模糊加權Maclaurin對稱平均算子中賦予參數k不同的值時，其得分函數和排序結果如表2所示。為了不失一般性，令q=3。

從表2中可以看出，廣義正交模糊加權Maclaurin對稱平均算子中的參數k取不同值時，得分函數及排序結果均不同。當k=1,2,3時，最優方案均為x5。當k=4時，最優方案為x1。另外，隨著k值的增大，方案的得分函數不斷變小。即得分函數隨k值單調遞減。因此參數k的值可以視為是決策者對決策方案的樂觀或者悲觀的程度。即當決策者對決策方案比較悲觀時，可以盡可能地給廣義正交模糊加權Maclaurin對稱平均算子中的參數k賦予一個較大的值；反之當決策者對決策方案比較樂觀時，盡可能給參數k賦較小值。

此外參數q的取值對結果的影響很大。參數q本質上指的是決策者評價結果的信息范圍。給廣義正交模糊加權Maclaurin對稱平均算子中的參數q賦予不同的值，則得分函數和排序結果如圖2所示。為了不失一般性，令k=2。

Fig.2 Decision results by q-ROFWMSM operator with respect toq(k=2)圖2 q-ROFWMSM算子隨q變化的決策結果(k=2)

從圖2中可以看出，隨著q的增大，即決策者信息范圍越大，方案的得分函數也隨著增大，而且帶來了不同的排序結果。因此類似的參數q不僅可以是決策信息范圍的體現，也體現決策者對決策方案的偏好程度。若決策者對于決策方案存在較強的偏好關系，則可以賦予q一個較大的值；反之，若決策者對于決策方案的偏好程度較小，則會賦予q一個較小的值。

5.3 比較分析

為了驗證該方法的優點，將本文提出的多屬性決策方法與現有的方法進行對比。這些方法包括Liu和Wang[23]提出的基于廣義正交模糊加權平均算子的多屬性決策方法，文獻[24]提出的基于廣義正交Bonferroni平均算子多屬性決策方法以及Wei等[25]提出的基于廣義正交模糊Heronian平均算子的多屬性決策方法。利用這些方法解決上述問題的得分函數值和排序結果如表3所示。

Table 2 Results with respect to different values ofkin q-ROFWMSM operator(q=3)表2 q-ROFWMSM算子中k取不同值的結果(q=3)

Table 3 Score function and ranking result by using different methods表3 利用不同的方法得到的得分函數和排序結果

從表3中可知，不同的決策方法所得到的得分函數值和方案排序的結果不相同。Liu和Wang[23]提出的基于廣義正交加權平均算子的方法不能捕獲變量之間的相關關系。即Liu和Wang[23]的方法認為變量之間是不相關的。然而在上述多屬性決策問題中，屬性之間具有相關性。例如企業競爭力(G1)和社會影響力(G4)之間是存在相關關系的。本文提出的方法是基于廣義正交Maclaurin對稱平均算子的多屬性決策方法。該方法的優勢在于能夠捕獲輸入屬性之間的相關關系。另外Liu和Wang[23]的方法是新提出的這種方法的特殊情況。因此本文提出的方法比Liu和Wang[23]的方法更強大，更靈活。文獻[24-25]中的方法也能夠考慮變量之間的相關關系，但是這兩種方法只能考慮兩個變量之間的相關關系。在實際的多屬性決策問題中，輸入變量之間往往存在著復雜的相關關系，因此在選擇最優方案時不僅要捕獲兩個屬性之間的相關關系，而且需要考慮多個變量的相關關系。而本文提出的多屬性決策方法可以考慮多個變量之間的相關關系。而且如3.1節中所示，文獻[24]中的方法其實是新提出的這種方法的特殊情況，因此相比于文獻[23-25]提出的方法，本文提出的方法具有明顯的優勢。

6 結束語

本文在Maclaurin對稱平均算子的基礎上提出了一簇廣義正交模糊Maclaurin對稱平均算子。同時研究了這些算子的性質和特例。新提出的這些算子能夠反映多個輸入變量之間的相關關系，因而比現在的廣義正交模糊集結算子更具有優勢。另外基于這些算子提出了一種新的解決模糊多屬性決策問題的方法。最后將該方法應用到實際問題中以驗證該方法的有效性。實驗以及比較分析表明新提出的多屬性決策方法能夠有效地解決多屬性決策問題，并且比現有的方法更具有優勢。下一步將繼續研究廣義正交模糊集的其他集結算子。