突破解三角形中的求最值問題提升數學解題能力

摘?要：解三角形問題是歷年高考的高頻考點，其中，解三角形中的求最值問題是難點，成為學生順利解題的制約點。本文就常見的解三角形中的求最值問題進行了分類，歸納總結，以便學生在復習過程中突破此難點，在考場上對此類問題游刃有余，助力高考。

關鍵詞：解三角形;最值;助力高考

解三角形中的求最值（范圍）問題是高三復習中的難點，這類問題常常在知識的交匯點處命題，與三角函數、平面向量、平面幾何等知識相結合，主要利用三角形性質、內角和定理、正弦定理、余弦定理、三角函數的有界性、基本不等式等知識去解決。以選擇題、填空題、解答題體現，其試題難度屬于中高檔題。本文通過對近幾年高考試題及模擬試題進行題型分析，對常見的解三角形的求最值（范圍）問題的求解策略進行優化、歸納。

一、 利用三角函數的有界性求解

在解三角形求最值（范圍）問題中可以利用正弦定理的邊角互化，優先考慮邊化角，借助三角函數的恒等變換、輔助角公式，化為單名、單角的形式，結合三角函數的有界性求解。

（一） 已知三角形中一角，求另外兩角的三角函數值的最值。

例1?在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足csinA=3acosC，則sinA+sinB的最大值是（??）。

A.

1??B. 2??C. 3??D. 3

解析：∵ 在△ABC中，csinA=3acosC ?? ∴

sinCsinA=3sinAcosC

∴tanC=3????∴C=π3

∴sinA+sinB=sinA+sin2π3-A=32sinA+32cosA=3sinA+π6

∵A∈0，2π3????∴A+π6∈π6，5π6

∴當A+π6=π2即A=π3時，sinA+sinB取最大值，最大值為3。故選C。

點評：例1中把已知條件結合正弦定理，求出三角形中的一個角，在求sinA+sinB的最值時從解三角形的角度出發，把所有的角都用一個未知角來表示，利用已學的三角公式解題是解決這類問題的通法。

（二） 已知三角形中的一角及其對邊，求另外兩邊關系式的最值。

例2?例1條件不變，且c=3。（1）求a+b的最大值;（2）求a+2b的最大值;（3）求a2+b2的最大值;（4）求△ABC面積的最大值。

解析：（1）由例1知C=π3，而c=3???∴2R=csinC=2

∴a+b=2（sinA+sinB）

此時，把求兩邊關系式的最值問題轉化為求兩角的三角函數值的最值問題，解答同例1，當A+π6=π2即A=π3時，sinA+sinB取最大值，最大值為23。

第（2）（3）（4）小問解法可參考（1）的解法，選擇邊化角，從角的角度來解決問題，使問題簡單明了。

點評：此題要求兩邊關系式的最值，根據條件也可以用基本不等式去解答，但是我們若一味地去構造將得不償失，所以我們選擇邊化角，從角入手，將會事半功倍。

（三） 已知兩角關系式，求兩邊關系式的最值。

例3?銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，如果B=2A，則ba的取值范圍是（??）。

A. （-2，2）???B.

（0，2）

C. （2，2）???D. （2，3）

解析：由正弦定理，得ba=sinBsinA=sin2AsinA=2cosA

∵△ABC是銳角三角形，則0

∴0<2A<π2且0<π-3A<π2，則0

又∵π2

∴由①②得π6

∴cosA∈22，32

∴2cosA∈（2，3）。故選D。

變式：例3條件不變，求aa+c的取值范圍。

解析：由正弦定理，得aa+c=sinAsinA+sinC=11+sinCsinA，則只需求出sinCsinA的范圍，條件所給的是A，B兩角關系式B=2A，從而

sinCsinA=sinAcosB+cosAsinBsinA=sinA（2cos2A-1）+cosA（2sinAcosA）sinA

=2cos2A+cos2A=4cos2A-1

由例3知，cosA∈22，32，

所以sinCsinA=4cos2A-1∈（1，2），aa+c=11+sinCsinA∈13，12。

點評：例題中只給了兩角的關系式，沒有涉及邊的關系，所以優先選擇邊化角處理，將邊轉化為只含一個變量的函數，通過求函數的值域來解決。解答此題時容易忽略銳角三角形中任意一角介于0，π2之間，且任意兩個銳角之和介于π2，π之間這兩個隱含條件，而導致角A的范圍過大，進而解題失敗。

（四） 已知一邊大小及兩角關系式，求邊的最值。

例4?例3條件不變，且b=2，求c的取值范圍。

解析：由例3知，cosA∈22，32

∵由正弦定理，得csinC=2sinB

∴c=2sin3Asin2A=2（3sinA-4sin3A）2sinAcosA=3-4sin2AcosA=3-4（1-cos2A）cosA=4cosA-1cosA

∵cosA∈22，32

∴c=4cosA-1cosA∈2，433

∴c的取值范圍是2，433。

歸納總結：三角形中求最值（范圍）問題，首先通過邊角互化和代入消元，轉變為只含一個變量的函數，將問題轉化為求函數的值域來解決。解題時應注意角的范圍的確定，需要根據三角形的形狀和已知角的大小，或者利用如下等價關系來確定：a>bA>BsinA>sinB;A>BcosA

二、 利用基本不等式求解

在解三角形求最值（范圍）問題中，通常把已知條件利用正弦定理、余弦定理進行轉化，可以產生形如“ab”，“a2+b2”形式，此時便可利用基本不等式求解問題。

（一） 已知一角大小及兩邊關系式，求邊的最值。

例5?（2018年衡水金卷模擬試題二，17）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且滿足bcosC=（2a-c）cosB。（1）求角B;（2）若a+c=2，求b的取值范圍。

解析：（1）B=π3（解答略）。

（2）由（1）知B=π3，由余弦定理，得

b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac

=4-3ac≥4-3a+c2=4-3=1（當且僅當a=c=1時取等號）。

又b

點評：利用余弦定理和基本不等式，結合三角形三邊關系，體現了轉化與化歸的數學思想。

（二）

已知一邊大小及兩邊關系式，求面積的最值。

例6?在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若a2+b2=12，c=2，求△ABC面積的最大值。

解析：∵a2+b2=12，c=2

∴cosC=a2+b2-c22ab=4ab

∴sinC=1-4ab2

∵ab≤a2+b22=6

∴S△ABC=12ab′C=12（ab）2-16≤1236-16=5。

點評：在求三角形面積時能根據已知條件正確選擇面積公式，避免走彎路，根據公式需要結合基本不等式求解。

（三）

已知三個內角（三邊）關系式，求角的范圍。

例7?（2014江蘇，14，5分）若△ABC的內角滿足sinA+2sinB=2sinC，則cosC的最小值是????。

解析：∵sinA+2sinB=2sinC

∴a+2b=2c，即c=a+2b2

∴cosC=a2+b2-c22ab=3a2+2b28ab-24≥26ab8ab-24=64-24

（當且僅當3a2=2b2時取等號）???∴cosC的最小值是64-24。

點評：cosC的展開式是有關于三邊的代數式，故而利用正弦定理把邊化成角，另外注意到a2+b2-c22ab分母中是兩邊之積，故而把分子中的c邊用a，b邊來表示，使基本不等式得以順暢利用。

歸納總結：基本不等式是高考重要考查點之一，其主要形式是a+b≥2ab（a，b>0），a2+b2≥2ab（a，b∈R），應用其解題時要注意定理的適用條件，即“正、定、等”的判斷。

在解三角形求最值（范圍）問題中，通常是高考中的難點，在高三復習中提出以下幾點教學建議：（一）夯實知識基礎，構建解三角形及交匯處知識點網絡化的結構;（二）強化函數思想，重視思想方法教學，提高學生的解題能力;（三）突出題型特征，在解題訓練中提高素養，靈活運用，融會貫通，這類問題便能迎刃而解。

參考文獻：

[1]王文祥，課堂新坐標.二輪專題復習與策略甘肅.數學（文科）[M].蘭州：甘肅教育出版社，2018.

[2]魏敬波.解三角形中易錯問題例析[J].中學生理科應試，2014.

[3]武增明.三角形問題中的最值的求解方法[J].中學生數學，2016.

作者簡介：

袁雨紅，廣東省河源市，河源市田家炳實驗中學。